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(新人教A版)高中数学 选修1-2【本章整合】第一章 统计案例(课件)


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专题一 回归分析 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方
法.根据两个变量的一组观测值,可以画出散点图,以判断两个变量是否 具有线性相关关系,若具有线性相关关系,可求出线性回归直线方程. 求出线性回归模型

后,可以借助残差、 残差平方和以及相关指数 R2 等对模型进行评判. 相关指数 R2 刻画回归的效果,其计算公式:R2=1-i=1 n
i=1 n

∑ (yi -y ) ∑ (yi -y)

^2 ,R2 的值越 2

大,模型的拟合效果越好.

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2.建立回归模型的一般步骤 (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量. (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的 关系(如是否存在线性关系). (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则 选用线性回归方程y = bx+a ). (4)按一定规则估计回归方程中的参数. (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大, 或残差呈现不随机的规律性,等等),若残差存在异常,则应检查数据是否 有误,或模型是否合适等.

^

^ ^

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【例 1】测得某国 10 对父子身高(单位:英寸)如下:
父 亲 身 高 (x) 儿 子 身 高 (y) 6 0

62

64

65

66

67

68

70

72

74

6 3. 6

65.2

66

65.5

66.9

67.1

67.4

68.3

70.1

70

(1)画出散点图; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归方程; (3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高. 思路分析:第(2)问中,需先根据散点图确定 y 与 x 是否线性相关,相 关的话再利用公式求出回归方程进行回归分析.
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解:(1)

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(2)从散点图看出,样本点散布在一条直线附近,因此两个变量呈线 性相关关系. 设回归方程为y = bx+a . x=66.8,y=67.01,
2 2 10 10

^

^ ^

x =4 462.24,y ≈4 490.34,∑ xi2 =44 794,
i=1 i=1

10

∑ yi2 =44 941.93,∑ xiyi=44 842.4,

由b =

^

i=1 10

∑ xiyi-10xy
i=1

10

i=1

∑ x2 -10x i

2

44842.4-44762.68 = 44794-44622.4

=

79.72 ≈0.464 171.6

6.

^

a = y ? bx=67.01-0.464 6× 66.8≈35.97.

^

故所求的回归方程为y=0.464 6x+35.97.
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^

(3)当 x=73 时,y=0.464 6× 73+35.97≈69.9. 所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿子的身高约为 69.9 英寸.

^

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【例 2】为研究质量 x(单位:克)对弹簧长度 y(单位:厘米)的影响, 对不同质量的 6 个物体进行测量,数据如下表所示:
x 5 y 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8

(1)作出散点图并求回归方程; (2)求出 R2,并说明其含义; (3)进行残差分析.

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解:(1)散点图如图所示,由图知弹簧长度 y 与质量 x 线性相关.

x = (5+10+15+20+25+30)=17.5, y=
6 6

1 6 1 (7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)≈9.487, 6

∑ xi2 =2 i=1

275,∑ xiyi=1 076.2,

计算,得b≈0.183,a = y ? bx≈6.285, 所求回归方程为y=0.183x+6.285.
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^

i=1

^

^

^

(2)列表如下:
y
i-

^

0.05

0.005

-0.08

-0.045

0.04

0.025

y
i-

-2.24

-1.37

-0.54

0.41

1.41

2.31

所以∑ (yi-y i ) ≈0.013 18,∑ (yi-y)2=14.678 4.
i=1 i=1

6

^

2

6

所以 R2≈1-14.6784≈0.999 1, 回归模型的拟合效果较好.

0.01318

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(3)由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差比较大,需要确 认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正数 据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不 超过 0.13 的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度 较高,由以上分析可知,弹簧长度与拉力成线性关系.

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专题二 独立性检验 独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法.在
判断两个分类变量之间是否有关系时,作出等高条形图只能近似地判 断两个分类变量是否有关系,而独立性检验可以精确地得到可靠的结 论. 独立性检验的一般步骤: (1)根据样本数据制成 2× 列联表. 2 (2)根据公式计算 K2 的观测值 k. (3)比较 k 与临界值的大小关系作统计推断.

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【例 3】为考察性别与是否喜欢饮酒之间的关系,在某地区随机抽 取 290 人,得到如下列联表:
性别与喜欢饮酒列联表 喜欢饮酒 男 女 总计 101 124 225 不喜欢酒 45 20 65 总计 146 144 290

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试用图形判断“性别与喜欢饮酒”之间是否有关系? 解:根据已知数据,可作出如下的等高条形图:

从图形可以看出:女性样本中喜欢饮酒的比例明显高于男性样本 中喜欢饮酒的比例,因此可以认为:“性别与喜欢饮酒”之间有关系.

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【例 4】考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验 观察,得到数据如下表所示:
种子灭菌 黑穗病 无黑穗病 合计 214 451 665 种子未灭菌 175 597 772 合计 389 1048 1437

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能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为种子灭菌与小麦 黑穗病有关系? 解:假设种子灭菌与黑穗病没有关系,则有 a=214,b=175,c=451,d=597,a+b=389,c+d=1 048,a+c=665,b+d=772,n=1 437, 代入公式求得 K 的观测值
1437×(214×597-175×451) = 389×1048×665×772
2 2

n(ad-bc) k=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

≈16.373,

由于 16.373>10.828,所以当犯错误的概率不超过 0.001 的条件下, 认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系.

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