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3.1.2导数的概念--12.16


3.1.2 导数的概念

1.平均变化率:
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x ) ? f ( x1 ) ? ? (?x ? 0) ?x x2 ? x1 ?x

平均变化率的几何意义:
y

Y=f(x)

割线的斜率

f(

x2) f(x2)-f(x1)=△y A

B

f(x1)
O

x2-x1=△x x x1 x2

1.1.2 导数的概念
?

又如何求 瞬时速度呢?

在高台跳水运动中,平 均速度不能反映他在 这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物 体在某一时刻的速度 称为瞬时速度.

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的 变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
?h v? ?t h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的 变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 2 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v

……

? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 ?h v? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于

2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.

探究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?0 ?t 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 ? 4.9(?t ) 2 ? (9.8t0 ? 6.5)?t f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ? lim ?y lim?t ?0 ? lim ? t ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ?0

? ?9.8t0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y ? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y ? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:

口诀:一差、二比、三极限

题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?(2)和 f ?(6). 根据导数的定义,

f (2 ? ?x) ? f (2) 4?x ? (?x) 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?y ? lim (?x ? 3) ? ?3. 所以, f ?(2) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

应用: 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. ? 如果第 C x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油 温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并 说明它们的意义.

练习:

2 .已知

y?

x , 求y

'

解: ?y ?

x ? ?x ? x , x ? ?x ? x ?x

?y ? ?x
'

?y x ? ?x ? x ? y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 1 1 ? lim ? ,当?x ? 0时的值。 ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x


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