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指数函数及对数函数性质总结


指数函数
一般地,函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2x?2 (2) y ? (?2)x (3) y ? ?2x (4) y ? ? x (5) y ? x2 (6) y ? 4 x2 (7) y ? xx (8) y ? (a ?

1) x ( a >1,且 a ? 2 ) 小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, x a 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R. x 只 有 满 足 y ? a( a 0且 a 1 ) 形 式 才 能 称 为 指 数 函 数 , ? , ? 的
1 x a为 常 数 , 象 y = 2 x - 3? ,x x, =?2 ?x5 , y y y 3

, ? y

x

3?

1

等 等 ,

x y ? a( a 0 ?且

a 的形式,所以不是指数函数 . ?1 )

指数函数 y ? ax( a >0 且 a ≠1) 当底数越大时, , 函数图象间有什么样的关系. 图象特征 函数性质

0< a <1 0< a <1 a >1 a >1 向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1) a 0 =1 自左向右, 自左向右, 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的 在第一象限内的 图 图 x >0, a x >1 x >0, a x <1 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的 在第二象限内的 图 图 x <0, a x <1 x <0, a x >1 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b]上,f (x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)]; (2)若 x ? 0, 则f(x)? 1; f(x)取遍所有正数当且仅当x ? R; (3)对于指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 例题: 例 1:已知指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) ,求 f (0), f (1), f (?3)的值. 1 1、函数 f ( x) ? ( ) x的定义域和值域分别是多少? 2 2、当 x ?[?1,1]时,函数f ( x) ? 3x ? 2的值域是多少? 例 1: 66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (P

(1)1.72.5



1.73

( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 解法: (1)由函数的单调性考虑 因为指数函数 y ? 1.7x 在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以, 1.7 2.5 ? 1.73 (3) 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值, 因此, 0.3 在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.7 与 0.93.1 的大小 . 思考: 1、已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 , 按大小顺序排列 a , b, c .
2. 比较 a 与a 的大小( a >0 且 a ≠0). 1、求下列函数的定义域和值域 (1) y ?
1 3 1 2

1 2 ?1
x

(2) y ? ( ) 2 x

1 3

2

?2

?1?x (3) y ? ? ? ?2?

1

?1? (4) y ? ? ? ?2?

? x2 ? x?2

? 1 ? x ?1 (5) y ? ? ? ?2?

x ?1

2x (6) y ? 1? 2x

x

2、下列函数中,值域为 ?0,?? ? 的函数是(

A. y ? 3

2 x

B. y ? 2 ? 1
x

C. y ? 2 ? 1

?1? D. y ? ? ? ?2?

2? x

3、已知 x ? ? ?3, 2? ,求 f ( x) ? 4、如果函数 y ? a 2 x 值。

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x ? 2a x ?1(a ? 0且a ? 1) 在 ?? 1,1? 上的最大值为 14,求实数 a 的
2

5、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a2 x

?3x?2

? a2 x ?2 x?3 。
2

对数的概念
一般地,若 ax ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 举例:如: 42 ? 16, 则2 ? log 4 16 ,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.
1 1 ? log 4 2 ,读作 是以 4 为底 2 的对数. 2 2 2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1
4 ? 2 ,则
1 2

(2) a x ? N ? log a N ? x 指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 例题: 例 1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 1 (1)54=645 (2) 2?6 ? (3) ( )m ? 5.73 64 3 (4) log 1 16 ? ?4 (5) log10 0.01 ? ?2 (6) loge 10 ? 2.303
2

两类对数 ① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, loge N 常记为 ln N . 以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如 100 的对数等于 2,即 lg100 ? 2 . 求下列各式中 x 的值 2 (1)log 64 x ? ? (2)log x 8 ? 6 (3)lg100 ? x (4)? ln e 2 ? x 3 分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x. 2 2 2 ? ? 3?( ? ) 1 解: (1) x ? (64) 3 ? (43 ) 3 ? 4 3 ? 4?2 ? 16 (2) x 6 ? 8, 所以( x 6 ) 6 ? (8) 6 ? (23 ) 6 ? 2 2 ? 2 (3) 10x ? 100 ? 102 , 于是x ? 2 (4)由? ln e2 ? x, 得 ? x ? ln e2 ,即e-x ? e2 所以 x ? ?2 对数的定义及对数恒等式 log a N ? b ? a b ? N ( a >0,且 a ≠1,N>0) , 指数的运算性质. am ? an ? am?n ; am ? an ? am?n
(a ) ? a ;
m n mn
m

1

1

1

1

a ?a
n

n m

如: a ? a ? a , 设M ? am , N ? an。 于是 MN ? am?n , 由对数的定义得到 M ? a m ? m ? log a M , N ? a n ? n ? log a N
m n

m?n

MN ? a m ? n ? m ? n ? log a MN

?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影) 即:同底对数相加,底数不变,真数相乘 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N M (2) log a ? loga M ? loga N N (3) log a M n ? n log a M (n ? R)

证明: (3) n ? 0时, 令N ? log a M , 则M ? a
n

N n

b ? n log a M , 则M ? a
N b

b n

?a n ? an ?N ? b M 即 log a ? loga M ? loga N N 当 n =0 时,显然成立. ? log a M n ? n log a M
例题:1. 判断下列式子是否正确,a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y)
x ? log a x ? log a y (4) loga xy ? loga x ? loga y y 例 2:用 loga x , loga y , log a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3)(4) 、

(3) log a 小题的值.

x2 y xy (2) log a (3) log z (47 ? 25 ) (4) lg 5 100 3 z 8 xy (1) log a ? log a xy ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z z x2 y ? log a x 2 y ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a y ? log a 3 z (2) log a 3 z 1 1 = 2log a x ? log a y ? log a z 2 3 (3) log 2 (47 ? 25 ) ? log 2 47 ? log 2 25 ? 14 ? 5 ? 19
(1) log a
2 5 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? a >0,且 a ≠1, c >0,且 e ≠1, b >0 log c b log a b ? log c a

(4) lg 5 100 ? lg10 5 ?

2

设 M ? log c a, N ? log c b, 则a ? c M , b ? c N 且 a M ? c, 所以cN ? (a M ) N ? a M ? b N N log c b 即: ? log a b, 又因为 ? M M log c a log c b ? log a b 所以: log c a 小结:以上这个式子换底公式,换的底 C 只要满足 C>0 且 C≠1 就行了,除 此之外,对 C 再也没有什么特定的要求.
1 1 N

表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R
y ? ? 0, ?? ?

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ?? ?
y?R

对数数函数

图 象

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? ( ??, 0)时,y ? (1, ?? ) (??, 0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ?? ) x ? (0,1)时,y ? (??, 0) x?
) x x ? (0, ??)时,y ? (0,1)x ? (0, ??)时,y ? (1, ??x ? (1, ?? )时,y ? (??, 0)? (1, ?? )时,y ? (0, ?? )

性 质

a?b

a?b

a?b

a?b

3

1、化简[ 3 (?5) 2 ] 4 的结果为 ( A.5
1 2

) C.- 5 )
? 1 2

B. 5
1 3

D.-5
5

2、将 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为( A. ? 2
3

B. ? 2
1 6 1 2

C. ? 2

D. ? 2 6 ) D.a2b )

3、化简
3

ab 2 ? a 3 b 2
4

(a, b 为正数)的结果是(

b ? (a b ) b a A. B.ab C. a b 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? 4、化简 ?1 ? 2 32 ??1 ? 2 16 ??1 ? 2 8 ??1 ? 2 4 ??1 ? 2 2 ? ,结果是( ?? ? ? ?? ?? ??

1 ? ? 1? 32 A、 ?1 ? 2 ? 2? ?

?1

1 ? ? ? 32 B、?1 ? 2 ? ? ?

?1

C、1 ? 2

?

1 32

1 ? ? 1? 32 D、 ?1 ? 2 ? 2? ?

5、 0.027
a a
2 3 1 23

?

1 3

1 ? (? ) ?2 ? 256 4 ? 3?1 ? 1 =__________. 7

3

6、

b b
1 2

?

?(

a ?1 b ?1 ? 3 ) =__________. b a
2

7 10 ? 37 7、 (2 ) ? 0.1?2 ? (2 ) 3 ? 3? 0 ? =__________。 9 27 48 2 1 1 5 1 1 1 6 6 3 2 2 3 8、 (a b )(?3a b ) ? ( a b ) =__________。 3 4 16 ? 1 6 0 3 ( ( 4 ( 9、 3 2 ? 3) ? 2 2) ? ( )2 ? 4 2 ? 80.25 ? ? 2005) =__________。 49

2

已知 x ?

2 ab 1 a b 的值。 ( ? ), (a ? b ? 0), 求 2 b a x ? x2 ?1

1、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b% ,则 n 年后 这批设备的价值为( ) A、 na (1 ? b%) B、 a (1 ? nb%) C、 a[1? (b%)n ] D、 a(1? b%)n 2、若 f (52x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ? 。 ?x 2x 3、若 10 ? 25 ,则 10 等于 ( ) 1 1 1 1 A、 B、 ? C、 D、 5 5 50 625 x 1、 若函数 y ? a ? (b ?1)(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第一、 四象限, 三、 则一定有 ( ) A. a ? 1且b ? 0 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 1 |x| 2、方程 2 +x=2 的实根的个数为_______________ 3、直线 y ? 3a 与函数 y ? a x ?1(a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值 范围是________。 4、函数 f ( x) ? ? a 2 ?1? 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x



A、 a ? 1

B、 a ? 2
x

C、 a ? 2

D、 1 ? a ? 2

2 5 、 当 x ? 0 时 , 函 数 f ( x) ? ? a ? 1 的 值 总 是 大 于 1 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ?

_____________。 6、若 ? 1 ? x ? 0 ,则下列不等式中成立的是(
x x ?x x


x x

?1? ?1? ?1? ?1? A.5 ? 5 ? ? ? B.5 x ? ? ? ? 5 ? x C.5 x ? 5 ? x ? ? ? D.? ? ? 5 ? x ? 5 x ?2? ?2? ?2? ?2? ax 0 7、当 a? 时,函数 y? x b y ? b 的图象只可能是 a? 和 ( )

求下列函数的单调区间.
1.一次函数 y=kx+b(k≠0). 解 当 k>0 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当 k<0 时,(-∞,+∞) 是这个函数的单调减区间. k 2.反比例函数 y= (k≠0). x 解 当 k>0 时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当 k<0 时, (-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0). b b 解 当 a>0 时(-∞,- )是这个函数的单调减区间,(- ,+∞)是它的 2a 2a b b 单调增区间;当 a<0 时(-∞,- )是这个函数的单调增区间,(- ,+∞) 2a 2a 是它的单调减区间; 4.指数函数 y=ax(a>0,a≠1).? 解 当 a>1 时, (-∞, +∞)是这个函数的单调增区间, 0<a<1 时, 当 (-∞, +∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数 y=logax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(0,+∞) 是它的单调减区间. 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又 函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数, 那么, 原复合函数 y=f [g(x)] 在区间(a,b) 上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以 g(x1)<g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1<u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以 f(u1)<f(u2),即 f[g(x1)]<f [f(x2)], 故函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.

例1

求下列函数的单调区间: y=log4(x2-4x+3) 解 设 y=log4u,u=x2-4x+3.由 {u>0, u=x2-4x+3, 解得原复合函数的定义域为 x<1 或 x>3. 例 2 求下列复合函数的单调区间: y=log (2x-x2) 设 y=log u,u=2x-x2.由 u>0 u=2x-x2 解得原复合函数的定义域为 0<x<2. 由于 y=log13u 在定义域(0,+∞)内是减函数,所以,原复合函数的单调性 与二次函数 u=2x-x2 的单调性正好相反. 1 2 (1)求函数 f ( x) ? log 的定义域 (2)求函数 y ? ( ) x ?4 x , x ? [0,5) 的值域 2 x ?1 3x ? 2 3 解
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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判断下列函数的奇偶性 1 ① y ? x3 ? ; ② y ? 2x ? 1 ? 1 ? 2x ; x ? x 2 ? 2( x ? 0) ? ③ y ? x4 ? x ; ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ?? x 2 ? 2( x ? 0) ?

函数单调性的常用结论: 1、若 f (x), g( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间 上也为增(减)函数 2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同, y ? f [ g ( x)] 是增函数; f ( x) 与 g ( x) 若 则 若 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相 反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证 不等式、作函数图象。 函数奇偶性的常用结论: 1、 如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义, f (0) ? 0 , 则 如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶 函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合 函数是奇函数。

函数的奇偶性问题

1、如果函数 f (x) 在区间 ? 2,4a ? 2a 上是偶函数,则 a =_________ 2x ?1 2、函数 y ? x 是( ) 2 ?1 A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 1 3、若函数 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ 4 ?1 1 4、若函数 f ( x) ? a ? x 是奇函数,则 a =_________ 4 ?1 2 ? ? 5、 F ( x) ? ?1 ? x ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( ) ? 2 ?1 ? A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 2 6、设函数 f ( x) ? a ? x , 2 ?1 (1) 求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数及此时 f ( x) 的值域. 7、已知函数 f ( x) ?
ax ?1 (a ? 1) , ax ?1 (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。

?

?

必修一检测
1、已知全集 I ? {0,1, 2, 3, 4},集合 M ? {1, 2,3} , N ? {0,3, 4} ,则 (?I M ) ? N 等于 ( ) B.{3,4} C.{1,2} D. ?

A.{0,4}

2 、 设 集 合 M ? {x x2 ? 6 x ? 5 ? 0} , N ? {x x 2 ? 5x ? 0} , 则 M ? N 等 于 ( )

A.{0} -5}

B.{0,5}

C.{0,1,5}

D. {0, -1,

3、计算: log 2 9 ? log 38 = ( A 12 B 10

) C ( 8 ) D(3,0) D 6

4、函数 y ? ax ? 2(a ? 0且a ? 1) 图象一定过点 A (0,1) B (0,3)

C (1,0)

5、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起 来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚, 乌龟还是先到达了终点?用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则 与故事情节相吻合是 ( )

6、函数 y ? log 1 x
2

的定义域是( B {x|x≥1}

) C {x|x≤1} D {x|

A 0<x≤1}

{x|x>0}

7、把函数 y ? ? 数的解析式应为 A

1 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得函 x
( ) B

y?

y??

2x ? 3 x ?1

2x ? 3 x ?1

y??

2x ? 1 x ?1

C

y?

2x ? 1 x ?1

D

8、设 f (x) ? lg A 函数 C 函数

x ?1 1 ,g(x) ? e x ? x ,则 ( x ?1 e

) B f(x)是奇函数, g(x)是偶

f(x)与 g(x)都是奇函数

f(x)与 g(x)都是偶函数

D

f(x)是偶函数, g(x)是奇

9、使得函数 f ( x ) ? ln x ? A (0,1)
0.5

1 x ? 2 有零点的一个区间是 2
(1,2) C (2,3)

(

) D (3,4)

B

10、若 a ? 2 A

, b ? log π 3 , c ? log2 0.5 ,则( B

) D

a ?b?c

b?a?c

C

c ?a ?b

b?c?a

11、函数 f ( x) ? 2 ? log5 ( x ? 3) 在区间[-2,2]上的值域是______

?1? 12、计算: ? ? ?9?

3 -  2

2

+ 64 3 =______

13、函数 y ? log 1 ( x2 ? 4 x ? 5) 的递减区间为______
2

14、函数 f ( x ) ?

x?2 的定义域是______ 2x ?1

32 ? log3 8 ? 5log5 3 9 (x ? x ? 2   ? ?1) ? 2 16、已知函数 f ( x) ? ? x    1 ? x ? 2) 。 (? ?2 x   ? 2) (x ? (1)求 f (?4) 、 f (3) 、 f [ f ( ?2)] 的值; (2)若 f (a) ? 10 ,求 a 的值. 17、已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x), g ( x) ? lg(2 ? x), 设h( x) ? f ( x) ? g ( x). (1)求函数 h ( x ) 的定义域 (2)判断函数 h ( x ) 的奇偶性,并说明理由.
15. (15 分) 计算

2log3 2 ? log3

18、已知函数 f ( x) =

5x ?1 。 5x ?1 (1)写出 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性;


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指数函数对数函数的图像与性质_数学_高中教育_教育专区。(二) 、指数函数对数函数一、指数和对数 1、指数的概念 (1)整数指数幂 n ①正整数指数幂:a = -...

指数函数与对数函数基本知识点

指数函数对数函数的这个关系,可以得到关于对数如下结论: 负数和零没有对数; loga 1=0 loga a=1 (a 为常数) 对数定义和运算性质 一般地,如果 a(a...

指数函数和对数函数性质与图像的练习题

指数函数对数函数性质与图像的练习题一、选择题 1、在函数 y= A.0 个- 1 x2 ,y=2x3,y=x2+x,y=1 中,幂函数有( B.1 个 C.2 个) D. (2,...
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