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2016届山西晋城市高三下学期模考(三)数学(理)试题(解析版)


2016 届山西晋城市高三下学期模考(三)数学(理)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? ?2,3,4,6?, B ? ?2,4,5,7? ,则 A ? B 的子集的个数为( A. 3 【答案】B B. 4 C. 5 D. 6
2



【解析】试题分析:因为 A ? B ? {2, 4} ,所以 A ? B 的子集

的个数为 2 ? 4 个,故选 B. 【考点】1、集合的交集运算;2、集合的子集. 2.已知复数 ( ) A.第一象限 【答案】A

1? i ? 4 ? 2i (i 为虚数单位), 则复数 z 在复平面上的对应点所在的象限是 z
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【解析】试题分析:由题意,得 z ?

1? i (1 ? i ) (? 4 i2 ) 1 3 ? ? ? i ,所以 4? 2 i (4 ?i )( ?4 i 2 ) 1 0 1 0

z?

1 3 1 3 ? i ,其在复平面对应的点为 ( , ) ,位于第一象限,故选 A. 10 10 10 10

【考点】复数的几何意义及运算. 3.下列说法中正确的是( ) A. “ f ? 0? ? 0 ”是“函数 f ? x ? 是奇函数” 的必要不充分条件
2 B.若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0

2

2 2 C .命题“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 或 x ? ?1 ” 的否命题是“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 或

x ? ?1 ”
D. 命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是 ? ?p ? q ? ? ? ?q ? p ? 为真命题 【答案】D 【解析】试题分析:A 中, “ f ? 0? ? 0 ”是“函数 f ? x ? 是奇函数”既不充分条件又不 必要条件;B 中,由特称命题的否定为全称命题,知 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ;C 中,
2
2 命题的否命题为“若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 且 x ? ?1 ” ;D 中,命题 p 和命题 q 有且仅有一

个为真命题,即 p ? ?q 或 ? p ? q 为真命题,则 ? ?p ? q? ? ? ?q ? p? 为真命题,若

??p ? q? ?? ?q ? p? 为真命题,则命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题,所以 D 正
确,故选 D. 【考点】1、命题真假的判定;2、充分条件与必要条件;3、命题的否命题. 4.执行如图所示的程序框图, 输出的结果为( )

第 1 页 共 19 页

A. 3 【答案】C

B. 4

C. 5

D. 6

【 解 析 】 试 题 分 析 : 第 一 次 循 环 , 得 T ? 2 0 ,S ? 1, n? ; 2 第二次循环,得 ; 第 三 次 循 环 , 得 T ? 5 , S ? 6 ,n ? ; T ? 1 0 ,S ? 3 , n? 3 4 第四次循环,得

T?

5 15 , S ? 1 0 ,n ? ,此时 5 S ?T ? ? 2 ,退出循环,输出 n ? 5 ,故选 C. 2 2

【考点】程序框图.

x2 y 2 5.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,虚轴的一个端点为 A ,若 a b
AF 与双曲线 C 的一条渐近线垂直,则双曲线的离心率为(
A. 2 ? 1 【答案】C 【解析】试题分析:不妨设 A(0, b) ,则 k AF ? 一条渐近线垂直,所以 ? B. 5 C. ) D. 3

1? 5 2

b?0 b ? ? .又直线 AF 与双曲线 C 的 0?c c

b b ? ? ?1 ,即 b2 ? ac ,亦即 c 2 ? a 2 ? ac ,两边除以 a 2 ,得 c a

e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ?

1? 5 ,故选 C. 2

【考点】1、双曲线的几何性质;2、直线与直线间的位置关系.

? 1 ? 6.已知 ? 2 ? x 6 ? 展开式中的常数项为 a ,且 X ? N ?1,1? ,则 P ? 3 ? X ? a ? ? ( ?x ?
2 (附:若随机变量 X ? N ? , ? ,

4



?

?

则 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 68.26 0 0 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 95.44 0 0

,

P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 99.74 0 0
A.0.043 【答案】B B.0.0215

) C.0.3413 D.0.4772

第 2 页 共 19 页

? 1 ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 ? 2 ? x6 ? 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ?x ?
r Tr ?1 ? C4 (

4

1 4?r 6 r r 8 r ?8 1 ) ( x ) ? C4 x . 令 8r ? 8 ? 0 , 得 r ? 1 , 所 以 a ? C4 ? 4 ,所以 x2 1 [ P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3 ?? - P ?3 ? X ? a? ? P ? 3 ? X ? 4? ? 2

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? = 0.0215 ,故选 B.
【考点】1、二项式定理;2、正态分布. 7.底面半径为 3 ,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( A. 6? 【答案】D B. 12? C. 8? ) D. 16?

【解析】试题分析:由圆锥的底面半径为 3 ,母线长为 2 ,可求得其轴截面的顶角为

?? .设该圆锥的底面加以为 O1 ,其半径为 r ,球 O 的半径为 R ,则 O1O ? R ?1 , 3
2 R2 ? OO ? r 2 ? (R ?1)2 ? ( 3)2 ,解得 R ? 2 ,所以球 O 的表面积为 4?R2 ? 16? , 1

故选 D. 【考点】1、圆锥的外接球;2、球的表面积. 【技巧点睛】求解多面体(如长方体、棱柱与棱锥)与球的组合体问题时,首先要清楚 它们的“切”或“接”关系,然后根据此关系确定出球的直径(或半径)与多面体的棱 长、对角线等几何量的关系.此类问题解答的难点就是组合体的图形比较难作出,必须 要发挥自己的空间想象力,借助生活中实物图进行想象.

? x 2 ? 2 x, x ? 2 ? 8.若函数 f ? x ? ? ? 的值域为 R ,则 f 2 2 的取值范围是( 1 ?log a x ? , x ? 2 ? 2

?

?



A. ? ??, ?

? ?

5? ? 4?

B. ? ?

? 5 1? ,? ? ? 4 2? ? ? 1? ? 2?

C. ? ?

? 5 ? , ?? ? ? 4 ?

D. ? ??, ?

【答案】B 【解析】试题分析:因为当 x ? 2 时, f ( x) ? ?1 ,所以要使函数 f ( x ) 的值域为 R ,









?0 ? a ? 1 ? ? 1 log a 2 ? ? ?1 ? ? 2





?

1 2

l ? ao

g

? 2 .

又 0

f 2

?

? ?2

a

1 3 l ? o ? g a 2? 2 2

2 o ,所以 f 2 2 l ? ??

1 2

?

?

? 5 1? g ? ,故选 2 B. ,? ? 4 2?

【考点】1、分段函数;2、对数函数的性质及运算;3、函数的值域.

第 3 页 共 19 页

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1, an an?1 ? 2n ,则 S20 ? ( A. 3066 【答案】D B. 3063 C. 3060 D. 3069



【解析】试题分析:因为 an an?1 ? 2n 得

①,所以 an?1an ? 2n?1 (n ? 2)

②.①÷②,

an ?1 ? 2 ,所以数列 {an } 的奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列,偶数 an ?1

项组成以 a2 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列,所以 S20 ?

1 ? 210 2(1 ? 210 ) ? ? 3069 , 1? 2 1? 2

故选 D. 【考点】1、等比数列的定义;2、等比数列的前 n 项和公式. 10. 已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 且 f ? x ? ? 1 对于任意的 x ? ? ?

? ?

??

? 相邻两对称中心之间的距离为 ? , 2?


? ? ?? , ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是( ? 12 3 ? ?? ? ? , ?4 2? ?
2?
C. ?

A. ?

?? ? ? , ?6 3? ?

B. ?

?? ? ? , ?12 2 ? ?

D. ?

?? ? ? , ?12 3 ? ?

【答案】B 【解析】试题分析:由题意,得 T ?

?

? 2? ,解得 ? ? 1 .由 2sin ?? x ? ? ? ? 1 ,即 ? ?? ? 2k ? ? x ? ? ? ? 2k ? 6 6
, 即

sin ?? x ? ? ? ?

1 2





? ?? ? ? ?? x ? ( ? k ? ?2 ? ? k ? ?,? (k ? Z ) .因为 2 f ? x ? ?) 1 对于任意的 x ? ? ? , ? 恒 6 6 ? 12 3 ?

? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?6 ? ? ?? 1 2 成立, 所以 ? ? , ? ? ( ? ? , 即? , 解得 ? ? ? , 故选 B. ??) , ?? ? 4 2 6 6 ? 12 3 ? ? ?? ? ? 3 ?6
【考点】三角函数的图象与性质. 11.已知直线 l : y ? k ? x ? 2? 与抛物线 C : y ? 8x 交于 A, B 两点 , 点 M ? ?2,4? 满足
2

???? ???? MA?MB ? 0 ,则 AB ? (
A. 6 【答案】D

) C. 10 D. 16

B. 8

【解析】试题分析:由题意,知抛物线的焦点为 (2, 0) ,直线 l 抛物线的焦点, 由
2 ? ? y ? 8x 2 2 2 2 ,得 k x ? (4k ?8) x ?4k ?0 ,显然 ? ? 0 .设 A(x1, y1), B( x 2 , y 2) , ? ? ? y ? k ? x ? 2?

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4k 2 ? 8 8 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 4 ,所以 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?16 .因为 M ? ?2,4? ,所 2 k k


??? ? ???? MA ? ( x1 ? 2, y1 ? 4), MB ? ( x2 ? 2, y2 ? 4)







???? ???? MA?MB



( x1 ? 2, y1 ? 4) ? ( x2 ? 2, y2 ? 4) = x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16 =
4 ? 2? 4k 2 ? 8 8 ? 4 ? 16 - 4 ? ? 16 ? 0 , 即 k 2 ? 2k ? 1? 0, 解 得 k ? 1 , 所 以 2 k k

x1 ? x2 ? 12 ,所以由抛物线的定义,得 AB = x1 ? x2 ? p ? 12 ? 4 ? 16 ,故选 D.
【考点】 1、抛物线的定义及几何性质;2、直线与抛物线的位置关系;3、向量的数量 积运算. 【一题多解】由题意,知抛物线的焦点为 (2, 0) ,直线 l 抛物线的焦点,点 M ? ?2,4? 在 抛物线的准线上, 所以由抛物线的定义, 知 AB ? xA ? xB ? 4 . 如图, 取 AB 的中点 N , 连接 MN ,因为 A, B 的中点到抛物线的准线的距离 d ?

MB ? 0 , 则 M N ? x轴 , N ( NN , 4 ), 由 径 的 圆 与 x ? ?2 相 切 , 又 因 为 MA?
? y 2 ? 8x 8 8 ? 2 6 ? 0 , , 得 y ? y ?1 所以 y A ? yB ? ? 8 , 所以 k ? 1 , 所以 xA ? xB ? k k y ? k x ? 2 ? ? ? ?
= yA ? 2 ? yB ? 2 ? 12 ,所以 AB = x1 ? x2 ? p ? 12 ? 4 ? 16 ,故选 D.

???? ????

x A ? xB ? 4 ,所以以 AB 为直 2

12. 某三棱住被一个平面截去一部分后所得的几何的三视图如图所示, 其中府视图是边 长为 2 的正三角形, 则截去部分与剩余部分的体积之比为 ( )

第 5 页 共 19 页

A.

10 33

B.

13 36

C.

13 23

D.

23 33

【答案】C 【解析】试题分析:由三视图知该几何体为正三棱柱的一部分,如图所示,其中 M , N 分别为 BB1 , B1C1 的中点, F 在 AC 1 1 上,且 FC1 ?

1 A1C1 ,则该截面为 AMNF .连接 3

MN 并 延 长 交 CC1 的 延 长 线 于 E , 交 CB 的 延 长 线 于 D , 三 棱 柱 的 体 积 为
3 .设截去部分和剩余部分的体积分别为 V1 和 V2 , EC1 ? 2 , BD ? 1 , ?4 ?4 ? 4 3 4
所 以

VE ?

1

? P

1 3

C

3 ? 2 N 6
, 所

?

,?

3 9

1 3 3 VM ? ABD ? ? ?2 ? 3 2 3 V2 ? 3 3 ? 3 3 23 3 ? ? 9 3 9



1 VA? DCE ? ? 3 ? 9 ? 3 3 3





V1 ? 4 3 ?

V 13 23 3 13 3 ,所以 1 ? ,故选 C. ? 9 9 V2 23

【考点】1、空间几何体的三视图;2、棱柱与棱锥的体积. 【方法点睛】解答三视力的关键是将三视图 “翻译”成直观图,不但要注意三视图的 三要素“高平齐,长对正,宽相等” ,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位 置对几何体直观图的影响,有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体,来增加直观 图的立体感. 第 6 页 共 19 页

二、填空题 13 . 已 知 数 列 ?an ? 、 ?bn ? 均 为 等 差 数 列 , 满 足 a5 ? b5 ?3 , a9 ? b9 ?1 9 ,则

a100 ? b100 ?
【答案】 383



【解析 】试题分析:设数列 ?an ? 、 ?bn ? 的 公差分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ? an?1 ? an ,

d2 ? bn?1 ? bn ,所以 (an?1 ? bn?1 ) - (an ? bn ) = d1 ? d2 ,所以数列 {an ? bn } 为等差数
列 , 且 公 差

1 d ? [(a9 ? b9 ) ? (a5 ? b5 )] ? 4 4







a100 ? b100



(a5 ? b5 ) ? (100 ? 5)d ? 3 ? 95 ? 4 ? 383 .
【考点】等差数列的通项公式及性质.

,b a ? , ?c b? c 2 ?, 14 . 已 知 平 面 向 量 a, b, c 满 足 c ? a ? m

? ??

?

?

? ?

? ? ?

? ? c 2则 实 数 ,

m?
【答案】 ?2



【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为

? ? ? ? a ? c , 所 以 a?c ? 0 . 又
m ?? ?2 . m ,解得 2 m ? b? 4c ?

? ? ? ? | c 2? | c? c ? c (?

? ? a ? )m b ?

?

?a

?

? c

?

?

【考点】1、平面向量数量积运算;2、平面向量的模.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15 . 已 知 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? 4 y ? 8 ? 0 , 则 z ? x ? 5 y ? 6 的 最 大 值 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
为 . 【答案】 13 【解析】试题分析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,设 z1 ? x ? 5 y ? 6 ,由 图 知 , 当 目 标 函 数 z1 ? x ? 5 y ? 6 经 过 点 A(4,3) 时 , 即 得 最 大 值 , 即

z1(max) ? 4 ? 5 ? 3 ? 6 ? 13 ,当目标函数 z1 ? x ? 5 y ? 6 经过点 B(2, 0) 时,即得最小值,
即 z1(min) ? 2 ? 5 ? 0 ? 6 ? ?4 ,所以 ?4 ? z1 ? 13 ,所以 z ? x ? 5 y ? 6 的最大值为 13.

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【考点】简单的线性规划问题. 【方法点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化, 即数形结合的思想, 需要注意的是: ①是准确无误地作出可行域;②画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直 线的斜率进行比较,避免出错;③一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的 端点或边界上取得. 16 .已知关于 x 的方程 x3 ? ax2 ? x ? 1 ? 0 有且只有一个实根 , 则实数 a 的取值范围 为 . 【答案】 a ? 1 【解析】试题分析:由题意知 x ? 0 ,方程 a ? x ?

1 1 ? 只有一个实根,设函数 x x2

1 1 x3 ? x ? 2 1 1 3 f ( x ) ? x ? ? 2 , 则 f ?( x ) ? 1 ? 2 ? 3? . 设 g ( x) ? x ? x? 2 , 则 3 x x x x x
2 ,所以 g ( x) 为增函数,又 g (1) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , g?( x) ? 3x ? 1? 0

f ( x) 为增函数;当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数,所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1,又当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当

x ??? 时, f ( x) ? ?? ;当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ,所以 f ( x) 的图象大致如图
所示,由图象可知实数 a 的取值范围为 (??,1) .

【考点】1、方程的根;2、利用导数研究函数的单调性;3、函数极值与导数的关系. 【一题多解】 设 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , 则 f ?x () 3 ?x 2 ? a x 1 ?
3 2 2
2 2a x ? 1? 0 . 令 3x ?



2 则 ? ? 4a ? 12 ? 0 ,所以 f ?( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,即 3xi2 ? 2axi ?1 ? 0(i ? 1, 2) ,且

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x1 x2 ? 0 , a ?

3xi2 ? 1 .不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,所以 f ( x ) 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递 2 xi

增 , 在 ( x1 , x2 ) 上 单 调 递 减 , 所 以 g ( x1 ) 为 极 大 值 , g ( x2 ) 为 极 小 值 . 方 程

x3 ? ax2 ? x ? 1 ? 0 有且只有一个实根等价于 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 或 g ( x1 ) ? 0 且

g ( x2 ) ? 0
3 i




3

3xi2 ? 1 x 1 2 f ( x) ? x ? axi ? xi ? 1 ? xi ? ? xi ? xi ? 1 ? ? xi ? i ? 1 (i ? 2 xi 2 2

. 设

1

1 1 3 1 g ( x) ? ? x3 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? ? x 2 ? ? 0 ,所以 g ( x) 为减函数,又 g (1) ? 0 , 2 2 2 2
所以 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ; x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,所以 xi (i ? 1, 2) 大于 1 或小于 1.由
2 所以由二次函数 f ?( x) ? 3x ? 2ax ?1 的性质可得 x1 ? 0 ? x2 知 xi (i ? 1, 2) 只能小于 1,

f ?(1) ? 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 .
三、解答题 17.在 ?ABC 中, 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2c ? 2a cos B ? b . (1)求角 A 的大小;

3 2 2 (2)若 ?ABC 的面积为 4 ,且 c ? ab cos C ? a ? 4 ,求 a .
【答案】 (1) A ?

?
3

; (2) a ?

7 . 2

【解析】试题分析: (1)首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数 公式化简已知条件式,由此求得 cos A 的值,从而求得角 A 的大小; (2)首先根据条件 等式结合余弦定理得到 a, b, c 的关系式,然后根据三角形面积公式求得 bc 的值,从而 求得 a 的值. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由

2c ? 2a c ?o B s 及b 正 弦 定 理 可 得
,

2sin C ? 2sin A cos B ? sin B
? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B,? cos A sin B ? ? sin B ? 0,? cos A ? 1 ? ,又因为 0 ? A ? ? ,? A ? . 2 3 sin B 2

,

2 2 (2)? c ? ab cos C ? a ? 4 ①,

又由余弦定理得 ab cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 2 2 2 ,代入①式得 b ? c ? 8 ? 3a , 2
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由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A ? b2 ? c2 ? bc .

1 3 7 . ? S?ABC ? bc sin A ? ,?bc ? 1,? a 2 ? 8 ? 3a 2 ? 1 ,得 a ? 2 4 2
【考点】1、正弦定理与余弦定理;2、两角和的正弦函数公式;3、三角形面积公式. 18.已知 A 、 B 两个盒子中都放有 4 个大小相同的小球, 其中 A 盒子中放有 1 个红球,

3 个黑球, B 盒子中放有 2 个红球, 2 个黑球.
(1)若甲从 A 盒子中任取一球、乙从 B 盒子中任取一球, 求甲、乙两人所取球的颜色 不同的概率; (2)若甲每次从 A 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次;乙每次从 B 盒子中 任取两球, 记下颜色后放回 , 抽取两次, 在四次取球的结果中 , 记两球颜色相同的次 数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】 (1)

1 5 ; (2)分布列见解析, EX ? . 2 3

【解析】试题分析: (1)首先求甲、乙两人所取球的颜色相同的概率,再根据互斥事件 概率和为 1 求得所求概率. ; (2)首先得出 X 的可能取值,然后分别求出甲、乙每次 所取的两球颜色相同的概率,由此列出分布列,求得数学期望. 试题解析: (1)设事件 A 为“甲、乙两人所取的球颜色不同”, 则

P ? A? ? 1 ?

1? 2 ? 3 ? 2 1 ? . 4? 4 2
的可能取值为 0,1, 2, 3, 4 , 甲每次所取的两球颜色相同的概率为

( 2 )依题意 , X

C32 1 ? 2 C4 2

,

































2 2 C2 ? C2 1 ? 2 C4 3

,

1 1 2 2 4 2 2 1 1 12 1?1? 1 1?2? 1 P ? X ? 0 ? ? ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C2 ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 36 ?2? 2 3 3 ? 3 ? 3 2 2 36
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 13 1 1 P ? X ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? , 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 36 1 1 2 1 1 1 1 1 6 1 1 P ? X ? 3? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? C2 ? ? ? , 2 2 3 3 3 3 2 2 36 1 1 1 1 1 P ? X ? 4? ? ? ? ? ? , X 的分布列为 2 2 3 3 36
X

0
4 36

1

2

3

4

6 1 36 36 4 12 13 6 1 5 ? EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 36 36 36 36 36 3
P
【考点】1、等可能事件的概率;2、离散型随机变量及其分布列. 19 .已知三棱柱在 ABC ? A1B1C1 中 ,

12 36

13 36

AB 到 D , 使得 侧面 ABB1 A 1 为正方形 , 延长

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AB ? BD ,平面 AAC 2 A1 A1 , ?C1 A1 A1 ? 1, A 1C1 ? 1 1C ? 平面 ABB1 A

?
4

.

(1)若 E , F 分别为 C1B1 , AC 的中点, 求证: EF ? 平面 ABB1 A 1; (2)求平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值.

【答案】 (1)见解析; (2)

2 22 . 11

G ,连接 FG, EG ,然后由中位线定理可推出 【解析】试题分析: (1)取 AC 1 1 的中点
GE ? 平面 ABB1 A1 与 GF ? 平面 ABB1 A1 ,从而推出平面 GEF ? 平面 ABB1 A1 ,进而
使结论得证; (2)连接 AC1 ,分别以 AA 1 , AB, AC1 所在直线作为 x 轴, y 轴, z 轴建立 空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标及相关向量,由此分别求出平面 A1B1C1 与平 面 CB1D 法向量,从而利用空间夹角公式求解.

G , 连 接 F G, E G, 在 ?A1B1C1 中 , EG 为 中 位 试题解析: ( 1 ) 取 AC 1 1 的中点
线,?GE ? A 1B 1.

? GE ? 平面 ABB1 A1 , A1B1 ? 平面 ABB1 A1 ,?GE ? 平面 ABB1 A1 ,
同理可得 GF ?平面 ABB1 A 1 ,又 GF ? GE ? G ,所以平面 GEF ? 平面 ABB 1A 1.

? EF ? 平面 GEF ,? EF ? 平面 ABB1 A1 .
(2)连接 AC1 ,在 ?AAC 1A ? 1 1 中, ?C1 A

?
4

, A1C1 ? 2 AA1 ,

2 2 2 所以由余弦定理得 AC12 ? AA 1 ? AC 1 1 ? 2 AA 1 ? AC 1 1 cos ?AAC 1 1 ? AA 1 ,

? AA1 ? AC1 , ?A1 AC1 是等腰直角三角形,∴ AC1 ? AA1 ,
又因为平面 AAC 1 1C ? 平面 ABB 1A 1 ? AA 1,? AC1 ? 平 1A 1 ,平面 AAC 1 1C ? 平面 ABB 面 ABB1 A 1.

第 11 页 共 19 页

? AB ? 平面 ABB1 A1 ,? AC1 ? AB ,又因为侧面 ABB1 A1 为正方形,? AA1 ? AB ,
分别以 AA 1 , AB, AC1 所在直线作为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AB ? 1 , 则 A? 0,0,0? , A 1 ?1,0,0? , B 1 ?1,1,0? , C 1 ? 0,0,1? , C ? ?1,0,1? , D ? 0,2,0 ?

?CB1 ? ? 2,1, ?1? , CD ? ?1,2, ?1? , AC 1 1 ? ? ?1,0,1, ? , A 1B 1 ? ? 0,1,0? ,
设 平 面 A1 B1 C1的 一 个 法 向 量 为 m ? ? x1 , y 1, z

??

AC A1B1 ? 0 , 即 ? 1 1 ? 0, m? 1 , 则 m?

??

??

?? x1 ? z1 ? 0 . ? ? y1 ? 0
令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 0, z1 ? 1 ,故 m ? ?1,0,1? 为平面 A1B1C1 的一个法向量. 设平面 CB n C? D 0, 即 1 D的 一 个 法 向 量 为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则 n?C B 1 ?0, ?

??

?

? ????

? ??? ?

?2 x2 ? y 2? z 2? 0 . ? ? x2 ? 2 y 2? z 2? 0
令 x2 ? 1 ,则 y2 ? 1, z2 ? 3 ,故 n ? ?1,1,3? 为平面 CB1D 的一个法向量,

?

?? ? ?? ? m?n 1?1 ? 0 ?1 ? 1? 3 2 22 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? , ? 11 m? n 2 ? 12 ? 12 ? 32
所以平面 A1B1C1 与平面 CB1D 所成的锐二面角的余弦值为

2 22 . 11

【考点】1、线面平行的判定定理;2、二面角;3、空间向量的应用. 【 知 识 点 睛 】 ① 设 两 条 异 面 直 线 a , b 的 方 向 向 量 为 a, b , 其 夹 角 为 ? , 则

? ?

? ? | a? b| ;②设直线 l 的方向向量为 cos ? ?| cos ? |? ? ? (其中 ? 为异面直线 a , b 所成的角) | a |? |b|

? ? ? ? e ,平面 ? 的法向量为 n ,直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ,两向量 e 与 n 的夹角为 ? ,

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?? ?? ?? ? | n? e| 则有 sin ? ?| cos ? |? ? ? ;③ n1 , n2 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面 ? , ? 的法 | n |? |e|
向量,则二面角的大小 ? ?? n1 , n2 ? 或( ? ?? ?? n1, n2 ? ) .

?? ?? ?

?? ?? ?

C:
20.已知椭圆 圆 C 上,点

x2 y 2 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? Q ? x ? 2? ? y ? 2 a 2 b2 ,圆

?

?

2

?2

的圆心 Q 在椭

P 0, 2

?

? 到椭圆 C 的右焦点的距离为

6.

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ,且 l1 交椭圆 C 于 A, B 两点, 直线 l2 交圆 Q 于

C , D 两点, 且 M 为 CD 的中点, 求 ?MAB 的面积的取值范围.
【答案】 (1)

?4 5 ? x2 y 2 ? ? 1; (2) ? ? 3 , 4? . 8 4 ? ?

【解析】试题分析: (1)首先运用两点间的距离公式求得 c 的值,然后根据圆 Q 的圆心 在椭圆上得到关于 a , b 的方程,由此求得 a , b 的值,从而得到椭圆的方程; (2)首先由 题意得 l1 的斜率不为零,然后求得当 l1 垂直 x 轴 ?MAB 的面积;当 l1 不垂直 x 轴时, 设 出直线 l1 的方程,并联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式化 简整理,再利用换元法结合的单调性求得 ?MAB 的面积的取值范围. 试题解析: (1)因为椭圆 C 的右焦点 F ? c,0? ,| PF |? 6,?c ? 2 .

? 2, 3 在椭圆 C 上,?

?

?

4 2 ? 2 ?1. 2 a b

2 2 2 2 由 a ? b ? 4 得 a ? 8, b ? 4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4
1 ? 4? 2 ? 4 , 2

(2)由题意可得 l1 的斜率不为零, 当 l1 垂直 x 轴时, ?MAB 的面积为 当 l1 不垂直 x 轴时, 设直线 l1 的方程为: y ? kx ? 2 , 则直线 l2 的方程为: y ? ?

1 x ? 2, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? . k
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? x2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8 ? y ? kx ? 2 ?





y



?1 ? 2k ? x
2

2

? 4 2kx ? 4 ? 0

,





x1 ? x ?2

?4 2k ?4 , ,x x ?1 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

则 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |?

4 ?1 ? k 2 ?? 4k 2 ? 1? 2k 2 ? 1



又圆心 Q 2, 2 到 l2 的距离 d1 ?

?

?

2 1? k
2

? 2 得 k2 ?1,

又 MP ? AB, QM ? CD ,所以 M 点到 AB 的距离 Q 点到 AB 的距离.

设为 d2 ,即 d 2 ?

2k ? 2 ? 2 1? k 2

?

2k 1? k 2



所以 ?MAB 面积 S ?

k 2 ? 4k 2 ? 1? 4 k 4k 2 ? 1 1 AB?d 2 ? ? 4 , 2 2 2 2k 2 ? 1 2 k ? 1 ? ?



t ? 2k 2 ?1? ?3, ???

,



2 2t 2 ? 3t ? 1 1 ?1 3 ? 1 ? 4 5 ? 1 ? 1? ? 4 ? , 4? ? ? 0, ? , S ? 4 ? ? ? ?? ?, 2t 2 2?t 2? 8 ? 3 t ? 3? ? ?

综上, ?MAB 的面积的取值范围为 ?

?4 5 ? ? 3 , 4? . ? ?

【考点】1、椭圆的方程及几何性质;2、直线与椭圆的位置关系;3、点到直线的距离. 【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦 长问题利用弦长公式解决, 往往会更简单, 另外三角形面积公式的选用也是解答的关键. 21.已知函数 f ? x ? ? a ? x ? a ? 0且a ? 1? 在 ? 0, ??? 上有两个零点 x1 , x2 且 x1 ? x2 .
x

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 ? ? 0 时, 若不等式 ln a ?
1

1? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围. ? x1 ? x2

【答案】 (1) 1 ? a ? e e ; (2) 0 ? ? ? 1 . 【解析】试题分析: ( 1 )首先将问题转化为 ln a ?

ln x 在 ? 0, ??? 上有两个解,令 x

F ? x? ?

ln x ,然后通过求导研究函数 F ( x) 的单调性,由此作出函数 y ? F ? x ? 的大致 x

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图象,从而求得实数 a 的取值范围; (2)首先将问题转化为 ln

x1 ?1 ? ? ?? x1 ? x2 ? 恒 ? x2 ? x1 ? x2

成立,令 t ?

?1 ? ? ?? t ? 1? ,然后通过求导研究函数 x1 , t ? ? 0,1? ,由此令 h ? t ? ? ln t ? ?t ? 1 x2

h( x) 的单调性,从而求得 ? 的取值范围.
试题解析: (1)由题意得 a x ? x 在 ? 0, ??? 上有两个解,

ln x 在 ? 0, ??? 上有两个解. x ln x 1 ? ln x , F '? x? ? 令 F ? x? ? ,所以当 x ? ? 0, e ? 时 , F ' ? x ? ? 0, F ? x ? 为增函数 , x x2
即 x ln a ? ln x ? ln a ? 当 x ? ? e, ??? 时 , F ' ? x ? ? 0, F ? x ? 为 减 函 数 , 当 x?0 且 x?0 时 ,

F ? x? ?

1 1 ln x ? ?? , 当 x ??? 时 , l nx ? x , F ? ln 0 x, 所 以 函 数 ? ?x x x ln x 1 有两个解, 需满足 0 ? ln a ? , y ? F ? x ? 的大致图象如图所示, 要使方程 ln a ? x e
1

解得 1 ? a ? e e .

(2) 由l n x1 ?x1l na ,l n x2 x ? l n 2 a

x1 x2 x 作差得,ln 1 ? ? x1 ? x2 ? ln a , 即 ln a ? , x1 ? x2 x2 ln

x1 x2 1? ? x ?1 ? ? ?? x1 ? x2 ? 所以原式等价于 , 因为 0 ? x1 ? x2 , 所以 ln 1 ? 恒 ? x1 ? x2 ? x1 ? x 2 x2 ? x1 ? x2 ln
成立. 令t ?

?1 ? ? ?? t ? 1? 在 x1 t ? ? 0,1? 上恒成立. , t ? ? 0,1? ,则不等式 ln t ? ?t ? 1 x2

2 ? t ? 1? ? ? 2t ? 1? 1 ?1 ? ? ? ? 令,又 h ' ? t ? ? ? , 2 t ? ?t ? 1?2 t ? ?t ? 1?
2 当 0 ? ? ? 1 时, 即 ? t ? 1 ? 0 时, h ' ? t ? ? 0 , 所以 h ? t ? 在 t ? ? 0,1? 上单调递增,

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又 h ?1? ? 0, h ?t ? ? 0 在 t ? ? 0,1? 恒成立, 符合题意. 当 ? ? 1 时 , t ? ? 0,

? ?

1 ? ?2 ? ?

时 , h ' ? t ? ? 0, t ? ?

? 1 ? ,1? 时 h ' ? t ? ? 0 , 所 以 h ? t ? 在 2 ?? ?

? 1 ? ? 1 ? t ? ? 0, 2 ? 上 单 调 递 增 , 在 t ? ? 2 ,1? 上 单 调 递 减 , 又 h ?1? ? 0 , 所 以 h ? t ? 在 ?? ? ? ? ?

t ? ? 0,1? 上不能恒小于 0 ,不符合题意, 舍去.
综上所述, 若不等式 ln a ?

1? ? 恒成立, 只需 0 ? ? ? 1 . ? x1 ? x2

【考点】1、函数零点;2、函数图象;3、不等式恒成立问题;4、利用导数研究函数的 单调性. 【方法点睛】 (1)讨论函数的单调性时,主要是判断导函数 f ?( x ) 的符号,而判断符号 有时难于直接判断,此时可考虑构造新函数,再利用导数研究其单调性来判断其符号; (2)处理不等式恒成立,本题是通过构造新函数,通过求此新函数的最值来解决. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O 是 ?ABC 的外接圆, ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D ,交 ? O 于 E ,连接

CO 并延长, 交 AE 于 G ,交 AB 于 F .

(1)证明:

AF FG CD ? ? ; AB GC BD

(2)若 AB ? 3, AC ? 2, BD ? 1, 求 AD 的长. 【答案】 (1)见解析; (2) AD ?

4 3. 3

【解析】试题分析: (1)过 D 作 DM ? AB 交 AC 于 M ,连接 BE ,然后根据平行线

BD AM ? ,再利用角平分线的性质可推出 AM ? MD ,从而可使问 DC MC 题得证; (2)首先利用相交弦定理求得 DC 的长,然后利用 ?ADC ? ?ABE ,可得对 应线段成给,即可建立关于 AD 的方法,求解即可.
分线段成比例得 试题解析: (1)如图, 过 D 作 DM ? AB 交 AC 于 M , 连接 BE , 所以

BD AM ? , ?BAD ? ?ADM , DC MC

又因为 ?BAD ? ?CAD,??CAD ? ?ADM ,? AM ? MD ,

?

MD CM AB MD AM AB BD ? , ? ? ,? ? , AB AC AC CM CM AC DC
第 16 页 共 19 页

同理可得

AF FG AF FG CD ? ,? ? ? . AC GC AB GC BD

CD ,又 (2)因为 AD?DE ? BD?
因 为

?A

AB BD 2 ? ,? DC ? . AC DC 3 A D ? D, ? C A B

?, A

A A

B 即?

C E

E

A ?

?

D

,

? ?A ?

?

E

, ?

?A

B ?

?

A

C

? AD 2 ? AB?AC ? AD?DE ? AB?AC ? BD?DC ? 3 ? 2 ? 1?

2 16 4 ? 3 , ? AD ? 3 3 3

. 【考点】1、圆的基本性质;2、相似三角形的判定与性质;3、相交弦定理. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的方程是 y ? 6 , 圆 C 的参数方程是 ? 参数), 以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)分别求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)射线 OM : ? ? ? (其中 0 ? ? ? 射线 ON : ? ? ? ? 值. 【答案】 (1) 直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? , 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ; (2)

? x ? cos ? (? 为 ? y ? 1 ? sin ?

?
2

) 与圆 C 交于 O, P 两点, 与直线 l 交于点 M ,

?
2

与圆 C 交于 O, Q 两点, 与直线 l 交于点 N ,求

OP OQ 的最大 ? OM ON

1 . 36
【解析】试题分析: (1)首先化圆的参数方程为普通方程,然后根据 (2)首先写出 ? cos? ? x, ? sin ? ? y, ? ? x2 ? y 2 可求得直线 l 和圆 C 的极坐标方程; 点 P, M 的极坐标,由此得到 | OP |,| OM | ,从而求得 数的最值求解即可. 试题解析: (1)直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? .
2 圆 C 的普通方程为 x ? ? y ? 1? ? 1 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . 2

| OP | | OQ | ? ,进而利用三角函 | OM | | ON |

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( 2 ) 依 题 意 得 , 点 P, M 的 极 坐 标 分 别 为 ? 2 s i ? n ?,? 和 ?

? 6 ? ,? ? , 所 以 ? sin ? ?

6 |OP? | 2 si ?n O , | M? | , sin ?
从而

| OP | 2sin ? sin 2 ? ? ? . 6 | OM | 3 sin ?

?? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? 2 2 | OQ | | OP | | OQ | sin ? 2? 2 ? sin 2? ? ? ? ,? ? ? ? ? 同理 , | ON | 3 | OM | | ON | 3 3 36
故当 ? ?

?
4

时,

OP OQ 1 的值最大, 该最大值是 . ? 36 OM ON

【考点】1、直角坐标与极坐标的互化;2、直线与圆的位置关系;3、三角形函数的性 质. 24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ?

1 . a

(1)当 a ? 1 时, 解不等式 f ? x ? ? x ? 3 ; (2)当 a ? 0 时, 证明: f ? x ? ? 2 . 【答案】 (1) ? ?

? 3 3? (2)见解析. , ?; ? 4 2?

【解析】试题分析: (1)首先利用零点分段法将函数 f ( x ) 写成分段函数的形式,然后 再分段求得各段不等式的解集,最后取它们的并集即可; (2)首先利用零点分段法将函 数 f ( x ) 写成分段函数的形式,然后分 x ? 最小值,从而使问题得证.

1 a a 1 、 x ? ? 、? ? x ? 求得函数 f ( x ) 的 a 2 2 a

1 ? ??3 x, x ? ? 2 ? 1 ? 试题解析: (1) 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ? x ? 2, ? ? x ? 1 , 由 f ? x ? ? x ? 3 , 2 ? ?3 x, x ? 1 ? ?

1 ? ?x ? ? 得? 或 2 ? ? ?3 x ? x ? 3

第 18 页 共 19 页

? 1 ?x ? 1 3 1 1 3 ?? ? x ? 1 或? ,解得 ? ? x ? ? 或 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? , ? 2 4 2 2 2 ?3x ? x ? 3 ? ?x ? 2 ? x ? 3
所以 f ? x ? ? x ? 3 的解集为 ? ?

? 3 3? , ?. ? 4 2?

1 1 ? 3 x ? a ? , x ? ? a a ? 1 ? 1 a 1 1 2 (2) f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? ? ? x ? a ? , ? ? x ? ,当 x ? 时, f ? x ? ? ? a , a ? a 2 a a a 1 a ? ??3 x ? a ? a , x ? ? 2 ?
当 时,

x??

a 2



,

f ? x? ?

a 1 ? 2 a

,



?

a 1 ?x? 2 a

a 1 2 a 1 ? ? f ? x ? ? ? a , f ? x ?min ? ? ? 2 . 2 a a 2 a

【考点】1、绝对值不等式的解法;2、不等式的证明.

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