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6正弦函数的图象与性质一


从单位圆看正弦函数的性质
1、定义域: 全体实数

2、最值: 3、周期:
4、单调性:

正弦函数的图像

正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P, 我们称有向线段MP为角α的正弦线 有向线段OM为角α的余弦线。
规定了起点和终点的线段叫做有向线 段.表示有向线段时,要将表

示起点 的字母写在前面,表示终点的字母写 在后面. 有向线段包括三要素: 起点、方向和长度,知 道了有向线段的起点, 它的终点就被方向和长 度唯一确定。

y
P(a,b) α 0 M 正弦线

A 1

x
余弦线

如何画出 y=sinx 的图象呢

一、描点法 步骤: 1、列表

2、描点 3、连线

O

二、几何法

? 思考:
如何在直角坐标系中做出点 C ( ,sin )
3 3

?

?

y

P

1


C ( ,sin ) 3 3

?

?

O1

-1 M

o
-1

1

?
3

x

所以我们只需要仿照上述方法,取一系列的x的值,找 到这些角的正弦线,再把这些正弦线向右平移,使他们的 起点分别与x轴上表示的数的点重合,再用光滑的曲线 把这些正弦线的终点连接起来就得到正弦函数y=sin x 在区间[0,2π]上的图象.

如何画出正弦函数

y=sin x(x∈R) 的图象呢?

因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数y=sin x在 区间[2kπ, 2(k+1)π] (k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完 全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sin x(x∈ [0,2π])的图象 向左,右平行移动(每次平行移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数 y=sin x(x∈R)的图象,如下图所示.
y
1
?4?
? 7? 2

?3?
? 5? 2

?2?
? 3? 2

??
?

?
? 2

2?
3? 2 5? 2

3?
7? 2

4?

0
-1

? 2

x

y=sin x, x∈R

? 思考:

我也会归纳了☆

你知道用正弦线作正弦函数图象的

优缺点么?
优点: 能够比较精确地作出正弦函数的图象 缺点: 作图的过程比较繁琐

三、五点法

O

思考与交流:图中,起着关键作用的
点是那些?找到它们有什么作用呢?

五个关键点:

? 思考:
优点: 作图过程比较简单 缺点: 不精确

我也会归纳了☆

你知道用五点法作正弦函数图象的

优缺点么?

例 1、 用“五点法”画 出下列函数在区间[0, 2π]的简图。 (1)y=-sin x;
解 (1)列表: x y=sin x y=-sin x 0 0 0

(2)y=1+sin x.

?
2
1 -1

?
0 0

3? 2

2?
0 0

-1 1

描点得y=-sin x的图象

y y=sin x x∈[0,2π] 1 π . . . . 2π x . 0
? 2
3? 2

-1 y=-sin x x∈[0,2π]

(2) 列表:

x y=sin x y=1+sin x

0 0 1

?
2
1 2

?
0 1

3? 2

2?
0 1

-1 0

描点得y=1+sin x的图象 y 1

y=1+sin x x∈[0,2π]

π . . . . 2π x . 0
? 2

3? 2

-1

y=sin x x∈[0,2π]

四、练习
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的简图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1; (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3 2 1 π . . . . 2π x . 0
? 2
3? 2

y=sin x -1 x∈[0,2π] -1

y=sin 3x x∈[0,2π]

例1:用五点法画出下列函数的简图:
(1) (2) y=1+sinx, ? x y= - sinx , ? x ),
-

2? [0,

] ] ]

[0,? 2
? 5?
3,

(3) y=sin(x+

?
3

x ? [3

正弦函数的图象
例1 (1) 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

按五个关键点列表
x
sinx
0 0 1 2

?
2 1

? 0 1 0

3? 2? 2 -1
1

0

1+sinx
y 2 1

y=1+sinx,x?[0, 2?]

步骤: 1.列表 2.描点 3.连线

?

? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

x y=sinx,x?[0, 2?]

2?

y 2

1

y=1+sinx ? [0,? x 2 o
? 2

]

?

-1

3? 2

2?

x

y=sinx ? [0, ? ] x 2

思考:
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关 系?

y
1

(2 y ? ? sin x, x ? ?0,2? ? )
? 2

?

-1

3? 2

2?

x

y 1
?
2

y=sinx
o
? 2

x?[0,2?]
3? 2

?

?

2?

x

-1

2? 变式练习: y ? ? sin(? x),x ? ?0, ?

例1 (3) 画出函数

正弦函数的图象 ?
? 3

? ? 5? ? y ? sin(x ? ),x ? ?? , ? 的简图: 3 ? 3 3 ?
? 6
2? 3
?

按关键点列表
x
x?
?

?
3
?
3 )

0
0 1

? 2

7? 6 3? 2

5? 3

2?
0

sin(x ?

0

-1

步骤: 1.列表 2.描点 3.连线
?

y 1

? ? ? 5? ? y ? sin(x ? ),x ? ?? , ? 3 ? 3 3 ?

? 0 3

-1

? 6

2? 3

7? 6

5? 3

x

正弦函数的图象

变式:画出函数
y y 1

y ? sin(x ? ),的简图: x?R 3

?

y ? sin(x ?

?
3

),x ? R

?

? 0 3

-1

? 6

2? 3

7? 6

5? 3

x

正弦函数的图象

变式:画出函数
先画出函数 再画出函数

y ? sin(x ? ),x ? ?0, ? 2? 的简图: 3
? ? ? 5? ? 的简图: y ? sin(x ? ),x ? ?? , ? 3 ? 3 3 ?

?

y ? sin(x ? ),x的简图: ?R 3

?

x=0
y y=sin(x + 2?] 1

x= 2?

?
3

) ,x?[0,

-3

? 0
-1

?

2?
3

7?
6

5?
3

x

6

正弦函数图象的分布
正弦函数的性质 (1)定义域 R (2)值域 [-1,1] 正弦曲线夹在两条平行直线 y= 1与 y= -1之间

y y= 1 1
?
2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x y= -1

y=sinx,x?R

例2 :观察正弦曲线 ,写出满足下列

条件的x 的区间


( x? [ 0,2?


] )

sinx > 0
y 1

sinx< 0

y=sinx
o
? 2

x?[0,2?]
3? 2

?

?
2

?

2?

x

-1

解:① ( 0, ? )



(? ,2 ? )

练习:求满足条件的x的取值范围
sinx =2
变式
1

x?[0,2?]
1
2

?

5?

﹛x x=

或 6

﹜ 6

sinx > a.利用三角函数线
y P1

x?[0,2?]

1 1 2
O

P2

1

1

x

-1

?
( 6 ,

5?
6

)

b.利用三角函数图象
y 1
1 2

?

?
2

o

?
6

? 2

5? ?
6
解:

3? 2

2?

x

-1

思考:

{x x ?
解:

?
6



5? } 6

? 5? ( , ) 6 6

求函数的定义域

y ? log 3 (?2 sin x ? 1)

正弦函数的图象

几何画法 1. 正弦曲线的作法 2. 五点法作函数图象的步骤 3. 注意与诱导公式、三角函数线知识的联系 y 1
?
2

五点法



?

o

? 2

?

3? 2

2?

x

-1

y=sinx,x?[0, 2?]

课后作业: 课本 P39练习A 1,2
(1)

(2)预习课本

P39

~

P40

(3)预习提纲

正弦函数具有哪些性质?

y 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦函数

y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
1P 1

p1/

(1) 作法: 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
2

-

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y y

Q1

1-

Q2

-

o1

-

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x x

l

正弦函数.余弦函数的图象和性质 ? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象

y

正弦曲线
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

-

x

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
余弦曲线
1-

y

? 6?

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

-

x

余弦函数 y

? cos x, x ? R 的图象

24-3-99

? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y à ? ? ? ? ? ? ?

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y ? cos x , x ? ?0 , 2? ? ? ? ? ? ? ó
1P1

? ? ?· ? ר ? (1) ? · (2) ×à ? ? ?? ? ? (3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) ? ? ? ?

想一想

p 1/

o1

M1

-1A

o
-1 -

-

-

-

?
3

?
6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

x

y

Q1

1-

Q2

o1

M M-1 1 2

o
-1 -

? ?

6 6

? ?

? ?

3 3

2 2

2? 2? 3 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 3? 2 2

5? 3

11 ? 6

2?

x

请观察正弦曲线、余弦曲 线的形状和位置,说出它 们的异同点.
? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin x , x ? R ? ? ? ? ? ó

-

-

l

24-3-99
y

1-

它们的形状相同,且都夹在两条平行直 线y=1与y=-1之间。但它们的位置不同, 正弦曲线交y轴于原点,余弦曲线交y轴 于点(0,1).

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

-

ò ? ? ? à ? ? ? ? ? ? ? ? ? à ? ? ? ? ? ? ? ±? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=sinx? ? ? ? … … ? ? ? ó ? ?
, , ?? ? ? , ? 4? ,?2? ? ????2 ??0 ?? ? 0 , 2 ? ?, ? 2 ? , 4 ? ?,… … ? y=sinx,x? [0,2? ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ó à ?
y

? ? ? à ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=sinx,y=cosx? ? ? ? ? ó
1-

-

x

??

? 6?

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

-

ò ? ? ? à ? ? ? ? ? ? ? ? ? à ? ? ? ? ? ? ? ±? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=cosx? ? ? ? … … ? ? ? ó ? ?
, ?? ? ? , ? 4? ,?2? ? ? ???2 ??, 0 ?? ? 0 , 2 ? ?, ? 2 ? , 4 ? ?,… … ? y=cosx,x? [0,2? ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ó à ?

-

x

à ? ? ? ? ? ? ?

y ? cos x , x ? R ? ?

? ó ? ?

24-3-99

正弦函数.余弦函数的图象和性质
? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y à ? ? ? ? ? ? ?

y ? cos x , x ? ?0 , 2? ? ? ? ? ? ? ó

? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ??? ? 1? ?y ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? à ? ? ? ? ? ? y?(4)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?à? ???.? ?sin ? x? ? ? ?(3)?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? y ? ?? ? ?x ó R? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ó ? ? ? , ? ? ??? ó ?
P1

? ? ?· ? ר ? (1) ? · (2) ×à ? ? ?? ? ?

y

p 1/

o1

M1

-1A

à ? ? ? ? ?o ? ?
?
6

?

3

y ? cos x , x ? ?0 , 2? ? ? ? x? ? ? ó
?
2

-

-

-

-

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

-1 -

y

1-

? 6?
Q1

1-

? 4?
P1

1-

? 2?
p 1/

o
-1-

1-

Q2

本节课小结
2?

? ? ?· ? ר ? (1) ? · (2) ×à ? ? ?? ? ?

? ?

4?
-

(3) ? ? ? 6?? ? ? ? ? ? ? ó (4) ? ?· ? ( ?2 ,1) ? ? ? ?? ? ? × ?
11 ? 6

-

-

x

-

o1

M M-1 1 2

-1

o

? ?

6 6

-1 -

l

o ? o1? ? ±A ? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ?? ? ?2?? y=sinx? ? ? 2? … … ? o x ? ò ? ? ?-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? à ? ? ? ? à ó ? ? ? á? ? ? ? ?x ? x? ? ? ? ? , ? ?? ??0 ?? ? 0 , 2 ? ?, ? 2 ? , 4 ? ?,… … ? y=sinx,x? [0,2? ]? ? ? ? ? 2 , , ?? ? ? ? 4? ,?2? ? ? ? ? (? , 0? ?? ó0 ) (?? ,0) 0 ) ( , à 2
? ?
? ?

-

-

3 3

2 2

? 6

-

2? 2? 3 3

5? 6

7 ? ? M 16?? 2 3

-

-

4? 3

3? 3? 2? 2 2 3

5? 3

1 ? 51? 6 6

2? ?

6

? 7?
36

? 4? 2 3

2? 3? 3 2

5 5? ? 63

11 ? 6

y ? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

-

-1 -

ò ? ?· ? ? ? ר (? ? ? ? ? (1) ? ±(? ? ? í ?? y (2) ? ? (? ? ? ? ¨? ? 6? ? (3) ? ? ?(4? ? ? ? ??
Q1

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

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? à ? ? ? ? ? ? ? ? y=sinx,y=cosx? ? ? ? ? ó ? ? ó ? ? ? × ÷ ?? ? ? ? ? ê ? ? ? ? ×? ? ? × ? ? ? ? ×± )
? ? × ÷ ? ? ·1 -? ? ? ) 1? ? ? ? ? ? ? ? áo ? ? ? ? ? ?? 2? ? ? ? ?-1-? · ? )
?

本节课小结
-1 24-3-99

y

y

? ? ? ? ? ? ? ó ? ×? ?
y

( 32?, ? 1)

? ? ? ? à ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin x , x ? R ? ? ? ? ? ó

Q2

2?

1-

? ? ? ? ? ? ? ? 4ó ? ×· 6? ?
1-

-1

o
-1 -

?
6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

ò ? ?· ? ? ? ר (? (1) ? ±(? ? y ? í ? ? (2) ? ? (? ? ? ? ¨? (3) ? ? (? ? ? ? ? ?
1-

? ?? ¨ ? ×? ·)

? ? ó ? ? ? ? ? ? ? ×? l ? ? × ÷ ? ? · ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? á ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? )

-1

( ,1 ) (2? ,1) ? o ? ? ? x? ? ?? 2??? ??? ? ? ?x? y=sinx? ? ? ? … … ? ? ? ? á ? ?? ??? ??à ? ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? à ò ? ? ±à ? ? ? ? ? ? ? ? ? à ? ? ? ??? òy=cosx? ? ? ?ó ? ?3… … ? ? ? ? ? ? ?( 0 ,?) (?,0 )?(2??) ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4???,?2??? ?,±?2 ??, 0? ??0????? ?2 ??, 4 ? … … ? ? 0 ? ,0 ?? ( 2 ?, 0 ) ( , ? ,0? y=sinx,x? [0,2? ]? ? ? ? ? , ? ?? , ? ? ? ? ó à ? ) 2 , ? , ? ? ? -1? ? 2 ? ? ? ? ?, ? ? ?? 4? ,?2? ? ? ???2ó?, 0×-?? 0 , ?( ?1) ?, ? 2 ? , 4 ? ?,… … ? y=cosx,x? [0,2? ]? ?2 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ó à ? o? ? ? x × ÷ ?? ? ? ? ? ê ? ? × ? ? ? ? ×± ) ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ó ? ? ? ? ? (? ,?1) ? ? ? à ? ? ? ? × y=sinx,y=cosx? ? ó ? ?

-

-

-

( 0 ,1 )
2? 4?
-

x
6?
-

14? 3

3? 2

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5? 3

? ? ? ? ? ? ? ó ? ×· ?

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o

x

11 ? 6

M2? M-1 x 1 2 ? x? ? á

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2

6 6

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? ?

3 3

2 2

2? 2? 3 3

5? 6

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3? 3? 2 2

5? 3

11 ? 6

-1-

-

-

-

-

-

-

? 6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

3? 2,

à ? ? ?
?
6

-1 ? ? ? ?
4? 3

y ? cos x?, x? ? ?R ? ? ? xá ? ? ? ? ?
? ( ? , 0 ) ( 32 ,0) 2
5? 3 11 ? 6

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

y

? ? ? ? ? ? ? ó ? ×· ?

( 0 ,1 ) ( 1) ? ó ?2? ,?

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

24-3-99 24-3-99 24-3-99
1-

o

2?

4?
-

6?
-

-

-

x

-1-

-1

o
-1 -

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3

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2

2? 3

5? 6

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? ? ? ? ? ? ? ó ? ×? ?

x

24-3-99
à ? ? ? ? ? ? ?

y ? cos x , x ? R ? ?

? ó ? ?

24-3-99

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高一数学三角函数图象及性质

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