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二次函数的概念和图像


二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念 一般地,如果特 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,特别注意 那么 y 叫做 x 的二次函数。

a 不为零

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 二次函数的图像是

一条关于 x ? ?

b 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线 画出对称轴 (2)求抛物线 y ? ax ? bx ? c 与坐标轴的交点:
2

当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找 到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到 二次函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。 由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出 一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 练习: 1.判断:下列函数是否为二次函数,如果是,指出其中常数 a.b.c 的值. (1) y=1— 3 x (5)y=
2

(2)y=x(x-5)

(3)y=

1 3 x - x+1 2 2

(4) y=3x(2-x)+ 3x2

1 3x ? 2 x ? 1
2

(6) y= x 2 ? 5x ? 6

(7)y= x4+2x2-1 (8)y=ax2+bx+c

2. m 取哪些值时,函数 y ? (m ? m) x ? mx? (m ? 1) 是二次函数?
2 2

1、二次函数 y=ax2+bx+c 图象如图所示,则点 A(ac,bc)在( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限
y

) . D、第四象限

y
x O

O
(第 1 题图) 2 题
2

x

(3 题图) 图 2、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,对称轴是 x? ,则下列结 论中正确 1 的( ) A. a c? 0 B. b?0 C. b ? 4 a c ? 0
2

D. 2 a ? b ? 0 )

3、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则直线 y ? bx ? c 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、已知二次函数

的图象如图所示,则在“①a<0,②b>0,③c< 0,④b ) A.①②③④ B.④ C.①②③

2

-4ac>0”中,正确的判断是( ④

D.①

4题

5题

6题

5、已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示,下列结论中: ① abc > 0;② b = 2a;③ a + b + c;④a – b + c ,正确的个数是( ). (A) 4 个 (B) 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个 2 6、 二次函数 y=ax +bx+c 的图像如图所示, 则下列关于 a、 b、 c 间的关系判断正确的是 ( ) (A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0

二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----(1)一般 ( 2 ) 两根
2

一般 两根 三顶点

一般式: y ? ax ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 当抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有交点时,即对应二次好方程
2

ax2 ? bx ? c ? 0 有 实 根 x1 和 x2 存 在 时 , 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) , 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 可 转 化 为 两 根 式
y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这样表示。

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点 顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a, h, k是常数, a ? 0)

1.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,若 x ? 0 时 y ? 1 ;x ? 1 时 y ? 1 ;x ? 2 时 y ? ?1 . 求这个二次函数关系式.

2.已知函数 y ? (2m ? 3n) x 4 ? (2m ? n ? 8) x3 ? kx2 ? (m ? n) x ? k 2 ,且当 x ? 1 , y ? 7 , 求该二次函数的解析式及 m 的值。
n

二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当

x??

b 4ac ? b 2 时, y最值 ? 。 2a 4a
b 是否在自变量取值范围 2a

如果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x 2 ,那么,首先要看 ?

x1 ? x ? x2 内,若在此范围内,则当 x= ?

b 4ac ? b 2 时, y最值 ? ;若不在此范围内,则 2a 4a

需要考虑函数在 x1 ? x ? x 2 范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当
2 x ? x2 时, y最大 ? ax2 ? bx2 ? c ,当 x ? x1 时, y最小 ? ax12 ? bx1 ? c ;如果在此范围内,

2 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 则 当 x ? x1 时 , y最大 ? ax1 ? bx1 ? c , 当 x ? x2 时 , 2 y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。

练习:1.某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚,平均修建每公顷大棚要 用的支架,塑料膜等材料的费用为 27000 元,此外还要购置喷灌设备,这项费用(元)与大 棚面积 x(公顷)的平方成正比,比例系数为 9000,每公顷大棚的年平均经济收益为 75000 元。 (1)一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚,才能使蔬菜大棚而增加的收益(扣除修建费 用后)为 60000 元 (2)修建 3 公顷大棚收益是否为该年的最大收益,请说明理由; (3)修建大棚数量在什么范围内,该年年收益不低于 63000 元。

2.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料 (这里的代销是指厂家先免费提供货源, 待货物售 出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨, 该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现:当每吨售价下 降 10 元时,月销售量会增加 7.5 吨,综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂 家及其他费用 100 元,设每吨材料售价为 x 元,该经销店的月利润为 y 元。 (1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月份销售量 (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 中, a b c,的作用
(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 中的 a 完全一样.
2

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴是直线

b b ,故:① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② ? 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴 2a a b 在 y 轴左侧; ③ ? 0(即 a 、b 异号) 时, 对称轴在 y 轴右侧. 口诀 --- 同 a x??



异右

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交点的位置. 当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ) : ① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴; ③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则

b ? 0. a

关于 x 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h ? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

关于 y 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h ? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2

关于原点对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h ? ? k 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k
2 2

关于顶点对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ?

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h ? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k .
2 2

关于点 ? m ,n ? 对称
n ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k y ? a ? x ? h ? ? k 关于点 ? m ,
2 2

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 a 永 远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 练习 1.已知抛物线 y ? ? x 2 ? (m ? 4) x ? 3(m ?1) 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点, (1)求 m 的取值范围; (2)若 m ? 0 ,直线 y ? kx ? 1 经过点 A,与 y 轴交于点 D,且 AD ? BD ? 5 2 ,求抛物线 的解析式; (3)若 A 点在 B 点左边,在第一象限内, (2)中所得的抛物线上是否存在一点 P,使直线 PA 平分 ?ACD 的面积?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由。

练 习 2. 已 知 : m、n 是 方 程 x ? 6 x ? 5? 0的 两 个 实 数 根 , 且 m ? n , 抛 物 线
2

y ? ? x2 ? bx ? c 的图像
经过点 A( m, 0 )、B( 0, n ). (1) 求这个抛物线的解析式; (2) 设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C、D 的坐标和△BCD 的面积; P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH⊥ x 轴,与抛物线交于 H 点,若直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2:3 的两部份,请求出 P 点的坐标.

练习 3.已知:以直线 x=1 为对称轴的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) , 且经过点 (4,

5 3 )和(0,- ) 。点 P(x, y)在抛物线的顶点 M 的右侧的半支上(包括顶点 M) , 4 4

在 x 轴上有一点 C 使△OPC 是等腰三角形,OP=PC。

(1)若∠OPC 是直角,求点 P 的坐标; (2)当点 P 移动时,过点 C 作 x 轴的垂线,交直线 AM 于点 Q,设△AQC 的面积为 S,求 S 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围,并画出它的图象。


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