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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:二次函数与方程、不等式


基础知识: 一、二次函数 1. 定义:形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数. 2. 二次函数的有关性质 a>0 时,开口向上 ①开口方向 a<0 时,开口向下

②对称轴方程

b x=- 2a
自然定义域:R 指定定义域:D

③定义域 3. 图象

y

/>y

a>0

a<0

0

x
x

0
= -

x

b 2a

x=-

b 2a

4. 二次函数的解析式 ①一般式:y=ax2+bx+c ②顶点式:y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是二次函数图象的顶点 ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实根

二、二次方程 1. 当 f(x)=ax2+bx+c 中,f(x)=0 时,即得到二次方程 ax2+bx+c=0 其解的几何意义即为二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标. 2. 根的判别式△ 2-4ac =b △ >0 时,方程有两个不相等的实数根; △ =0 时,方程有两个相等的实数根;

△ <0 时,方程无实数根,但有两个共轭的虚数根 3. 根与系数的关系(韦达定理)

b x +x =- a
1 2

c ,x x = a
1 2

4. 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件 ax2+bx+c=0(a>0) 若有二根 x1>1,x2<1 则 f⑴ <0 若有二根 x1,x2∈ (2,3) 则 f⑵ >0 f⑶ >0 △ ≥0

b - 2a

∈ (2,3)

三、一元二次不等式 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)的解集,即函数 f(x)=ax2+bx+c 的自变量的取值 范围,使其函数值 f(x)>0(或<0)的自变量的取值范围.

△ >0

△ =0

△ <0

y a>0

y

y

0

x1

x2

x

0

x0

x

0

x

例题: 1. 选择填空题 ① f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( ) A.f⑵ <f⑷ <f⑴ B.f⑴ <f⑷ <f⑵ C.f⑵ <f⑴ <f⑷ D.f⑷ <f⑴ <f⑵ 解:由题意,f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且图象开口向上,画出示意图,由图象 知 f⑷ >f⑵ >f⑴ ,选 A

x=2

②已知 y=log a 2 (x2-2x)在区间(-∞,0)上单调递增,则 a 的取值范围是( A.a>1 B.-1<a<1 C.a∈ 且 a≠0 R D.a<-1 或 a>1 解:由函数的单调性的定义知: x 在(-∞,0)上增大时,函数值 y 随之增大,故有以下过程:

)

x:

?增大 ? 0 ? ? -∞ ?减小? 0 ? ?
y

u=x2-2x:+∞

故必有 0<a2<1 ∴-1<a<1 且 a≠0.选 B

0 ③已知函数 y=log 1 (x2-6x+7),则 y(
2

)

x

A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值 C.有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值 解:∵ u=x2-6x+7∈ [-2,+∞) 而定义域要求 u>0,即 u∈ (0,+∞) ∴ b=log0.5u ∴ (-∞,+∞).选 D b∈

2.

填空题 ① 方程 x2-2|x|=a(a∈ R)有且仅有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是_______. 2 解:令 y1=x -2|x|,y2=a

?x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? ? 2 则y = ?x ? 2 x ( x ? 0) ,其函数图象如下: ?
1

思考:a 为何(范围)值时,方程无实数根?有四个实数根?有三个实数根?

② 关于 x 的方程 x2-2ax+9=0 的两个实数根分别为 α、β,则(α-1)2+(β-1)2 的最小值是 ________ _______. 解:方程有实数根, 故△ =4a2-4×9≥0 ∴ a≤-3 或 a≥3 又 α+β=2a,αβ=9 ∴ y=(α-1)2+(β-1)2 =(α+β)2-2(α+β)-2αβ+2 =4a2-4a-16 ∵ a≤-3 或 a≥3 ∴ y≥8(a=3 时取等号) ∴ min=8 y 3. 已知函数 y=x2-4ax+2a+30 的图象与 x 轴无交点,求关于 x 的方程

x a ? 3 =|a-1|+1 的根的范围.
分析:由于图象与 x 轴没有交点, 所以△ <0,解得 a 的取值范围 又对于每一个 a 值,原方程都是一元一次方程,但由于 a 是变化的,可知,x 是 a 的二次 函数,又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域 问题. 解:∵ y=x2-4ax+2a+30 的图象与 x 轴无交点,所以△ =(-4a)2-4(2a+30)<0 解得:-2.5<a<3 ⑴ a∈ 当 (-2.5,1]时,方程化为 x=(a+3)(2-a)

9 25 , =-a -a+6∈ ( 4 4 ]
2

⑵ a∈ 当 (1,3)时,方程化为 x=(a+3)a=a2+3a∈ (4,18)

9 综上所述:x∈ ( 4

,18)

设 a,b 为实常数,k 取任意实数时,函数 y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+(k2+3ak+b) 的图象与 x 轴都交于点 A(1,0). ①求 a、b 的值; ②若函数与 x 轴的另一个交点为 B,当 k 变化时,求|AB|的最大值. 分析:由 A 在曲线上,得 k 的多项式对 k 恒成立,即可求的 a,b 的值. 解:⑴ 由已知条件,点 A(1,0)在函数图象上, 2 故(k +k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0 整理得:(1-a)k+(b+1-2a2)=0 ∵对 k∈ R,上式恒成立 ∴ 1-a=0 且 b+1-2a2=0 从而 a=1,b=1 y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1) ⑵ B(α,0),则|AB|=|α-1| 设 ∵ 2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)=0 (k 的两个根为 1、α,由韦达定理 4.

k 2 ? 3k ? 1 1?α= k2 ? k ?1
整理得:(1-α)k2+(3-α)k+(1-α)=0 α=1 时,得 2k=0 ? k=0 α≠1 时,∵ R,∴ ≥0 k∈ △ 2 即(3-α) -4(1-α )2≥0

5 得 :-1≤α≤ 3 且 α≠1 5 综合得:-1≤α≤ 3
2 ∴ -2≤α-1≤ 3
∴ |AB|=|α-1|∈ [0,2] 即|AB|的最大值为 2.

设实数 a、b、c 满足 a -bc-8a+7=0 …………① 2 2 b +c +bc-6a+6=0 …………② 求 a 的取值范围. 分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只含有 a 的不等式,是解 决本题的关键,仔细分析观察方程组的特点,发现可以利用 a 来表示 bc 及 b+c,从而用韦达 定理构造出 a 为变量的一元二次方程,由△ 建立 a 的不等式. ≥0 2 解:由① 得:bc=a -8a+7 …………③ 由①得:(b+c)2=a2-2a+1 ② 即 b+c=±(a-1) …………④ 由③得 b,c 为方程 ④ 2 x ±(a-1)x+(a2-8a+7)=0 的两个实数 根, 由于 b,c∈ R,所以△ ≥0 即:[±(a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0 即:a2-10a+9≤0 得:1≤a≤9 5.
2

6.

设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两 个根 x1、x2 满足

2

1 0<x <x < a
1 2

.

Ⅰ x∈ .当 (0,x1)时,证明 x<f(x)<x1;

x1 Ⅱ .设函数 f(x)的图象关于直线 x=x 对称,证明:x < 2
0 0

.

分析:由于涉及方程根的问题,故需用韦达定理来分析和解决. 证明:Ⅰ F(x)=f(x)-x. .令 因为 x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的根,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2) 当 x∈ (0,x1)时,由于 x1<x2, x-x1<0,x-x2<0 得(x-x1)(x-x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0 即 x<f(x). 而 x1-f(x)=x1-[x-F(x)] =x1-x+a(x-x1)(x-x2) =(x1-x)[1-a(x-x2)]

1 因为 0<x<x1<x2< a
所以 x1-x>0, 1-a(x-x2)>1-a· 得 x1-f(x)>0 即 f(x)<x1.

1 a

>0

b Ⅱ .依题意知 x =- 2a .
0

因为 x1,x2 是方程 f(x )-x=0 的根,即 x 1,x2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的根,

2

所以

b ?1 x +x =- a b a(x 1 ? x 2 ) ? 1 ax 1 ? ax 2 ? 1 ? ? x =- 2a 2a 2a
1 2 0

ax1 x1 ? 因为 ax2<1,所以 x0< 2a 2

若关于 x 的二次方程 7x2-(p +13)x+p2-p-2=0 的两根 α、β 满足 0<α<1<β<2, 求实数 p 的取值范围. 解:设 f(x)=7x2-(p+13)x+p2-p-2 根据题意得: f(0)>0 f⑴ <0 f⑵ >0 2 即 p -p-2>0 p2-2p-8<0 p2-3p>0 解得:p∈ (-2,-1)∪ (3,4) 7.


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