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专题 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想


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掌握4 种数学思想行天下

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掌握4 种数学思想行天下

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合;二是着眼于 对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学内 容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数 学意识,重在领会、运用,属于思

维的范畴,用以对数学问题 的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与 方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

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掌握4 种数学思想行天下

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数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识 的同时获得,与此同时,它们又直接对知识的形成起到指导作 用.因此,在平时的学习中,我们应对数学思想方法进行认真 的梳理与总结,逐个认识它们的本质特征,逐步做到自觉地、 灵活地将其运用于所需要解决的问题之中.

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函数与方程思想、数形结合思想

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第1讲 函数与方程思想、数形结合思想
一、函数与方程思想——求解数学问题最实用的工具
函数与方程思想的含义
函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究 数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数 的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解 决的数学思想. 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关 系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方 程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获 得解决的数学思想.
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函数与方程思想在解题中的应用

函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,
1 就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决 有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. 2 3 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函 数的观点去处理数列问题十分重要.

解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能
解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常 需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
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运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题
[典例] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.

(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an} 的通项公式an; (2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn= 1 Sn+1 + 1 Sn+2 +?+ 1 ,若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒 S2 n

成立,求实数k的最小值.

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[解]

(1)因为a1=2,a2 (a4+1), 3=a2·

又因为{an}是正项等差数列,故d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 解得d=2或d=-1(舍去), 所以数列{an}的通项公式an=2n. (2)因为Sn=n(n+1), 1 bn= + +?+ S2n Sn+1 Sn+2
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(列出方程)

1

1

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1 1 1 = + +? + ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1? 1 1 1 1 1 1 = - + - +?+ - 2n 2n+1 n+ 1 n + 2 n+ 2 n+ 3 1 1 n = - = n+1 2n+1 2n2+3n+1 1 = , 1 2n + n + 3 1 令f(x)=2x+x(x≥1), (构造函数)

1 则f′(x)=2- 2,当x≥1时,f′(x)>0恒成立, x
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所以 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 故当 x=1 时,[f(x)]min=f(1)=3, 1 即当 n=1 时,(bn)max= , 6 要使对任意的正整数 n,不等式 bn≤k 恒成立, 1 则须使 k≥(bn)max= , 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6

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[技法领悟] 本题完美体现了函数与方程思想的应用, 第(1)问直接列方 程求公差;第(2)问求出 bn 的表达式,说明要求 bn≤k 恒成立时 1 k 的最小值,只需求 bn 的最大值,从而构造函数 f(x)=2x+x (x≥1),利用函数求解.

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[即时应用]
1.已知f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于f(t)值域内的所有实数m, 不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,求x的取值范围.

解:∵t∈[

?1 ? 2,8],∴f(t)∈?2,3?. ? ?

原题转化为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立, 当x=2时,不等式不成立,∴x≠2. 令g(m)=m(x-2)+(x-2)
2

?1 ? ,m∈?2,3?. ? ?

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?1 ? 问题转化为g(m)在m∈?2,3?上恒大于0, ? ? ?1? 1 ? ? ?g? ?>0, ? ?x-2?+?x-2?2>0, 则? ?2? 即?2 2 ? ? ?g?3?>0, ?3?x-2?+?x-2? >0,

解得x>2或x<-1. ∴x的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

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运用函数与方程思想解决几何问题
[典例] x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2= a b

1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),设左顶 ? ??? ? ??? 点为 A,上顶点为 B,且 OF · FB = ??? ? ??? ? AB · BF ,如图所示. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过 F 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,试确定 ???? ??? ? FM · FN 的取值范围.
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[ 解]

(1)由已知,A(-a,0),B(0,b),F(1,0), ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 则由 OF · FB = AB · BF ,得 b2-a-1=0. ∵b2=a2-1,∴a2-a-2=0,解得 a=2.(列出方程) ∴a2=4,b2=3, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)①若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1, 此时 M

? ? ? 3? 3? ???? ??? 9 ?1, ?,N ?1,- ?, FM · =- . FN 2 2 4 ? ? ? ?

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②若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x-1),M(x1,y1), y=k?x-1?, ? ? 2 2 N(x2, y2), 则由 ?x y 消去 y 得(4k2+3)x2-8k2x + =1 ? ?4 3 +4k2-12=0, 4k2-12 8k2 ∴x1+x2= 2 ,x x = . 4k +3 1 2 4k2+3 ???? ??? ? ∴ FM · (x2-1,y2) FN =(x1-1,y1)· =(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]

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-9 = . 1 4- 1+k2 ∵k2≥0,

(转化为函数)

1 1 ∴0< ≤1,∴3≤4- <4, 1+k2 1+k2

???? ??? ? 9 ∴-3≤ FM · FN <-4.
???? ??? ? ? 9? 综上所述, FM · FN 的取值范围为?-3,-4?.
? ?

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[技法领悟] (1)本题利用了函数与方程思想,首先由已知条件列 ???? ??? ? 出关于a,b的方程,求出a,b值,再求 FM · FN 的范围时 转化为关于k的函数,利用函数性质求解. (2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常 用到,如求范围最值问题.

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[即时应用] 2.(2015· 九江一统)如图,直三棱柱 ABCA′B′C′中,AC=BC=5, AA′=AB=6,D,E分别为AB和 AD BE BB′上的点,且DB= =λ. EB′ (1)求证:当λ=1时,A′B⊥CE; (2)当λ为何值时,三棱锥A′CDE的体积最小,并求出最小体积.

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解:(1)证明:∵λ=1, ∴D,E 分别为 AB 和 BB′的中点, 又 AA′=AB,且三棱柱 ABCA′B′C′为直三棱柱, ∴平行四边形 ABB′A′为正方形, ∴DE⊥A′B, ∵AC=BC, D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB,

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∵三棱柱 ABCA′B′C′为直三棱柱, ∴CD⊥平面 ABB′A′, ∴CD⊥A′B, 又 CD∩DE=D, ∴A′B⊥平面 CDE, ∵CE?平面 CDE, ∴A′B⊥CE.

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(2)设 BE=x,则 AD=x,DB=6-x,B′E=6-x.由已知可 得 C 到平面 A′DE 的距离即为△ABC 的边 AB 所对应的高 h = AC
2

?AB? -? 2 ?2=4, ? ?

1 ∴VA′CDE=VCA′DE= (S 四边形 ABB′A′-S△AA′D-S△DBE- 3 1? 1 ? S△A′B′E)· h= ? 36-3 x- (6-x ) x-3(6-x ) ? · h 3? 2 ? 2 2 2 = (x -6x+36)= [(x-3)2+27](0<x<6), 3 3 ∴当 x=3,即 λ=1 时,VA′CDE 有最小值 18.
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——————[归纳总结]—————————————————
(1)函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可 以转化为方程问题来解决,方程问题也可以转化为函数问题 加以解决,如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点,再 如方程f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y=g(x) 的交点问题,也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问 题,方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.

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——————[归纳总结]—————————————————
(2)当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化 的量之间的关系, 通过变量之间的关系探究问题的答案, 这就 需要使用函数思想. (3)借助有关函数的性质, 一是用来解决有关求值、 解(证) 不等式、 解方程以及讨论参数的取值范围等问题, 二是在问题 的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.

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二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径
数形结合思想的含义
数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通 过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想 的应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动 化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.

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数形结合思想在解题中的应用 1

构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围
或解不等式. 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数

2

的零点的范围.

3 构建解析几何模型求最值或范围. 4 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的 大小关系.
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利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题

[典例]

已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)= ( )

g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

C.(1,2)

D.(2,+∞)

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[解析]

在同一坐标系中分别

画出函数f(x),g(x)的图象如图所 示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的 实根等价于两个函数的图象有两个 不同的交点,结合图象可知,当直 线y=kx的斜率大于坐标原点与点A(2,1)连线的斜率且小于 1 直线y=x-1的斜率时符合题意,故 <k<1. 2 [答案] B

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[技法领悟] (1)本题利用了数形结合思想,把方程f(x)=g(x)根的情况 转化为两函数图象交点情况. (2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 ①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数, 使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的 解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解. ②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数 形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.
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[即时应用]
x ? ?2 -1, 1.已知函数f(x)= ? 2 ? ?-x -2x,

x>0, 若函数g(x)=f(x)- x≤0,

m有3个零点,则实数m的取值范围是________.

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解析:在坐标系内作出函数 的图象,如图:

x ? ?2 -1, f(x)=? 2 ? - x -2x, ?

x>0, x≤0

可知当 0<m<1 时,函数 f(x)的图 象与直线 y=m 有 3 个交点,即 函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点. 答案:3

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利用数形结合思想求解不等式或参数范围

[典例]

(2015· 全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)

的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0成立的x的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
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(

)

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[解析]

f?x? 设y=g(x)= x (x≠0),

xf′?x?-f?x? 则g′(x)= , x2 当x>0时,xf′(x)-f(x)<0, ∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上 为减函数,且g(1)=f(1)=-f(-1)=0. ∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数, ∴g(x)的图象的示意图如图所示.

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当x>0时,由f(x)>0,得g(x)>0,由图知0<x<1, 当x<0时,由f(x)>0,得g(x)<0,由图知x<-1, ∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪ (0,1),故选A. [答案] A

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[技法领悟] (1)本题利用了数形结合思想,由条件判断函数的单调 性,再结合f(-1)=0可作出函数的图象,利用图象即可求 出x的取值范围. (2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象, 根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数, 利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解 决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.

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[即时应用] 1 2.若不等式|x-2a|≥ x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范 2 围是________.
1 解析:作出y=|x-2a|和y= x 2 +a-1的简图,依题意知应有 1 2a≤2-2a,故a≤ . 2
? 1? 答案:?-∞,2? ? ?

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利用数形结合解决解析几何问题
已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,

[典例]

0), B(m, 0) (m>0). 若圆 C 上存在点 P, 使得 ∠APB=90°, 则 m 的最大值为 A.7 C.5 B. 6 D.4 ( )

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[解析] 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标 为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m,因为 1 ∠APB=90°,连接 OP,易知|OP|= |AB|=m. 2 要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为 |OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即 m 的最大值为 6.

[答案] B

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[技法领悟] (1)本题利用数形结合思想求最值,把m的值转化为 圆上的点到原点的距离. (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见 的几何结构的代数形式,主要有:①比值——可考虑直 线的斜率;②二元一次式——可考虑直线的截距;③根 式分式——可考虑点到直线的距离;④根式——可考虑 两点间的距离.

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[即时应用] 3.已知在圆x2+y2-4x+2y=0内,过点E(1,0)的最长弦 和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ( A.3 5 C.4 15 B. 6 5 D.2 15 )

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解析:将圆的方程化为标准方程得 (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5 ,圆心坐标为 F(2,-1),半径 r= 5,如图,显 然过点 E 的最长弦为过点 E 的直 径,即|AC|=2 5,而过点 E 的最短 弦 为 垂 直 于 EF 的 弦 , |EF| = ?2-1?2+?-1-0?2= 2,|BD|=2 r2-|EF|2=2 3, 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|×|BD|=2 15. 2 答案:D
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——————[归纳总结]—————————————————
运用数形结合思想分析解决问题的三原则 (1)等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价 的,否则解题将会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不 能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观 而浅显的说明.

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——————[归纳总结]————————————————— (2)双向性原则
在数形结合时, 既要进行几何直观的分析, 又要进行代数抽 象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析 (或仅 对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的. (3)简单性原则 找到解题思路之后, 至于用几何方法还是用代数方法或者兼 用两种方法来叙述解题过程,则取决于哪种方法更为简单.

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