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《微积分基本原理》(第1课时)课件


1.6

微积分基本定理

一、引入
1. 由定积分的定义可以计算 ?
1

x dx ?
2

1 3

比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
2 0

0

, 但

>
? ?

x dx ?
2

8 3

1 0

(?t ? 2)dt ?
2

5 3

?

2 0

(?t ? 2)dt ?
2

22 3

? ? ? ? ? ? s (b ) ? ? ? ? ? ? ? s(a ) ?
S ? s ( b ) ? s ( a ) ? ? s1 ? ? s 2 ? ? ? ? s i ? ? ? ? s n

?

? S i ? ? t ? s ( t i ?1 ) ?
'

b?a n
n i ?1

? v ( t i ?1 )
i

S ? ? s1 ? ? s 2 ? ? ? ? s i ? ? ? ? s n ?

? ?S
b a

?

?
i ?1

n

b?a n

? v (t )

S ? lim

n? ?

?
i ?1

n

? S i ? lim

n? ?

?
i ?1

n

b?a n

? v (t ) ?

?

b a

v (t ) d t ? ? s (t ) d t ?s (b ) ? s ( a )
'

由定积分的定义得
S ?

?

b a

v ( t )d t ?

?

b a

s '( t ) d t ? s ( b ) ? s ( a )

二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b b a

?

b

f ( x )dx ? F( b) ? F(a )

a

或? f ( x )dx ? F ( x ) |a ? F (b) ? F (a )

(F(x)叫 做 f(x)的 原 函 数 ,f(x)就 是 F(x)的 导 函 数 )

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |a ? F (b) ? F (a)
b

例1 计算下列定积分
( 1 )?
2

找出f(x)的原 函数是关健
3 1

1 x

dx
( l n x )? = 1 x

1

( 2 )? 2 xd x

解(1)∵

?
公 式 1:
3

2

1 x
b a

1

d x = l n x |2 = l n 2 - l n 1 = l n 2 1

?
1

1 x

d x = l n x |a ? ln b ? ln a
2 3 2 2

b

( 2 )? 2 xd x = x |1 ? 3 ? 1 ? 8

练习:
( 1 )? 1d x = _ _ _ _ _ _
0 1

1

( 2 )? xd x = _ _ _ _ _ _
0

1

1/2

( 3 )? x d x = _ _ _ _ _ _
3 0

1

1/4

( 4 )? x d x = _ _ _ _ _ _
3 -1

2

15/4

公 式 2:

?

b a

x dx =

n

x

n +1

n +1

|a

b

复习: 定积分的基本性质
性质1.

?
?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
a

b

b

性质2.

[ f ( x ) ? g( x )]dx ?

a

?

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |a ? F (b) ? F (a)
b
3

例 2.计算下列定积分

?
解:∵
3

(3x 2

2

1 x
(
2

)dx
)? ? ? 1 x
2

1

( x )? = 3 x ,
3

1 x

原式 = ? 1
3 3

3x dx ?

2

?

3

1 x
2

dx ?

1

?

3

1

3x dx ?

2

?

3

(?

1 x
2

)d x

1

= x |1 ?

1 x

|1 ? (3 ? 1 ) ? (
3 3

3

1

? )? 3 1 3

1

76

练习:
( 1 )? ( - 3 t + 2 ) d t ? _1 _ _ _ _ _
2 0 1

( 2 )? ( x +
1 2

2

1 x
2

23/6 ) dx = ______
2

9 ( 3 )? ( 3 x + 2 x - 1 )d x = _ _ _ _ _ _
-1 2

( 4 )? ( e ? 1)d x =
x 1

e2_ _ _ _ _ _ -e+1

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |a ? F (b) ? F (a)
b
?
?

例 3.计算下列定积分
( 1 )? s i n xd x
0

( 2 )? 2 c o s xd x
0

解 (1)∵
?

( co s x ) ? ? sin x
'
?

?

?
0

sin xd x ? ( ? c o s x ) | 0 ? ? c o s ? ? ( ? c o s 0 ) ? 1 ? 1 ? 2
?

思考: ( a ) ?
(b ) ?

s i n xd x 的 几 何 意 义 是 什 么 ?
s i n xd x = _ _ _ _ _ _ _

0 2?

0

0 1

?

( c ) ? 2 s i n xd x = _ _ _ _ _ _ _
0

?

( 2 )? 2 c o s xd x
0

解 ? (sin x ) ' ? co s x
? ?

?

?

2 0

c o s xd x ? s in x | ? s in
2 0

?
2

? s in 0 ? 1 ? 0 ? 1

思考: ( a )

?

?

2 0

c o s xd x 的 几 何 意 义 是 什 么 ?

( b ) ? c o s xd x = _ _ _ _ _ _ _
0

?

0

(c ) ?

2? 0

cosxdx = _______

0

三、小结
微积分基本公式

?a

b

f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a )

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 间的关系.
公 式 1:

?

b a

1 x
b a

d x = l n x |a
n

b

公 式 2:

?

x dx =

x

n +1

n +1

|a

b

作业:P62

A 1 (2)(3)(5)(6)


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