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闭合电路欧姆定律典型例题


闭合电路欧姆定律典型例题
[例 1] 电动势和电压有些什么区别? [答] 电动势和电压虽然具有相同的单位,但它们是本质不同的两个物理量. (1)它们描述的对象不同:电动势是电源具有的,是描述电源将其他形式的能 量转化为电能本领的物理量,电压是反映电场力做功本领的物理量. (2)物理意义不同:电动势在数值上等于将单位电量正电荷从电源负极移到正 极的过程中, 其他形式的能量

转化成的电能的多少;而电压在数值上等于移动单 位电量正电荷时电场力作的功,就是将电能转化成的其他形式能量的多少.它们 都反映了能量的转化,但转化的过程是不一样的.

[例 2] 电动势为 2V 的电源跟一个阻值 R=9Ω 的电阻接成闭合电路, 测得电源两 端电压为 1.8V,求电源的内电阻(见图).

[分析] 电源两端的电压就是路端电压,由于外电路仅一个电阻,因此也就是这 个电阻两端的电压.可由部分电路欧姆定律先算出电流,再由全电路欧姆定律算 出内电阻. [解] 通过电阻 R 的电流为

由闭合电路欧姆定律 E=U+Ir,得电源内电阻

[说明] 由于电动势等于内、外电路上电压之和,而通过内、外电路的电流又处 处相同,因此也可以根据串联分压的关系得

[例 3] 把电阻 R1 接到内电阻等于 1Ω 的电源两端, 测得电源两端电压为 3V.如果 在电阻 R1 上串联一个 R2=6Ω 的电阻,再接到电源两端,测得电源两端电压为 4V.求电阻 R1 的阻值. [分析] 两次在电源两端测得的都是路端电压,将两次所得结果代入闭合电路的 欧姆定律,可得两个联立方程,解此联立方程即得 R1 的大小。 [解] 设电源电动势为 E,内阻为 r.根据闭合电路欧姆定律可知,前、后两次的路 端电压分别为

即 R12+7R1-18=0, 取合理值得 R1=2Ω (另一解 R1'=-9Ω 舍去).

[例 4] 四个小灯连接成如图所示电路,合上电键 S,各灯均正常发光.若小灯 L4 灯丝突然烧断,则其余各灯亮度的变化情况是 [ ] A. L1 变亮,L2L3 均变暗

B. L1 变暗,L2L3 均变亮 C. L1 变暗,L2 熄灭,L3 变亮 D. L1L2 变亮,L3 变暗

[分析] 由于 L4 开路引起的一系列变化为: L4 开路——R 总↑——I 总↓——U 端↑——I1↑(L1 变亮)——I3(=I 总—I1)↓ (L3 变暗)——U3(=I3R3)↓——U2(=U 端—U3)↑(L2 变亮). [答] D.

[例 5] 如图所示的电路中,当可变电阻 R 的值增大时 [ ]

A.ab 两点间的电压 Uab 增大. B.ab 两点间的电压 Uab 减小. C.通过电阻 R 的电流 IR 增大. D.通过电阻 R 的电流 IR 减小. [分析] 可变电阻 R 的阻值增大→ab 并联部分的电阻增大→整个外电路总电阻增 大→电路的总电流 I 减小→内电路上电压 (U 内=Ir) 和电阻 R1 上的电压 1=IR1) (U 都减小→ab 并联部分的电压增大(Uab=E-

减小 (IR=I-I2). [答] A、D. [说明] 当电路中某一部分电阻变化时,整个电路各处的电压、电流都会受到影 响,可谓“牵一发而动全身”.分析时,应抓住全电路中电源电动势和内阻不变 的特点,从总电流的变化顺次推理.如果只从孤立的局部电路考虑,R 增大时, Uab 也增大,将无法判断通过 R 的电流的变化情况.

[例 6] 如图所示的电路中,电源由 4 个相同的电池串联而成.电压表的电阻很大. 开关 S 断开时,电压表的示数是 4.8V,S 闭合时,电压表的示数是 3.6V.已知 R1=R2=4Ω ,求每个电池的电动势和内电阻.

[分析] S 断开和闭合,电压表测得的都是路端电压,亦即分别是外电阻 R2 和 (R1∥R2)上的电压.据此,由闭合电路欧姆定律即可列式求解. [解] 设电池组的总电动势是 E,总内电阻是 r.S 断开和闭合时,电路的总电流分 别为 I1 和 I2.根据闭合电路欧姆定律,有关系式

代入题中数据,得

两式相比,得

代入①式后得 E=7.2V. ④ 设每个电池的电动势为 E0 ,内阻 r0,由串联电池组的特点,得

[例 7] 图 1 所示的电路中,R1=3Ω ,R2=6Ω ,R3=6Ω ,电源电动势 E=24V,内 阻不计.当电键 S1、S2 均开启和均闭合时,灯泡 L 都同样正常发光.

(1)写出两种情况下流经灯泡的电流方向:S1、S2 均开启时;S1、S2 均闭合时. (2)求灯泡正常发光时的电阻 R 和电压 U. [分析] 画出 S1、S2 均开启和闭合时的等效电路图(图 2),即可判知电流方向. 灯泡 L 能同样正常发光,表示两情况中通过灯泡的电流相同.

[解] (1)S1、S2 均开启时,流经灯泡的电流方向从 b→a;S1、 S2 均闭合时, 流经灯泡的电流方向从 a→b.其等效电路分别如图 2 所求. (2)设灯泡的电阻为 R.S1、S2 均开启时,由全电路欧姆定律得流过灯泡的电流

S1、S2 均闭合时,由全电路欧姆定律和并联分流的关系得流过灯泡的电流

两情况中,灯泡 L 同样正常发光,表示 I1=I2, 即

解得

灯泡正常发光时的电压由等效电路图根据串联分压得

[例 8] 四节干电池,每节电动势为 1.5V,内阻为 0.5Ω ,用这四节干电池组成串 联电池组对电阻 R=18Ω 的用电器供电,试计算: (1)用电器上得到的电压和电功率; (2)电池组的内电压和在内电阻上损失的热功率. [分析] 根据串联电池组的特点和全电路欧姆定律算出电路中的电流,即可由部 分电路欧姆定律和电功率公式求出结果. [解] 电路如图所示.串联电池组的电动势和内阻分别为

E=nE0=4×1.5V=6V, r=nr0=4×0.5Ω =2Ω . 根据闭合电路欧姆定律,得电流

(1)用电器上得到的电压和电功率分别为 UR=IR=0.3×18V=5.4V, PR=URI=5.4×0.3W=1.62W. (2)电池组的内电压和内电阻上的热功率分别为 Ur=Ir=0. 3×2V=0.6V, Pr=I2r=0.32×2W=0.18W. [说明] (1)本题也可以不必算出电流,直接由内、外电阻的分压比

(2)电池的总功率 P 总=IE=0.3×6W=1.8W, 而 PR+Pr=1.62W+0.18W=1.8W=P 总. 这正是能的转化和守恒在全电路上的反映. (3)闭合电路欧姆定律,实质是能的转化和守恒在电路中的 反映.由 EI=U+Ir, 可得 I=UI+I2r 或 EIt=UIt+I2rt. 式中 EI 是电源每秒向电路提供的能量,即电源的总功率(EIt 是电源在时间 t 内 提供的能量);I2r 是电源内阻上的热功率(I2rt 是电源内阻在时间 t 内产生的热 量),UI 就是电源对外输出的功率,也就是转化为其他形式能的功率(UIt 就是 电源对外做的功,即转化为其他形式的能量).

[例 9] 在图 1 的电路中, 电池的电动势 E=5V, 内电阻 r=10Ω , 固定电阻 R=90Ω , R0 是可变电阻,在 R0 由零增加到 400Ω 的过程中,求:

(1)可变电阻 R0 上消耗热功率最大的条件和最大热功率. (2)电池的内电阻 r 和固定电阻 R 上消耗的最小热功率之和. [分析] 根据焦耳定律,热功率 P=I2R,内阻 r 和 R 都是固定电阻,电流最小时, 其功率也最小.对可变电阻 R0,则需通过热功率的表达式找出取最大值的条件才 可确定. [解] (1)电池中的电流

可变电阻 R0 的消耗的热功率

为了求出使 P 取极大值的条件,对上式作变换

(2)在电池内阻 r 和固定电阻 R 上消耗的热功率为

当 R0 调到最大值 400Ω 时,P'有最小值,其值为

[说明] 根据电源输出功率最大的条件,如把题中固定电阻“藏”在电源内部, 即等效内阻 r'=r+R(图 2),于是立即可知,当 R0 =r'=r+R=100Ω 时,输出功 率(即 R0 上消耗的功率)最大,其值为

这种等效电源的方法(称等效电压源定理)在电路中很有用. 对于外电路中的固定电阻,则通过它的电流越小,消耗的功率越小.

[例 10] 有 N=32 个相同的电池, 每个电池的电动势均为 E=1.5V.内阻均为 r0=1Ω . 用这些电池如何组合,才能使外电路中阻值 R=2Ω 的用电器得到最大的电流? [分析] 如把 32 个电池全部串联,电池组的电动势增大了,但内阻也同时增大; 如全部并联,电池组的内电阻小了,但电动势仍为 1.5V.为了兼顾到既增大电动 势,又减小内电阻,应采用混联电池组的供电电路. [解] 设将 n 个电池串联,再组成 m 组并联,使 N=nm,电路如图所示.这个混联 电池组的总电动势和总内阻分别为

根据闭合电路欧姆定律,得外电阻中的电流为

因 n·2m=2N=64=常数,由数学知识知,当 n=2m 时,(n+2m)有最小值,则 I 有最大值.所以,应取 m=4,n=8,代入上式得电流的最大值为

[说明] 上面是根据两数的和积关系,直接求出了电流取最大值的条件.一般情况 下,可用配方法计算.因

式中分母

显然,当 nr0-mR=0 时,nr0+mR 有最小值,则 I 有最大值.由此得到外电路中电 流取最大值的条件为

即电池组的总内阻等于外电阻时,外电路中电流最大.已知 R=2Ω ,r0=1Ω ,代 入上式得: n=2m,∴n=8, m=4. 这样计算,虽较为繁复,但由此得到一个普遍的结论是十分有价值的.

[例 11] 如图所示电路,E=10V,R1=4Ω ,R2=6Ω 电池内阻不计,C1=C2=30 F, 先闭合开关 K,待电路稳定后再断开 K,求断开 K 通过电阻 R1 的电量。

[误解一] K 闭合时有

K 断开,电路中无电流,则电容器 C1 不再带电,流过 R1 的电量即 Q1=1.8×10-4 (C)。

K 断开时, U'c1=E=10(V), 此时 C1 带电 Q'1 =C1U'c1=3×10-4(C),

则流过 R1 的电量 △Q=Q'1-Q1=1.2×10-4(C)。

由于 C2 被 K 短路,其两端电压 Uc2=0。 K 断开时,由于电路中无电流,故 U'c1=U'c2=E=10(V)。 电容器 C2 上增加的电量为 △Q2=C(U'c2-0)=30×10-6×10=3×10-4(C); 电容器 C1 上增加的电量为 △Q1=C(U'c1-Uc1)=30×10-6×(10-6)=1.2×10-4(C)。 通过 R1 的电量为: Q=△Q1+△Q2=1.2×10-4+30×10-4=4.2×10-4(C)。 [错因分析与解题指导] [误解]原因是对含有电容器的电路的连接关系不熟悉,弄 不清电容器上是不是有电压或者不会计算这个电压。 [误解一] 以为电路断开,

电容器上便没有了电压,不再带电; [误解二] 虽知道 K 断开后 C1 直接接于电 源两端,但却看不出 C2 也同样如此,因此全部运算撇开了 C2 导致错误。 作此类题一般要注意: (1)由于电容器所在支路无电流通过,即使该支路中有电阻,其上也无电压降, 电容器两端的电压即该支路两端的电压。 (2)当电容器和电阻并联接入电路时,电容器两极板间电压跟与其并联的电阻 两端的电压相等。 (3)在计算电容器带电量的同时,还要注意其极板带电的正负。 [例 12]如图 1 所示电路中,电源电动势 E=6V,内电阻不计;电阻 R1=R2=6Ω , R3=12Ω ,R4=3Ω ,R5=0.6Ω 。试求通过 R5 的电流强度。

[分析]此题表面上看是一个非平衡电桥电路, 要求出 R5 中流过的电流, 超出了中 学知识的范围。 但是我们把除 R5 以外的电路等效为另一个复杂的电源,并且能找到一种形式以 计算出这个等效电源的电动势及内电阻,那么就可以求出通过 R5 的电流了。 解题步骤如下: 第一步把电路的 ab 间断开,并把它看成是等效电源的两个极、求出 ab 两点间的 电势差就是这个等效电源的电动势,即 Uab=E' 第二步,把电路的 ab 间短路,求出 ab 间的电流,此电流就是等效电源的短路电 流 I0,根据恒定电流的特点,I0=I1-I2。I0 与等效电源的电动势 E',内阻 r'的关系 为 ,求出 E'和 I0 后,即可求出 r'。

第三步,把 R5 接在 ab 间,即 R5 为等效电路电路的外电阻,根据全电路欧姆定

律,

,即可求出 I5 的值。

[解答] 1.求等效电源的电动势 ab 间断开时,电路如图 2,根据串联分压的特点

以电源正极为零电势点,则 Ua=-3V,Ub=-4.8V,Ua>Ub a 端为等效电源的正极,b 端为负极 E=Uab=Ua-Ub=-3-(-4.8)=1.8(V) 2.求等效电源的短路电流和等效内阻 ab 间短路时,电路如图 3

短路电流 I0=I1-I2

[说明] 等效方法是在物理分析中应用得最广泛的方法之一,例如“等效电路”、“合力 与分力”、“等效切割长度(电磁感应)”等。它在具体问题中应用的关键是: 确定等效的物理量,找出具有这种等效性质的代换形式。 本例采用的是一种等效电源的方法, 利用此方法, 还可求解不少复杂的电路问题。

[例 13]如图 1 所示的电路中,电源电压 U=6V,R1=1Ω ,R2=2Ω ,C1=1μ F, C2=2μ F,当开关 K 第一次闭合后,通过开关 K 的总电量是多少?

[分析]K 第一次闭合前,电路结构是 R1 与 R2 串联,C1 与 C2 串联,然后并联在电 压为 U 的电路中,根据电阻串联,电流相等,电容串联电量相等的特点可求出 UR1、UR2、UC1、UC2,然后采用电势分析法,比较 M、N 两点电势的高低,从而 确定,K 闭合后 MN 间电流的方向,以及 UC1’和 UC2’的值,进而求出 C1 和 C2 在 K 闭合前后所带电量的变化量,最后根据电量变化量求出通过 K 的总电量

[解答]

由(1)(2)解得 U1=4V,U2=2V Q1=Q2=Q=C1U1=1×10-6×4=4×10-6(C)

由(3)(4)得,UR1=2V,UR2=4V Q1'=C1U1'=1×10-6×2=2×10-6(C) Q2'=C2U2'=2×10-6×2=8×10-6(C) △Q1=Q1-Q1'=4×10-6-2×10-6=2×10-6(C) △Q2=Q2-Q2'=8×10-6-4×10-6=4×10-6(C) 通过 K 的总电量△Q=△Q1+△Q2=(2+4)×10-6(C)=6×10-6(C) [说明] 1.关于两个电容器串联时,每个电容器极板所带电量相等,可从置于静电场中的 导体发生静电感应现象当处于静电平衡时导体上出现等量导种电荷来理解。 2.开关 K 闭合前后,M 点电势不变,N 点电势升高的问题,是由于 K 闭合后, C1 和 C2 极板上的电量发生变化而引起的, 最后稳定时, 若以 A 点电势为参考点, 设 UA=0 则 K 闭合前后 N 点电势 UN 从-4V 升高到 -2V,U1'=UA-UN'=0-(-2V)=2V,U2'=UN'-UB=-2V-(-6V)=4V。


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