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【名师整理归类】2016年高考数学(理)一轮复习精品:D单元 数列


数 D 单元 数列 学 D1 数列的概念与简单表示法 17.D1、D4、D5[2014· 江西卷] 已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满 足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. - an+1 an 17.

解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2,即 cn+1- bn+1 bn cn=2, 所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. - - (2)由 bn=3n 1,知 an=(2n-1)3n 1,于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32 - - +…+(2n-1)×3n 1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n 1+(2n-1)×3n,将两式相减得- - 2Sn=1+2×(31+32+…+3n 1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 17.D1、D2[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+ 1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 17.解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 因为 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1, 由(1)知,a3=λ+1. 若{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3,解得 λ=4,故 an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 17.D1、D3、D5[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2 1 1 an+ ?. 17.解:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3? 2? ? 2 1? 1 3 ? 3 1 3n 又 a1+ = ,所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列,所以 an+ = ,因此数列 2 2 2 2 2 ? ? n 3 -1 {an}的通项公式为 an= . 2 1 2 (2)证明:由(1)知 = n . an 3 -1 - 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1, 1 1 1 1 2 1 所以 n ≤ = ≤ . - ,即 an 3n-1 3n-1 3 -1 2×3n 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1- n?< . 于是 + +…+ ≤1+ +…+ n-1= ? a1 a2 an 3 2? 3 ? 2 3 1 1 1 3 所以 + +…+ < . a1 a2 an 2 * 22.D1,D2,M3[2014· 重庆卷] 设 a1=1,an+1= a2 n-2an+2+b(n∈N ).

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