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高中数学人教A版·必修5(有详解答案):课时作业8:等差数列


课时作业 8
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分)

等差数列
分值:100 分

1.等差数列{an}的公差 d=-1,a1=2,则 a3 等于( A .1 C.2 B.0 D.3

)

解析:a3=a1+(3-1)d=2+2×(-1)=0. 答案:B

2.在数列{ an}中,a1=1,an+1=an+1,则 a2 011 等于( A. 2 009 C.2 011 B.2 010 D.2 012 )

解析:由于 an+1-an=1,则数列{an}是等差数列,且公差 d=1,则 an=a1 +(n-1)d=n,∴a2 011=2 011. 答案:C 3.△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数列,则 B 等于( A.30° C.90° 解析:∵A,B,C 成等差数列, ∴A+C=2B.又 A+B+C=180° ,∴ B=60° . 答案:B 4.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则 a1 等于( A.-9 C.-7 B.-8 D.-4 ) B.60° D.120° )

解析:由 an=am+(n-m)d(m,n∈N*), 得 d= an-am . n-m

a6-a4 6 ∴d= = =3.∴a1=a2-d=-8. 6-4 6-4 答案:B 5.方程 x2-6x+1 =0 的两根的等差中项为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:方程 x2-6x+1=0 的两根之和为 x1+x2=6, ∴两根的等差中项为 3,故选 C. 答案:C 6.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.45 C.47 B.46 D.92 )

解析:由题可知,等差数列的首项 a1=1,公差 d=-2,且 an=-89. 由 an=a1+(n -1)d,解得 n=46.故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.公差为 d 的等差数列{an}中,a6+a10=18,则 a1+7d=_ _______. 解析:a6+a10=(a1+5d)+(a1+9d)=2(a1+7d)=18, ∴a1+7d=9. 答案:9 8.已知 a,b,c 成等差数列,那么二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴 的公共点的个数是________. 解析:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c.

二次函数 y=ax2+2bx+c 的判别式 Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0, ∴图象与 x 轴有一个或两个公共点. 答案:1 或 2 9.若 x≠y,且 x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各自都成等差数列,则 =________. y-x y-x 解析:由题知 a2-a1=d1= 3 ,b2- b1=d2= 4 , ∴ a2-a1 4 = . b2-b1 3 a2-a1 b2-b1

4 答案:3 三、解答题(共计 40 分) 10.(10 分)等差数列{an} 中,首项为 33,公差为整数,若前 7 项均为正数, 第 7 项以后各项都为负数,则公差 d 的值为多少?
? ?a7=a1+6d>0, 解:由题意,得? ?a8=a1+7d<0, ? ? ?33+6d>0, 33 33 即? 得:- 6 <d<- 7 ,∴d∈N,∴d=-5. ?33+7d<0, ?

11.(15 分)夏季高山上的温度从山脚起,每升高 100 米,降低 0.7 ℃,已知 山顶处的温度是 14.8 ℃,山脚处的温度为 26 ℃,问此山相对于山脚处的高度是 多少米? 解:∵每升高 100 米温度降低 0.7 ℃, ∴该处温度的变化是一个等差数列问题. 山脚温度为首项 a1=26,山顶温度为末项 an=14.8, ∴26+(n-1)×(-0.7)=14.8,解得 n=17. 故此山相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1600(米).

12.(15 分)如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前 一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列 的公方差. (1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an-1(n≥2)的关系式; (2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.
2 解:(1)由等方差数列的定义可知:an -a2 n-1=p(n≥2).

(2)方法 1:∵{an}是等差数列,设公差为 d, 则 an-an-1=an+1-an=d(n≥2). 又{an}是等方差数列,
2 2 2 ∴an -a2 n-1=an+1-an(n≥2).

∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an), 即 d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0. ∴d=0,即{an}是常数列. 方法 2:∵{an}是等差数列,设公差为 d, 则 an-an-1=d(n≥2), 即 an-1=an-d. ① 又{an}是等方差数列,设公方差为 p′,
2 则 a2 n-an-1=p′(n≥2).



①代入②得,-d2+2dan-p′=0. ③ ∴-d2+2dan-1-p′=0(n≥2). ④ ③④两式相减得 2d(an-an-1)=2d2=0. ∴d=0,即{an}是常数列.


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