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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学6-4


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)若 a、b、c 成等比数列,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象 与 x 轴交点的个数是( A.0 [答案] A [解析] 由题意知,b2=ac>0,∴Δ=b2-4ac=-3ac<0,∴f(x) B.1 ) C.2 D.不确定

的图象与 x 轴无交点. (理)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且

an、an+1 是函数 f(x)=x2 -bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( A.24 [答案] D [解析] 依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n+1,两式相除得 an+2 an =2,所以 a1,a3,a5,?成等比数列,a2,a4,a6,?成等比数 列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24=32,a11=1×25=32.又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64,故选 D. 2.(文)小正方形按照下图中的规律排列: B.32 ) C.48 D.64

每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an},有以下结论:

①a5=15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比 数列; ④数列的递推公式为: an=an-1+n(n∈N*), 其中正确的为( A.①②④ C.①② [答案] D n?n+1? [解析] 观察图形可知 an=1+2+3+?+n= 2 .∴选 D. (理)某同学在电脑中打出如下若干个圈: ●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?? 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 2014 个圈中的●的个数是( ) B.①③④ D.①④ )

A.60 B.61 C.62 D.63 [答案] C [解析] 第一次出现●在第 1 个位置;第二次出现●在第(1+2) 个位置;第三次出现●在第(1+2+3)个位置;?;第 n 次出现●在 第(1+2+3+?+n)个位置. ∵1+2+3+?+n= n?n+1? n?n+1? 62×?62+1? , 当 n = 62 时, 2 2 = 2

=1953,2014-1953=61<63, ∴在前 2014 个圈中的●的个数是 62. 3.(2012· 沈阳市二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2、 a4 是方程 x2-x-2=0 的两个实数根,则 S5 的值为( 5 5 A.2 B.5 C.-2 D.-5 [答案] A [解析] ∵a2、a4 是方程 x2-x-2=0 的两实根, ∴a2+a4=1, )

5×?a1+a5? 5?a2+a4? 5 ∴S5= = =2. 2 2 4.(文)已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公式 q≠1, 若 a1=b1,a11=b11,则( A.a6=b6 C.a6<b6 [答案] B a1+a11 [解析] a6= 2 ,b6= b1b11= a1a11, 由 q≠1 得,a1≠a11. a1+a11 故 a6= 2 > a1a11=b6. (理)(2012· 吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的 前 20 项的和是 100,那么 a6· a15 的最大值是( A.25 B.50 C.100 D.不存在 [答案] A 1 1 [解析] 由条件知, a6+a15=a1+a20=10S20=10×100=10, a6>0, a6+a15 a15>0,∴a6· a15≤( 2 )2=25,等号在 a6=a15=5 时成立,即当 an =5(n∈N*)时,a6· a15 取最大值 25. 5.已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S29=S4000,O 为 →· → =( 坐标原点,点 P(1,an),点 Q(2015,a2015),则OP OQ A.2015 C.0 [答案] A [解析] 由 S29=S4000 得到 Sn 关于 n= 29+4000 =2014.5 对称, 故 2 B.-2015 D.1 ) ) ) B.a6>b6 D.以上都有可能

→· → =2015+a · Sn 的最大(或最小)值为 S2014=S2015, 故 a2015=0, OP OQ n a2015 =2015+an×0=2015,故选 A. 6.(2013· 江南十校联考)已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an 1 = ,n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013=( f?n+1?+f?n? A. 2012-1 C. 2014-1 [答案] C 1 [解析] 由 f(4)=2 可得 4a=2,解得 a=2,则 f(x)=x 1 1 ∴an= = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n S2013=a1+a2+a3+?+a2013=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3) +?+( 2014- 2013)= 2014-1. 二、填空题 7.(文)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其 中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α、β,使得 an=logαbn +β 对每一个正整数 n 都成立,则 αβ=________. [答案] 4
? ?2+d=q, [解析] 设{an}的公差为 d, {bn}的公比为 q, 则? 解 2 ?2?2+3d?=q . ? ?q=2, ?q=4, ? ? 得? (舍去)或? 所以 an=2n,bn=4n-1.若 an=logαbn+β ? ? ?d=0, ?d=2.
1 2

)

B. 2013-1 D. 2014+1

.

对每一个正整数 n 都成立, 则满足 2n=logα4n-1+β, 即 2n=(n-1)logα4 +β,因此只有当 α=2,β=2 时上式恒成立,所以 αβ=4.

2 (理)在等比数列{an}中,首项 a1=3,a4=?4(1+2x)dx,则公比 q
?1

为________. [答案] 3
2 2 [解析] ∵a4=?4(1+2x)dx=(x+x2)|4 1=(4+4 )-(1+1 )=18,∴

?1

a4 q3=a =27,
1

∴q=3. 8.小王每月除去所有日常开支,大约结余 a 元.小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来, 每月初存入银行 a 元, 存期 1 年(存 12 次),到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为 r,每期 存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为________元. [答案] 78ar [解析] 依题意得,小王存款到期利息为 12ar+11ar+10ar+? +3ar+2ar+ar= 12?12+1? ar=78ar 元. 2

9.(文)已知 m、n、m+n 成等差数列,m、n、mn 成等比数列, x2 y 2 则椭圆m+ n =1 的离心率为________. [答案] 2 2

[解析] 由 2n=2m+n 和 n2=m2n 可得 m=2,n=4, ∴e= n-m 2 =2. n

(理)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an(n≥2,n∈N*)的焦点在 y 轴 上, 一条渐近线方程是 y= 2x, 其中数列{an}是以 4 为首项的正项数 列,则数列{an}的通项公式是________.

[答案] an=2n+1 y2 x2 [解析] 双曲线方程为a - =1, an-1 n ∵焦点在 y 轴上, 又渐近线方程为 y= 2x, ∴ an = 2, a n -1

又 a1=4,∴an=4×2n-1=2n+1. 三、解答题 10.(文)(2013· 浙江萧山五校联考)已知二次函数 y=f(x)的图象经 过坐标原点,其导函数 f ′(x)=2x+2,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2n· an,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x, ∴Sn=n2+2n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n +1, 又 a1=S1=3,适合上式,∴an=2n+1. (2)bn=(2n+1)· 2n, ∴Tn=3· 21+5· 22+7· 23+?+(2n+1)· 2n, ∴2Tn=3· 22+5· 23+7· 24+?+(2n+1)· 2n+1, 相减得-Tn=3· 21+2· (22+23+?+2n)-(2n+1)· 2n+1 4· ?1-2n-1? =6+2· -(2n+1)· 2n+1 1-2

=(1-2n)· 2n+1-2, ∴Tn=(2n-1)· 2n+1+2. (理)已知函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f ′(x)= 6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数 y=f(x)的 图象上. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an= 2 +22+23+?+2n(n∈ N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由题意可设 f(x)=ax2+bx+c, 则 f ′(x)=2ax+b=6x-2,∴a=3,b=-2, ∵f(x)过原点,∴c=0,∴f(x)=3x2-2x. 依题意得 Sn=3n2-2n.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n- 1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,a1=S1=1 适合上式. ∴an=6n-5(n∈N*). b1 b2 b3 bn (2)∵an= 2 +22+23+?+2n, b n -1 b1 b2 b3 ∴an-1= 2 +22+23+?+ n-1(n≥2). 2 bn 相减得2n=6, ∴bn=6· 2n(n≥2).b1=2a1=2,
?2 ?n=1?, ? ∴bn=? n ?6· 2 ?n≥2?. ?

∴Tn=2+6(22+23+?+2n)=3· 2n+2-22. 能力拓展提升

一、选择题 x2 y2 11.椭圆 4 + 3 =1 上有 n 个不同的点 P1、P2、?、Pn,椭圆的 1 右焦点为 F,数列{|PnF|}是公差大于1000的等差数列,则 n 的最大值 为( ) A.2001 C.1999 [答案] B [分析] 公差确定后,首项和末项之差越大,等差数列的项数就 越多(即 n 越大),故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 n 取最大值,可依据公 1 差大于1000列不等式解. [解析] ∵|PnF|max=a+c=3,|PnF|min=a-c=1, d= an-a1 3-1 1 = >1000,n∈N, n-1 n-1 B.2000 D.1998

∴nmax=2000,故选 B. 12. (文)数列{an}是公差 d≠0 的等差数列, 数列{bn}是等比数列, 若 a1=b1,a3=b3,a7=b5,则 b11 等于( A.a63 B.a36 C.a31 D.a13 [答案] A [解析] 设数列{bn}的首项为 b1,公比为 q,则
2 ? ?a1+2d=a1q , a1 ? 得 d= 4 (q4-q2). 4 ?a1+6d=a1q . ?

)

a1 ∴a1+ 2 (q4-q2)=a1q2, a1 ∵q≠1,∴q2=2,d= 2 ,

于是 b11=a1q10=32a1. a1 设 32a1=a1+(n-1)· 2 ,则 n=63, ∴b11=a63. (理)(2013· 河北教学质量监测)已知数列{an}满足:a1=1,an+1= an 1 (n∈N*).若 bn+1=(n-λ)(a +1)(n∈N*),b1=-λ,且数列{bn} an+2 n 是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为( A.λ>2 C.λ<2 [答案] C [ 解析 ] 由已知可得 2 1 1 1 =a +1, + 1 = 2( a + 1) ,a + 1 = an+1 an+1 n n 1 1 B.λ>3 D.λ<3 )

1 2≠0, 则a +1=2n,bn+1=2n(n-λ), bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2,n∈N*),
n

b1=-λ 也适合上式, 故 bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N*). 由 bn+1>bn, 得 2n(n -λ)>2n-1(n-1-λ),即 λ<n+1 恒成立,而 n+1 的最小值为 2,故实 数 λ 的取值范围为 λ<2. 13 . ( 文 ) 如图,是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是 ( )

1 2 3 4 A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] C [解析] 循环过程为 i=1<4→i=2,m=1,S= i=2<4→i=3,m=2,S= i=3<4→i=4,m=3,S= 1 1 + ; 1×2 2×3 1 1 1 + + ; 1×2 2×3 3×4 1 ; 1×2

i=4<4 不成立,输出 S 的值. 1 1 1 故 S= + + 1×2 2×3 3×4 1? ?1 1? ?1 1? ? =?1-2?+?2-3?+?3-4?
? ? ? ? ? ?

1 3 =1-4=4. (理)已知数列{an}的各项均为正数,如图给出程序框图,当 k=5 5 时,输出的 S=11,则数列{an}的通项公式为( )

A.an=2n C.an=2n+1 [答案] B

B.an=2n-1 D.an=2n-3

[解析] 由 ai+1=ai+2 知数列{an}是公差为 2 的等差数列,由 M 1 1 1 1 = 及 S=S+M 知,S=a a +a a +?+ , aiai+1 aiai+1 1 2 2 3 5 1 由条件 i≤k 不满足时输出 S 及输入 k=5,输出 S=11知,a a +
1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ? = [( - ) + ( - ) + ? ( - )] = ( - ) = a2a3 a5a6 2 a1 a2 a2 a3 a5 a6 2 a1 a6 2 ( a 1 - 1 5 5 )= =11, a1+10 a1?a1+10? ∵a1>0,∴a1=1,∴an=2n-1. 二、填空题 14 . (2013· 广东佛山一模 ) 我们可以利用数列 {an} 的递推公式

,求出这个数列各项的值,使得这个 数列中的每一项都是奇数,则 a24+a25=________;研究发现,该数 列中的奇数都会重复出现,那么第 8 个 5 是该数列的第________项. [答案] 28 640 [解析] a24+a25=a12+25=a6+25=a3+25=3+25=28. 5=a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640. 15.已知数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*),把数列{an}的各 项排列成如图所示的三角形数阵: 2 22 23 24 25 26

27 28 29 210 ?? 记 M(s,t)表示该数阵中第 s 行的第 t 个数,则 M(11,2)对应的数 是________(用 2n 的形式表示,n∈N). [答案] 257 [解析] 由数阵的排列规律知,第 m 行的最后一个数是数列{an} 的第 1+2+3+?+m= m?m+1? 项,且该行有 m 项,由此可知第 11 2

10×11 行的第 2 个数是数列{an}的第 2 +2=57 项,对应的数是 257. 三、解答题 16.(文)已知数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,记 Sn 为其前 n 项和. (1)若 a2、a3、a6 依次成等比数列,求其公比 q. S1? S2? Sn? ? ? ? (2)若 a1=1,证明点 P1?1, 1 ?,P2?2, 2 ?,?,Pn?n, n ?(n∈N*)
? ? ? ? ? ?

在同一条直线上,并写出此直线方程. [解析] (1)∵a2、a3、a6 依次成等比数列, a3 a6 a6-a3 3d ∴q=a =a = = =3,即公比 q=3. a3-a2 d 2 3 (2)证明:∵Sn=na1+ n?n-1? 2 d,

n-1 n-1 Sn ∴ n =a1+ 2 d=1+ 2 d. x-1 Sn? ? ∴点 Pn?n, n ?在直线 y=1+ 2 d 上.
? ?

d ∴点 P1,P2,?,Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为2的直线上.

d 此直线方程为 y-1=2(x-1).即 dx-2y+2-d=0. (理)在等差数列{an}中, 设 Sn 为它的前 n 项和, 若 S15>0, S16<0, 且点 A(3,a3)与 B(5,a5)都在斜率为-2 的直线 l 上, (1)求 a1 的取值范围; S1 S2 S15 (2)指出a ,a ,?,a 中哪个值最大,并说明理由.
1 2 15

a5-a3 [解析] (1)由已知可得 =-2,则公差 d=-2, 5-3

?S ∴? ?S

15=15a1+

15×14 2 ×d=15?a1-14?>0, 16×15 2 ×d=16?a1-15?<0.

16=16a1+

∴14<a1<15. S8 (2)最大的值是a ,
8

∵S15=15a8>0,S16=8(a8+a9)<0, ∴a8>0,a9<0,即 S8 最大. Si Si 又当 1≤i≤8 时,a >0;当 9≤i≤15 时,a <0,
i i

∵数列{an}递减, S1 S 2 S8 S8 S 9 S15 S8 ∴a ≤a ≤?≤a ,a ≥a ≥?≥a ?a 最大.
1 2 8 8 9 15 8

考纲要求 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系, 并能用 有关知识解决相应的问题. 补充说明

1.等比数列综合问题的解题思路 在解答等差、等比数列综合问题时,经常采用“巧用性质、整体 考虑、 减少运算量”的方法. 但用“基本量法”并树立“目标意识”, “需要什么,就求什么”,往往能取得与“巧用性质”相同的解题效 果,既要掌握“通法”,又要注重“特法”. 2.通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的 基础上,判断求和类型,寻找求和的方法,将数列拆为基本数列,或 转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. 4.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知 识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目, 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解, 深刻领悟它在 解题中的重大作用,常用的数学思想方法有:“函数与方程”、“数 形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 备选习题 1 1.设正项等比数列{an}的前 n 项之积为 Tn,且 T10=32,则a +
5

1 a6的最小值为(

) D. 3

A.2 2 B. 2 C.2 3 [答案] B

[解析] 由条件知,T10=a1a2?a10=(a5a6)5=32,∵an>0,∴a5a6 1 1 1 1 1 1 1 =2,∴a +a =2· a5a6· (a +a )=2(a5+a6)≥2×2 a5a6= 2,等号在
5 6 5 6

a5=a6= 2时成立. 2. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 a6+a7>0 是 S9≥S3 的( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 )

C.充要条件 [答案] A [解析]

D.既不充分也不必要条件

∵ S9≥S3?a4+a5+a6+a7+a8+a9≥0?3(a6+a7)≥0?

a6+a7≥0,∴a6+a7>0?a6+a7≥0,但 a6+a7≥0? / a6+a7>0,故选 A. 1 bn 3.已知数列{an}、{bn}满足 a1=2,an+bn=1,bn+1= ,则 1-a2 n b2014=( )

2013 2014 2014 2015 A.2014 B.2013 C.2015 D.2014 [答案] C 1 1 [解析] ∵an+bn=1,a1=2,∴b1=2, ∵bn+1= bn b1 2 2,∴b2= 2= , 1-an 1-a1 3

1 b2 3 1 b3 4 1 ∴a2=3,b3= 2 = ,a3= ,b4= 2= ,a4= ,?,观 4 5 1-a2 4 1-a3 5 察可见 an= 1 n 2014 ,bn= ,∴b2014=2015,故选 C. n+1 n+1

4.(2013· 武汉调研)在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j-1,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,j∈N*);又记 第 3 行的 3,5,8,13,22,39,?,为数列{bn},则 第1行 第2行 第3行 ?? (1)此数表中的第 2 行第 8 列的数为________; (2)数列{bn}的通项公式为________. 1 2 3 2 3 5 4 5 8 8 9 13 ? ? ?

[答案] (1)129 (2)bn=2n-1+n+1,n∈N* 5. 已知 f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n 为正偶数)且{an}为等差数列,
?1? f(1)=n2,f(-1)=n,试比较 f?2?与 3 的大小,并证明你的结论. ? ?

[解析] 由 f(1)=n2,f(-1)=n 得,a1=1,d=2.
?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ∴f?2?=?2?+3?2?2+5?2?3+?+(2n-1)·?2?n, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? 1 1 ?1? ?1?2 ?1?3 ? ?=? ? +3? ? +?+(2n-3)? ?n+(2n-1)? ? 两边同乘以2得, f 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2?
n+1


?1? ?1? ?1? ?1? 1 ?1? 1 两式相减得,2f?2? =2+2?2?2+2?2? 3+ ?+2?2? n- (2n-1)?2?n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ? 1? ?1- n-1? 2 ? 1 2? 1 =2+ - (2 n - 1) n+1. 1 2 1-2 2n+3 ?1? ∴f?2?=3- 2n <3.
? ?


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