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立体几何双基限时练8


北师大版·数学·必修 2

高中同步学习方略

双基限时练(八)
一、选择题 1.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AB,BC, A1B1,B1C1 的中点,下列结论错误的是( A.GH∥EF B.GH∥AC C.GE∥HF D.GB∥B1F 解析 答案 GB 与 B1F 异

面. D )

2.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,且是所在 棱的中点,则直线 PQ 与 RS 不平行的两个图是( )

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A.①② C.③④

B.②③ D.①④

解析 ③中的 PQ 与 RS 异面,④中的 PQ 与 RS 相交于一点,故 选 C. 答案 C

3.在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为平行四边形(称 这样的几何体为平行六面体), 与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( ) A.3 C.5 解析 B.4 D.6 根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面,可得

CD,BC,BB1,AA1,C1D1 符合条件. 答案 C

4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别为 A1D1, A1B1,DC,BC 的中点,下列说法中错误的是( )

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A.EF∥MN C.AF∥C1N 解析

B.AF∥C1M D.AE∥C1N

∵B1D1∥BD,MN∥BD, ∴MN∥B1D1.又 EF∥B1D1, ∴MN∥EF,故 A 正确,如图取 AD 的中点 G,连接 D1G,GN, 则 D1C1 綊 GN, ∴D1G∥C1N,而 E,G 为 A1D1,AD 的中点, ∴AE∥D1G, ∴AE∥C1N,故 D 正确,同理可证 AF∥C1M,故 B 正确,而 AF 与 C1N 异面. 答案 C

5.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,M 分别为 A1B1,B1C1,
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北师大版·数学·必修 2 BB1 的中点,下列说法中错误的是( )

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A.∠BA1C1=∠MEF C.∠B1EM=∠EA1B

B.∠A1BC1=∠EMF D.∠EFM=∠A1C1F

解析 由等角定理,可知 A、B、C 均正确. 答案 D

6.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别在 AB,AC 上,且 AE 1 1 =3AB,AF=3AC,则下列说法正确的是( A.EF⊥BB1 C.EF∥B1C1 )

B.EF∥A1B1 D.EF∥AA1

1 1 解析 ∵AE=3AB,AF=3AC,∴EF∥BC,又 ABC-A1B1C1 为 棱柱,∴BC∥B1C1,∴EF∥B1C1. 答案 C

二、填空题 7.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别为 AB,AD CF CG 2 的中点, F, G 分别是 BC, CD 上的点, 且CB=CD=3, 若 BD=6 cm, 梯形 EFGH 的面积为 28 cm2, 则平行线 EH, FG 间的距离为________.

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解析 8(cm). 答案

?EH+FG?h 2 EH=3,FG=6×3=4,SEFGH= =28,得 h= 2

8 cm

8.用一个平面去截一个正方体,截面可能是________. 解析

(注:这儿画了其中的特例来说明有这几种图形) 答案 三角形、四边形、五边形、六边形

9.空间中两个角 α,β 且 α,β 的角的两边分别平行,且 α=60° , 则 β=________. 答案 60° 或 120° 三、解答题 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 CC1 和 AA1 的中点.画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.
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北师大版·数学·必修 2 解 如图,在平面 AA1D1D 内,延长 D1F,DA.

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∵D1F 与 DA 不平行,∴D1F 与 DA 必相交于一点,设为 P,则 P ∈D1F,P∈DA. 又∵D1F?平面 BED1F,DA?平面 ABCD, ∴P∈平面 BED1F,且 P∈平面 ABCD. 又∵B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点, ∴连接 PB,则 PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线. 11.如图,两个三角形 ABC 和 A′B′C′的对应顶点的连线 AA′,BB′,CC′交于同一点 O,且 AO BO CO 2 = = =3. OA′ OB′ OC′

(1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC; S△ABC (2)求 的值. S△A′B′C′



(1)证明:∵AA′与 BB′交于点 O,且
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北师大版·数学·必修 2 AO BO 2 = = , OA′ OB′ 3 ∴AB∥A′B′. 同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′.

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(2)∵A′B′∥AB, AC∥A′C′, 且 AB 和 A′B′, AC 和 A′C′ 方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′. 同理∠ABC=∠A′B′C′. 因此△ABC∽△A′B′C′,且 ∴ S△ABC
?2? 4 =?3?2=9.

AB AO 2 = =3. A′B′ OA′

S△A′B′C′ ? ?

12.如图,E,F,G,H 分别是三棱锥 ABCD 的边 AB,BC,CD, AE AH CF CG DA 上的点,且EB=HD=λ,FB =GD=μ. (1)若 λ=μ,判断四边形 EFGH 的形状; (2)若 λ≠μ,判断四边形 EFGH 的形状; 1 AC (3)若 λ=μ=2,且 EG⊥HF,求BD的值.



(1)∵AE EB=AH HD=λ,

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北师大版·数学·必修 2 ∴EH∥BD,且 EH= λ BD.① 1 +λ

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又∵CF FB=CG GD=μ, ∴FG∥BD,且 FG= 又 λ=μ, ∴EH 綊 FG(公理 4). 因此 λ=μ 时,四边形 EFGH 为平行四边形. (2)若 λ≠μ,由①②,知 EH∥FG,但 EH≠FG,因此 λ≠μ 时, 四边形 EFGH 为梯形. (3)∵λ=μ,∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵EG⊥HF,∴四边形 EFGH 为菱形. ∴FG=HG. 1 +μ ∴BD= μ FG=3FG, 3 3 AC=(λ+1)HG=2HG=2FG. AC 1 ∴BD=2. 思 维 探 究 13.如图,一个梯形纸片 ABCD,AB∥CD,E,F 分别是 AD, BC 的中点,将四边形 ABFE 绕 EF 旋转到 A′B′FE 的位置,G,H 分别为 A′D,B′C 的中点.求证: (1)四边形 A′B′CD 是梯形; (2)四边形 EFHG 是平行四边形. μ BD.② 1 +μ

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证明

(1)∵四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,∴AB≠CD.

∵E,F 分别为 AD,BC 的中点, ∴EF∥AB,EF∥CD,旋转后 A′B′∥EF. ∴A′B′∥CD,且 A′B′=AB≠CD. ∴四边形 A′B′CD 是梯形. (2)由(1)知四边形 A′B′CD 是梯形, 1 ∴GH=2(A′B′+CD). 又 GH∥CD,∴EF∥GH. 1 ∵EF=2(AB+CD),∴EF 綊 GH. ∴四边形 EFHG 是平行四边形.

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