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隔板法在排列组合中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 隔板法在排列组合中的应用 作者:王录远?? 来源:《中学教学参考· 理科版》2014 年第 09 期 排列组合在历年来的高考中占的比分很高,在 20 分左右.它联系实际、题型多变、解法灵 活、能力要求高、每年高考得分率极低.而排列组合中的分配问题,是排列组合问题中的重点 与难点,对于排列组合中涉及相同物品的分配或名额

分配的问题,若采用隔板法,则可起到简 化解题的功效.下面笔者通过三种类型题来介绍一下隔板法的应用. 类型一:10 个相同的排球分给三个班级,每个班级至少得一个排球的分法. 解析:将 10 个相同的排球排成一列,则 10 个排球之间出现 9 个空当,用 2 块隔板插入空 当,将其分成 3 份,每份至少一个排球,每个班级依次分到对应位置的排球,因此在 9 个空当 插入 2 块隔板,共有 C3-110-1=C29=36 种分法. 点评:对于相同元素的分组分配问题,常规解法繁琐且易错,若掌握隔板法,则操作方便 且易懂. 一般模式:将 n 件相同物品(或名额)分给 m(m 【例 1】学校在高二年级的 8 个班中,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分配方案有多少种? 解析:因为该题满足类型一的三个条件,所以可用隔板法,故共有 C8-112-1=C711 种分法. 类型二(添加球数隔板法):10 个相同的排球分给三个班级,允许有些班级没有分到排 球的分法. 解析:因为允许有班级没有分到排球,没有满足隔板法具备的条件(2).为了满足“每人 至少分到一个排球”的条件,可先从每班收回一个排球,这样原来打算不分的,也要还一个排 球回去,问题就转化成“13 个排球分配给 3 个班,每个班至少得到一个排球,有多少种分法”, 用隔板法求解,则共有 C3-113-1=C212=66 种分配方法. 点评:本例通过添加球数,将问题转化为类型一中的隔板法问题. 一般模式:将 n 件相同物品(或名额)分给 m(m 【例 2】求(a+b+c)9 的展开式中共有多少项? 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解析:由于展开式的每一项都形如 maxbycz 且 x+y+z=9,其中 x、y、z 都是非负整数,因 此问题等阶于求方程 x+y+z=9 有多少组不同的非负整数解,因为 x+y+z=9,所以问题转化为 “把 9 个相同的球分配给三个班,允许有些班没有分到球,共有几种分配方案”,用添加球数隔 板法求解,则共有 C3-19+3-1=C211=55 种分配方案. 类型三(减少球数隔板法):10 个相同的排球分给三个班级,每个班级至少得两个排球 的分法. 解析:因为每个班级至少有两个排球,没有满足类型一具备的条件(2).为了满足这一条 件,可给每个班级先分一个排球,这样就转化成“7 个排球分配给 3 个班级,每个班级至少有一 个排球,有多少种分法”的问题,用隔板法求解,则共有 C3-17-1=C26=15 种分配方法. 点评:本例通过减少球数,将问题转化为类型一中的隔板法问题. 一般模式:将 n 件相同物品(或名额)分给 m(m 【例 3】12 个相同的小球放入编号为 1、2、3、4 的盒子中,要求每个盒子中的小球数至 少为 2 个,问有多少种放法? 解析:题干中要求每个盒子中的小球数至少为 2 个,这满足类型三的减少球数隔板法,我 们可以直接利用公式解决,故共有 C4-112-4-1=C37=35 种放法. 【例 4】20 个不加区别的小球放入编号为 1 号、

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