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4.3


必修二

第四章 圆与方程
4.3

空间直角坐标系

一、引入
在初中,我们学过数轴,那么什么是 数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的 点怎么表示?
A x -1

0

1

2

数轴是规定了原点、正方向

和单位长度的直线。
数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。

一、引入
在初中,我们学过平面直角坐标系,那 么如何建立平面直角坐标系?决定的因素有 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示?
y

N

P

平面直角坐标系是由两条 原点重合、互相垂直的数轴 组成的。
x

0

M

平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标,即一 对有序实数对(x,y)表示。

在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢?

1. 空间直角坐标系
?

?
? ? ?

? ?

1.建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.其中 (1)点O叫做坐标原点; (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴; z (3)以线段OA的长为单位长度. D` 2.通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面,分别称为: A` xOy平面、yOz平面、zOx平面. 称这个坐标系为右手直角坐标 O 系.如无特别说明,本书建立 的坐标系都是右手直角坐标系A . (图1) x

C`
B`

C

B

y

2、空间直角坐标系的划分


z

yz 面


zx 面


xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y




x


空间直角坐标系共有八个卦限

在平面建系时,一般使 ?xoy ? 135? , ?yoz ? 90?.

3.建立了空间直角坐标系以后, 空间中任意一点M如何用坐标表示呢?
?

设B`为空间的一个定点,过B`分别作垂直于x轴、 y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点

A,C,D`.
z

? 设点A,C,D`在x轴、 y轴、z轴上的坐标 分别为x、y、z, ? 那么点B`就对应惟 一确定的有序实数 组(x,y,z).
x

Z A`

D`

C`

B`
O C Y

X

y

A

(图2)

B

对于空间任意一点P,要求它的坐标

方法一:过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3,在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值 z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z

?
1

P3

? P
1

x? 1 x P1

? o

y ?P 2

y

方法二:过P点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。
点P 0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1在z轴上的坐 标z就是P点的竖坐标。 z
z P1 P

1

?
y
1

P点坐标为 (x,y,z)
N

x

x M

1

? o

y

?P

0

4、特殊位置的点的坐标
z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

?

?
D

B
y

xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

在长方体中, OA ? 3, OC ? 4, OD ? 2.
,

例1:如图


写出D ,C,A ,B 的坐标。 z
D’ (0,0,2) C (0,4,0) A’ (3,0,2)
B’ (3,4,2)
x A D' A' O B' C'





C y
B

课后练习 2

例2:结晶体的基本单位称为晶胞,如
图是食盐晶胞示意图(可看成是八个 棱长为1/2的小正方体堆积成的正方 体),其中红色点代表钠原子,黑点 代表氯原子,如图:建立空间直角坐 标系 O ? xyz 后, z 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。
y x

1、在空间直角坐标系中描出下列

各点,并说明这些点的位置
A(0,1,1) B(0,0,2) C(0,2,0) D(1,0,3) E(2,2,0) F(1,0,0)
z

D

?

?B
1

?A
?
1

O

C

F

?1

?

y

?E

x

练习:在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A(1,4,1); (-1,-3,3) C ?
z

(2)、B(2,-2,-1); (3)、C(-1,-3,3);

(-1,-3,0) C1 ? (2,-2,0) B1

1
O

?

? B?
x

1

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

对称点
横坐标相反, 纵坐标不变。

y

P2 (-x0 ,y0) -x0

y0

P (x0,y0) x0 x

O

P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反, 纵坐标相反。

P1 (x0 , -y0)
横坐标不变, 纵坐标相反。

空间点的对称
关于原点的对称点 P ; 1 ?? x,? y,? z ?

关于y轴的对称点 P ; 3 ?? x, y,? z ?

关于x轴的对称点 P2 ?x,? y,? z ?;

关于yoz面的对称点 P ; 3 ?? x, y, z ?
z

关于z轴的对称点 P ; 3 ?? x,? y, z ? 关于xoy面的对称点 P ; 3 ?x, y,? z ?

关于xoz面的对称点 P ; 3 ?x,? y, z ?

P4

P6
P

P7
O

P1
x

y

P3 P5

P2

对称点
1、关于轴对称
一般的P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) ? (1)x轴对称的点P1为__________; ( ? x, y , ? z ) ? (2)y轴对称的点P2为__________; ( ? x, ? y , z ) ? (3)z轴对称的点P3为__________;
?

关于谁对称谁不变

2、关于坐标平面对称
?

关于谁对称 谁不变

一般的P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) ? (1)xoy平面对称的点P1为__________; -x,y, z) ? (2)yoz平面对称的点P2为( __________; (x, -y, z) ? (3)zox平面对称的点P3为__________;

3、关于坐标原点对称?

巩固练习2
?

在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于y (-1,2,-3) 轴的对称点是__________________ 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于x (1,-2,-3) 轴的对称点是__________________ 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于z (-1,-2,3) 轴的对称点是__________________

?

?

空间中点坐标公式
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? 2 ? y1 ? y 2 ? y3 ? ?y ? 2 ? z ? z ? z 1 2 3 ?z? ? 2 ?

探究:在空间直角坐标系中点P的坐标是 (x,y,z),求点P到坐标原点O的距离
z P(x,y,z) o x A
B

y

OP ? x ? y ? z
2 2

2

P’(x,y,0)

若r为常数,那么x2+y2+z2=r2表示以(0,0,0) 为球心的球面

设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),求|P1P2 |
z P2 P1 o

M2 M

H N2

M1 N1
x

y

N

则M,N的坐标为M(x1,y1,0),N(x2,y2,0)

| MN |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

| p1 p2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2) 之间的距离

| p1 p2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解: AB ?

?1 ? 2? ? ?5 ? 3? ? ?2 ? 4?
2 2

2

?3

BC ? AC ?

?2 ? 3? ? ?3 ? 1? ? ?4 ? 5?
2 2

2

? 6 ? 29

?1 ? 3? ? ?5 ? 1? ? ?2 ? 5?
2 2

2

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)BC边上中线AM的长。
1? 2 ? 3 ? x? ?3 ? 解: 2 ? 5 ? 3 ?1 9 ? ? 9 11? ? ? M ? 3, , ? ?y? 2 2 ? 2 2? ? ? z ? 2 ? 4 ? 5 ? 11 ? 2 2 ?

9 ? ? 11? 66 ? AC ? ?1 ? 3? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 2? 2 ?
2

2

2

小结


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