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1正、余弦定理


正、余弦定理
一、基本定理与公式:
正弦定理: 余弦定理:

11.在 ?ABC 中,已知 a4 ? b4 ? c4 ? 2c2 (a2 ? b2 ) ,则 C=_________ 12.在 ?ABC 中,若 a ? c ? 2b, A ? C ? 60 ,则 sin B ? 13.在 ?ABC 中, 2 2(sin 2 A ? sin 2

C) ? (a ? b)sin B ,外接圆半径为 2 ,则 C ? 的最大值为 14.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别是 a, b, c ,若 b ? 3ac ,则 ? B 的取值范围为
2

; ?ABC 面积

15.在 ?ABC 中,求证: (1) (a2 ? b2 ? c2 ) tan A ? (a2 ? b2 ? c2 ) tan B ? 0 (2)

面积公式: 解三角形的四种类型: (1)已知两角 A,B 与一边 a: (先求 C 再由正弦定理求 b,c;) (2)已知两边 b,c 与其夹角 A: (先由余弦定理求 a,再由正弦定理求 B,C;) (3)已知三边 a,b,c: (由余弦定理求角;) (4)已知两边 a,b 及一角 A: (由正弦定理求出 B,再求出角 C,进而求出边 c.)

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? 志鸿 P70 c2 sin C

(3)

a 2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a 2 + + =0. cos A ? cos B cos B ? cosC cosC ? cos A

a 2 ? b2 (3)解:因为 cos A ? cos B
=

二、公式应用
(一)应用定理边角互化 1.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( B ) A.1<x<5 B. 5 <x< 13 C.0<x< 5 D. 13 <x<5

(2R sin A) 2 ? (2R sin B) 2 cos A ? cos B 4R 2 [(1 ? cos2 A) ? (1 ? cos2 B)] cos A ? cos B

=

2.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cos C 的值为( D )

2 A. 3
A.60°

2 B. ? 3
2 2

1 C. 4
2

1 D. ? 4
D.30°

4R 2 (cos2 B ? cos2 A) 2 = =4R (cosB – cosA), cos A ? cos B
同理

3.在 ?ABC 中, a ? b ? c ? bc ,则 A 等于( C ) B.45° C.120°

b2 ? c2 2 =4R (cosC – cosB) cos B ? cosC

4.在 ?ABC 中,三边 a, b, c 与面积 S 的关系式为 S ? A.30° B.45° C.60°
2 2

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 则角 C 为( B ) 4
)

D.90°

c2 ? a 2 2 =4R (cosA – cosC) cosC ? cos A
.所以左边=4R (cosB – cosA) + 4R (cosC – cosB) + 4R (cosA – cosC)=0 2 2 16.在△ABC 中,已知 C=2B,求证:c -b =ab. 分析:利用正弦定理的变式 a=2RsinA,b=2RsinB. 证明:设△ABC 的外接圆半径为 R. ∵C=2B,sin(B+C)=sinA
2 2 2

5.已知三角形的三边长分别为 x +x+1,x -1 和 2x+1(x>1),则最大角为(B A.150° B.120° C.60° D.75°

得证.

6.在 ?ABC 中, A ? 30 , b ? 12, S?ABC ? 18 则

sin A ? sin B ? sin C 的值为_______ a?b?c

7.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cos C ? _________ 8.三角形三边之比为 3:5:7,则这个三角形的最大角是__________ 9.边长为 5、7、8 的三角形的最大角和最小角的和是________ 10.在 ?ABC 中,已知 2sin B ? cos C ? sin A, A ? 120 , a ? 1 ,则 B=______ S?ABC ? _________

? c 2 ? b 2 ? 4 R 2 (sin 2 C ? sin 2 B ) ? 4 R 2 (sin C ? sin B)(sin C ? sin B ) C?B C?B C?B C?B cos ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 ? 4 R ? sin(C ? B) sin(C ? B ) ? 4 R 2 ? 2 sin ? 4 R 2 sin A sin B ? ab

则原式成立. 17.求值: sin 20? ? cos 80? ? 3 sin 20? cos80?
2 2

11.根据下列条件判断三角形 ABC 的形状: (1)b sin C + c sin B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得 2 2 sin Bsin C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, o o 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90 , A=90 , 故△ABC 是直角三角形. (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解:(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1
2 2 2 2

分析:根据原式的结构特征,联想到余弦定理,所以可用构造三角形的方法求值. 解:构造△ABC,使 A=20°,B=10°,C=150°,设△ABC 的外接圆的半径为 R.由正弦定理得: a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150° 2 2 2 ∵c =a +b –2abcosC

? R 2 ? 4 R 2 sin 2 20? ? 4 R 2 sin 2 10? ? 8 R 2 sin 20? sin 10? cos 150? 即 sin 2 20? ? cos 2 80? ? 3 sin 20? cos 80? ? 1 4
直 ;若 a <b +c
2 2 2

(二)判定三角形形状 2 2 2 2 2 2 1.在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为____钝____;若 a =b +c ,则△ABC 为 2 2 2 2 2 2 且 b <a +c 且 c <a +b ,则△ABC 为 锐 . 2.在 ?ABC 中, tan A sin B ? tan B sin A ,那么 ?ABC 一定是(
2 2



A.锐角三角形
2

B.直角三角形
2

C.等腰三角形
2 2

D.等腰三角形或直角三角形 )

C A?B A?B A?B A?B 2 cos + sin(A + B)] – [2cos cos + 2cos 2 - 1]=0 2 2 2 2 A?B A?B A?B A?B 2 A ? B cos + sin(A + B)] – 2cos cos - 2sin =0 ? [2sin 2 2 2 2 2 A?B A?B A?B A?B - cos )(cos - sin )=0 ? (sin 2 2 2 2 ? A?B A?C?B A?B?C )sin sin =0 ? sin( 4 2 4 4

? [2sin

3.在 ?ABC 中,若 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin C ,则 ?ABC 是( A.等腰三角形 A.锐角三角形 B.直角三角形 B.直角三角形
2

? △ABC 是 Rt△。
(二)解三角形 1.(1)在 ?ABC 中, A ? 120 , b ? 3, c ? 5, 求 sin B 、 sin C 的值

C.等腰直角三角形 ) C.钝角三角形
2 2

D.等腰或直角三角形

4.在 ?ABC 中, 0 ? tan A ? tan B ? 1 ,则 ?ABC 是(

D.无法确定形状
2

5.在 ?ABC 中, (sin A ? sin B ? sin C) ? 3(sin A ? sin B ? sin C) 则这个三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

) (2)在 ?ABC 中, b ? 2, c ? 1, B ? 45 求 a, A, C

6.在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,并且 sin A ? 2sin B cos C 则 ?ABC 的是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 2 2 2 7.在△ABC 中,若 sin A=sin B+sin C,则三角形 ABC 的形状是(B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 8.若



(3)在 ?ABC 中, a ? 2 2, b ? 2 3, A ? 45 求 c, B, C

sin A cos B cos C ? ? 则 ?ABC 是( C a b c
B.有一内角是 30°

) (4)在 ?ABC 中, b ? ( 3 ?1)a, C ? 30 求 A, B 志鸿 P71

A.等边三角形 C.等腰直角三角形

D.有一内角是 30°的等腰三角形

9.在 ?ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,且 B 为锐角,则三角形的形状是_________ 10.根据条件分别判断三角形形状:

cos A b 4 ? ? (1)在 ?ABC 中, cos B a 3
(3)在 ?ABC 中,若
3 3 3

sin A ? sin B ; (2)在 ?ABC 中, sin C ? ; cos A ? cos B

2.已知△ABC 中,b=1,c=3,A=60°,则 a=
2

7
1

3.三角形两边分别为 1、 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径为

3 sin A a ?b ?c ? 2sin C ? c 2 ,且 sin A sin B ? ; (4)在 ?ABC 中, 4 cos B a?b?c

4.在△ABC 中,∠A=45°,cosA、cosB 是方程 4x -2(1+ 2 )x+m=0 的两个根,AC= 2 ,①求∠B; ②求 BC 的长。

①60°



2 3 3
求其两对角线的长。 13,

9,已知在 ?ABC 中, sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 , 求角 A,B,C 的大小。

5.平行四边形两邻边长分别为 3,4,它们的夹角为 60?

37

9,由 sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A(sin B ? cos B) ? sin( A ? B) ? 0 ,有

6.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长 解:在△ABD 中,设 BD=x D 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos?BDA
2 2 2

sin B(sin A ? cos A) ? 0 ,得 A ?

C

3? ,由 sin B ? cos 2C ? 0 得 4 4 3? ? ? 5? sin B ? cos 2( ? B) ? 0 ,有 sin B ? sin 2 B ? 0 ,得 A ? , B ? , C ? 。 4 4 3 12 ,B?C ?

?

10,在 ?ABC 中,已知 AB ? 即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60
2 2 2 ?

6 4 6 , cos B ? ,AC 边上的中线 BD ? 5 ,求 sin A 的值。 6 3 1 2 6 ,设 BE ? x ,有 AB ? 2 3

整理得: x ? 10x ? 96 ? 0
2

A

10,设 E 为 BC 的中点,连结 DE,则 DE//AB,且 DE ? B

解之: x1 ? 16 由余弦定理:

x2 ? ?6 (舍去)
∴ BC ?

BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD

16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin 135

7 BD2 ? BE 2 ? DE 2 ? 2BE ? DE cos ?BED ,得 x ? 1 或 x ? ? (舍去) ,有 BC=2。 3
从而 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B =
2 2 2

28 2 21 ,得 AC ? 。 3 3

8.若三角形中的最大角是最小角的两倍,且它的三条边的长是连续的三个整数, 求三条边的长。 解:设三条边长为: n, n ? 1, n ? 2 (n ? N ) 最小角为 ? ,最大角为 2?

?

n n?2 ? sin ? sin 2? n n?2 ? ? sin ? 2 sin ? cos ? n?2 ? cos ? ? 2n 2 (n ? 1) ? (n ? 2) 2 ? n 2 n ? 2 ? ? 2( n ? 1)(n ? 2) 2n

2 30 ? 又 sin B ? ,而 sin A 6

2 21 3 ,于是 sin A ? 70 。 14 30 6
2 2 2

?A, ?B, ?C 所对的边长分别为 a, b, c 。 11, 在 ?ABC 中, 设 a, b, c 满足 b ? c ? bc ? a 和
求 ? A 和 tan B 的值。 11,由题设条件,应用两角差的正弦公式得

c 1 ? ? 3, b 2

n ? 6n ? 5 n?2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 2n ( n ? 1)(n ? 5) n?2 ? ? 2(n ? 1)(n ? 2) 2n ?
2

7 7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos? ) ,即 sin ? ? cos ? ? 5 10 4 2
由题设条件,应用二倍角余弦公式得



n?5 n?2 ? n?2 n ? n(n ? 5) ? (n ? 2) 2 ?

?n ? 4
即三条边长为 4,5,6

7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 由①和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? 5 5 3 因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 4
王新敞
奎屯 新疆

3 ? tan? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 tan( ?? )? ? 3 11 1 ? 3 tan? 3 3 4?3 3 1? 4 3?
12,在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? (I)求 sin
2

3 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin A cos B ? ? ? ? ? 5 ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解:?

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

1 。 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(II)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值。

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , ? tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 1 ? tan A tan B 4

?

1 2 B?C ? cos 2 A ? [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos 2 A ? 1) 12,解: (I) sin 2 2 1 1 1 2 1 (1 ? cos A) ? (2 cos 2 A ? 1) = (1 ? ) ? ( ? 1) ? ? 。 = 2 2 3 3 9
(II)由

2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.
解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

2 3 b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? ,得 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 ,有 bc ? a 2 。 3 4 2bc 3

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 设 AB 边上的高为 CD.
则 AB=AD+DB=

9 3 9 又 a ? 3 ,得 bc ? ,当且仅当 b ? c ? 时, bc 的最大值是 。 4 2 4
13.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

CD CD 3CD ? ? . tan A tan B 2 ? 6
所以 AB 边上的高等于 2+ 6

2 ,AC=2,AB=3,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积。 2
1 2 ? cos( A ? 45 ) ? 。 2 2

由 AB=3,得 CD=2+ 6 .

15.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

13,解:
?

sin A ? cos A ? 2 cos( A ? 45 ) ?
?

又 0 ? A ? 180 ,? A ? 45 ? 60 , A ? 105

1 , 2

? tan A ? tan(45 ? 60 ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 1? 3
? ? ? ? ?

π . 6

sin A ? sin 105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?
? ?

2? 6 4

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

S ?ABC

1 1 2? 6 3 ? AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 2 2 4 4
3 1 , sin( A ? B ) ? 。 5 5

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?

14,已知锐角 ?ABC 中, sin( A ? B ) ? (I)求证: tan A ? 2 tan B ; (II)设 AB=3,求 AB 边上的高。 14, (Ⅰ)证明:? sin( A ? B ) ?

3 1 , sin( A ? B) ? , 5 5

由 △ ABC 为锐角三角形知,

所以,当 x ?

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6
所以

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?


(三)三角形解的存在性 1、 ?A, ?B 的对边分别是 a , b ,且 ?A ? 60 , a ? 6, b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC ( A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 ) 2、在 ?ABC 中, ?B ? 30 , AB ? 2 3, AC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为( A. 2 3 B. 3 C. 2 3 或 4 3 D. 3 或 2 3

1 ? ?? 3 . sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2

3 ?? 3 ? 由此有 ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? 16.在 △ ABC 中,已知内角 A ?

3、在 ?ABC 中,已知 a ? xcm , b ? 2cm, B ? 45 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范 围是( ) B. 2 ? x ? 2 2 C. x ? 2 D. x ? 2 A. 2 ? x ? 2 2

? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? , ?? ? ? ? ? ??


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