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3.2函数的单调性


数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞。 数无形时少直觉, 形少数时难入微。 数形结合百般好, 隔离分家万事休。 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离。 ———华罗庚



课:

§3.2函数的单调性
本节课的重点:函数单调性的定义及判定 难点:函数单调性的证明

引例1:图示是绵

阳市某一天24小时内的气温变化图。气温 θ 是关于时间 t 的函数,记为θ = f (t) ,观察这个气温变 化图,说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的?

引例2:画出下列函数的图象

(1)y = x

y

O

y=x

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

y


(1)y = x
x1 O

y=x

· 1

x

f(x1)
此函数在区间 大,在区间 内y随x的增大而增 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

y


(1)y = x
x1 O f(x1)

y=x

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

y

x1 f(x1) O

(1)y = x

y=x

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

y

O f(x1) x1

(1)y = x

y=x

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

y
f(x1)

(1)y = x

O

y=x

· 1

x1

x

(-∞, +∞ )内y随x的增大而增 此函数在区间 大,在区间 y随x的增大而减小;

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y
1· O

y = x2

· 1

x

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y
1· O

y = x2

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

f(x1)

y
1· x1 O

y = x2

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2
f(x1)

y
1· x1 O

y = x2

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2
f(x1)

y


y = x2

x1 O

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y


y = x2

f(x1)

x1 O

· 1

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y
1· f(x1) O x1 · 1

y = x2

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y
f(x1) 1· O

y = x2

·1 1x

x

此函数在区间 大,在区间

内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。

引例2:画出下列函数的图象

(2)y = x2

y
1· O

f(x1)

y = x2

· 1

x1

x

此函数在区间 [0, +∞ ) 内y随x的增大而增 大,在区间 (-∞, 0 ] 内y随x的增大而减小。

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

从左至右,图象下降

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

y随x的增大而增大 数量 特征 当x1<x2时, f(x1) < f(x2)

在区间I内
y

在区间I内
y

y=f(x)

y=f(x)
f(x2)

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 数量 特征 当x1<x2时, f(x1) < f(x2) 当x1<x2时, f(x1) > f(x2)

由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1)

f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2, 的任意两个自变量的值x1,x2,

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A.

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),

当x1<x2时,都有 f (x1 )

>

f(x2 ),

那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数,I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数,I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间

通俗地说: 若一个函数 f ( x ) 在它的定义域内的某一区间上 当自变量由小到大 (即x1 ? x2 ), 函数值也有小到大 即f ( x1 ) ? f ( x2 ),
(或y1 ? y2 ),

则称函数 f ( x ) 在该区间上为增函数 若一个函数 f ( x ) 在它的定义域内的某一区间上 当自变量由小到大 (即x1 ? x2 ), 函数值反而由大到小 即f ( x1 ) ? f ( x2 ),
(或y1 ? y2 ),

则称函数 f ( x ) 在该区间上为减函数

从函数的图象上看:
y
f(x2)

y
f(x1) f(x2) x1 x2

f(x1)

O

x

O

x1

x2

x

如果从左到右图象上升 则函数是该区间上的增函数

如果从左到右图象下降 则函数是该区间上的减函数

(1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质;

判断1:函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是否单调增函 y 数;
y ? x2
o x

(1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; (3) x 1, x 2 取值的任意性

判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), y 则函数 f (x)在R上是增函数;
f(2) f(1) O 1 2x

例 (一)单调性的判断



例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) 的图像, 根据图像说出 y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一单调区间上, y ? f ( x) 是增函数还是减函数.
y ? f ( x)
3 -3 -2 -1 -5 -4 2 1 1 -1 -2 2 3 4 5

解: 函数的 y ? f (x ) 单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3), [3,5], 其中 y ? f (x ) 在区间 [-5,-2),[1,3)是减函数, 在[-2,1),[3,5]是增函数.

通过观察函数图像 判断函数的单调性

例2.(教材P30例2)判断函数 y ? 4 x ? 2 的单调性 解: 函数的定义域是 ( ??,??)

x y
y
2 1 -1 0 -1 -2 1



0 ┅ -2

1 2

┅ ┅

由函数图象知

x

函数 y ? 4 x ? 2 在 ( ??,??) 上 是增函数。

说明,要判断函数的单调区间和单调性,常用图象法。

(二)函数单调性的证明
例3.证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2在R上是增函数.(教材P30例3) 证明:在R上任取两个值 x1、x 2, x1 ? x2 且 取值 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (3 x1 ? 2) ? (3 x2 ? 2)
? 3 x1 ? 2 ? 3 x2 ? 2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 是 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

作差

变 形
定号 结论

∴函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是增函数.

(二)函数单调性的证明

函数单调性的证明的主要步骤是
1. 取值, 2. 作差, 4. 定号 5. 下结论 任取x1,x2∈D,且x1<x2; f(x1)-f(x2);

3. 变形, (通常是因式分解和配方); (即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

课堂练习1
教材P31练一练第1、2题

1.

(1) y ? f ( x ) 的单调区间有

[-3,-1.5),[-1.5,1.5),[1.5,3]

其中,增函数区间是 [-1.5,1.5),减函数区间是 [-3,-1.5),[1.5,3] (2) y ? g( x ) 的单调区间有 [?? ,? ? ) [? ? , ? ) [ ? , ? ] 其中,增函数区间是 [? , ) 减函数区间是 [?? ,? ) [ , ? ] 2 2 2 2 2. 作出函数的图象
f ( x ) ? 4 x ? 5 在区间 ( ??,??) 上
2 2 2 2

? ?

?

?

是增函数





1.函数单调性的定义中有哪些关键点? (1)自变量由小到大,函数值也由小到大,是增函数;自变量由小 到大,函数值反而由大到小,是减函数。 或者是函数图象从左到右上升的,是增函数,下降的,是减函数。 (2)函数的单调性是局部性质,所以它必须落到具体区间上去。 (3)自变量必须取区间上的任意两个值。 2.判断函数单调性常用什么方法? 用图象法观察

3.证明函数单调性有哪些步骤? (1)取值,定义域中任取两个值x1、x2,且令x1<x2 (2)作差,f(x1)-f(x2) (3) 变形, (4) 定号,(须利用x1<x2 ) (5) 结论,(根据增、减函数的定义)

作 业:
1、教材 P 31习题3.2第1、2、3题 2、练习册P18~19 3.2全部


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