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数学:3.1.2《不等式的性质》课件(新人教b版必修5)


教学目标
?1、掌握不等式的性质及其推论,并能证明 这些结论。 ?2、进一步巩固不等式性质定理,并能应用 性质解决有关问题。 ? 教学重点: ?1、不等式的性质及证明。 ?2、不等式的性质及应用

知识回顾
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b?

0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

新知探究

性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a, 那么a>b. 性质1表明,把不等式的左边和右边交 换位置,所得不等式与原不等式异向,我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. 证明:根据两个正数之和仍为正数,得 a ? b ? a ? b ? 0? ? (a-b)+(b-c)>0 ?
? b ? c ? b ? c ? 0?

a-c>0 ? a>c.

这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a. 这个性质是不等式的传递性。 性质3:如果a>b,则a+c>b+c. 证明:因为a>b,所以a-b>0, 因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0, 即 a+c>b+c.

性质3表明,不等式的两边都加上同一 个实数,所得的不等式与原不等式同向.
这个性质是不等式的可加性。

由性质3可以得出

a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b) ? a>c-b. 推论1:不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后,从不等式的 一边移到另一边。 (移项法则)

推论2:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
证明:因为a>b,所以a+c>b+c,

又因为c>d,所以b+c>b+d,
根据不等式的传递性得 a+c>b+d.

几个同向不等式的两边分别相加,所
得的不等式与原不等式同向。
这个性质是不等式的加法法则。

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果 a>b,c<0,则ac<bc. (不等式的可乘性) 推论1:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,

又因为c>d,b>0,所以bc>bd,
根据不等式的传递性得 ac>bd。 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别 相乘,所得的不等式与原不等式同向。 这个性质是不等式的乘法法则。

推论2:如果a>b>0,则an>bn,(n∈N+, n>1). a?b?0
证明:因为
? ? a ? b ? 0? ? n 个, ...... ? a ? b ? 0? ?

根据性质4的推论1,得an>bn.
这个性质是不等式的乘方法则。

n 推论3:如果a>b>0,则, a ? n b

(n∈N+,n>1).
证明:用反证法,假定
n

n

a ≤ b ,即
n

或na?nb , a? b
n

根据性质4的推论2和根式性质,得 a<b或a=b, 这都与a>b矛盾,因此
n

a? b
n

这个性质是不等式的开方法则。

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b 1 (1)因为ab>0,所以 ?0 证明: ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab

1 1 即 ? b a

1 1 因此 ? a b

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d; 证明:(2)因为a>b,c<d,
所以a>b,-c>-d, 根据性质3的推论2,得 a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d

证明:(3)因为0<c<d,根据(1)的结
1 1 论得 ? ? 0 c d
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d a b 即 c?d

例2. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;
1 1 (2) ? a b
1 1 ? ;(3) a ?b a

成立的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

例3.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A, B的大小关系是
A≥B



例4.(1)如果30<x<36,2<y<6,求x-
x 2y及 的取值范围。 y

18<x-2y<32,

x 5 ? ? 18 y

(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a -b)c2的取值范围。 因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0

例5.若 ?

?
2

≤? ? ? ≤

?
2

,求

? ?? ? ??
2 , 2

的取值范围。

?

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2



? ??
2

?0

例6 已知:函数

f ( x) ? ax2 ? c,

?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5

求: f ( 3) 的取值范围. 解:因为f(x)=ax2-c, ? f (1) ? a ? c 所 ? f (2) ? 4a ? c ? 以

1 ? ? a ? 3 [ f (2) ? f (1)] ? 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

所以f(3)=9a-c=

8 5 f (2) ? f (1) 3 3

因为 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
8 8 40 所以 ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3
5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

两式相加得-1≤f(3) ≤20.

练习1.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5, 求9a-b的取值范围。 解(待定系数法) 设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)

=(m+4n)a-(m+n)b, 令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得, 5 8 m ? ? ,n ? 3 35 8 所以9a-b= ? (a-b)+ (4a-b) 3 3

由-4≤a-b≤-1,得
5 5 20 ≤ ? ( a ? b) ≤ 3 3 3

由-1≤4a-b≤5,得
8 8 40 ? ≤ (4a ? b) ≤ 3 3 3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

练习2.P74 练习3

?作业:P75 B 1,2


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