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最全的递推数列求通项公式方法[1]


高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求 解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1
a n ?1 ? a n ? f ( n )

解法:把原递推公式转化为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 解:由条件知: a n ? 1 ? a n ?
1 2

, a n ?1 ? a n ?
1 n
2

1 n
2

? n
? 1 n

,求 a n 。
? 1 n ?1

? n

?

1 n ( n ? 1)

分 别 令 n ? 1, 2 , 3 ,? ? ? ? ?? , ( n ? 1 ) , 代 入 上 式 得 ( n ? 1 ) 个 等 式 累 加 之 , 即
( a 2 ? a 1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 4 ? a 3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ( a n ? a n ?1 )

? (1 ?

1 2

)? (

1 2

?

1 3

)? ( 1 n 1 2

1 3

?

1 4

) ? ?????? ?(

1 n ?1

?

1 n

)

所以 a n ? a 1 ? 1 ?
? a1 ? 1 2

,? a n ?

?1?

1 n

?

3 2

?

1 n

变式:(2004,全国 I,个理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 { a n }中 a 1 ? 1 ,且 a2k=a2k-1+(-1)K, (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.
k k 解:? a 2 k ? a 2 k ? 1 ? ( ? 1 ) , a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 3

a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 3

k

? a 2 k ?1 ? ( ? 1)

k

? 3 ,即 a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? 3
k

k

? ( ? 1)

k

? a 3 ? a 1 ? 3 ? ( ? 1)



a5 ? a3 ? 3

2

? ( ? 1)

2

……

……
k

a 2 k ? 1 ? a 2 k ?1 ? 3

? ( ? 1)

k

将以上 k 个式子相加,得
a 2 k ? 1 ? a 1 ? ( 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ) ? [( ? 1 ) ? ( ? 1 ) ? ? ? ? ? ( ? 1 ) ] ?
2 k 2 k

3 2

( 3 ? 1) ?
k

1 2

[( ? 1 )

k

? 1]

将 a 1 ? 1 代入,得
1

a 2 k ?1 ?

1 2

?3

k ?1

?

1 2
k

( ? 1) ? 1 2

k

?1,
k

a 2 k ? a 2 k ?1 ? ( ? 1)

?3

?

1 2

( ? 1)

k

?1。
n ?1

经检验 a 1 ? 1 也适合,? a n

?1 1 2 ? ? ( ? 1 ) 2 ? 1 ( n 为奇数 ) ? ?3 ?2 2 ? ? n n 1 ?1 ? 3 2 ? ? ( ? 1 ) 2 ? 1 ( n 为偶数 ) ?2 2 ?

n ?1

类型 2

a n ?1 ? f ( n ) a n

解法:把原递推公式转化为
2 3

a n ?1 an

? f ( n ) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 解:由条件知 之,即
a2 a1 ? a3 a2 ? a4 a3 ? ??????? an a n ?1 a n ?1 an ? n n ?1

, a n ?1 ?

n n ?1

a n ,求 a n 。

,分别令 n ? 1, 2 , 3 ,? ? ? ? ?? , ( n ? 1 ) ,代入上式得 ( n ? 1 ) 个等式累乘

?

1 2

?

2 3

?

3 4

? ???????

n ?1 n

?

an a1

?

1 n

又? a 1 ?

2 3

,? a n ?

2 3n
3n ? 1 3n ? 2 an
( n ? 1 ) ,求 a n 。
3? 2 ?1 3? 2 ? 2 3?1 3? 2

例:已知 a 1 ? 3 , a n ? 1 ? 解: a n ?
3 ( n ? 1) ? 1 3 ( n ? 1) ? 2 ?

3(n ? 2 ) ? 1 3(n ? 2 ) ? 2

? ????

?

a1

?

3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

变式: 2004, ( 全国 I,理 15. 已知数列{an}, ) 满足 a1=1,a n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1 ) a n ? 1
?1 ? ___
n ?1 n ? 2

(n≥2),则{an}的通项 a n ? ?

解:由已知,得 a n ? 1 ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1 ) a n ? 1 ? na n ,用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, a n ? 1 ? a n ? na n ,即 a n ? 1 ? ( n ? 1 ) a n ,又 a 2 ? a 1 ? 1 ,
? a 1 ? 1, a2 a1 ? 1, a3 a2 ? 3, a4 a3 ? 4 , ? ? ?, an a n ?1 ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 a n ?

n! 2

(n ? 2)

2

类型 3

a n ? 1 ? pa

n

? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 ) ? 0 ) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: a n ? 1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ? 换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n .

q 1? p

,再利用

解:设递推公式 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 可以转化为 a n ? 1 ? t ? 2 ( a n ? t ) 即 a n ? 1 ? 2 a n ? t ? t ? ? 3 . 故递推公式为 a n ? 1 ? 3 ? 2 ( a n ? 3 ) ,令 b n ? a n ? 3 , b 1 ? a 1 ? 3 ? 4 ,且 则
b n ?1 bn ? a n ?1 ? 3 an ? 3 ? 2 .

n ?1 n ?1 ? 2 所 以 ?b n ? 是 以 b 1 ? 4 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 b n ? 4 ? 2 ,所以

an ? 2

n ?1

?3.

变式:(2006,重庆,文,14) 在数列 ? a n ? 中,若 a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ( n ? 1) ,则该数列的通项 a n ? _______________
n ?1 ?3) (key: a n ? 2

变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分)
* 已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ) .

(I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 (Ⅲ)证明:
n 2 ? 1 3 ?
b1 ? 1

4

b2 ?1

? 4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

( n ? N ) , 证明:数列{bn}是等差数列;
*

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

n 2

( n ? N ).
*

* (I)解:? a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ) ,

? a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1),

? ? a n ? 1? 是以 a 1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
? an ? 1 ? 2 .
n

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a n ? 2 ? 1( n ? N ) .
n * k1 ? 1

(II)证法一:? 4

4

k 2 ?1

...4

k n ?1

? ( a n ? 1) n .

k

3

?4

( k 1 ? k 2 ? ... ? k n ) ? n

? 2

nkn

.

? 2[ ( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n ] ? n b n , 2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ? b n ? 1 ) ? ( n ? 1)] ? ( n ? 1) b n ? 1 .

① ②

②-①,得 2 ( b n ? 1 ? 1) ? ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n , 即 ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0 ,
n b n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? 2 ? 0 .

③-④,得 即

n bn ? 2 ? 2 n bn ?1 ? n bn ? 0 ,

bn ? 2 ? 2 bn ?1 ? bn ? 0 ,
*

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ( n ? N ) ,

? ? b n ? 是等差数列

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证法二:同证法一,得
( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0

令 n ? 1, 得 b1 ? 2 . 设 b 2 ? 2 ? d ( d ? R ), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立
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b n ? 2 ? ( n ? 1) d .

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(2)假设当 n ? k ( k ? 2 ) 时, b k ? 2 ? ( k ? 1) d , 那么
bk ?1 ? k k ?1 bk ? 2 k ?1 ? k k ?1 [ 2 ? ( k ? 1) d ] ?
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2 k ?1

? 2 ? [( k ? 1) ? 1] d .

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立

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* 根据(1)和(2) ,可知 b n ? 2 ? ( n ? 1) d 对任何 n ? N 都成立

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? b n ? 1 ? b n ? d ,? ? b n ? 是等差数列
ak a k ?1 2 ?1
k

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(III)证明:?

?

2

k ?1

?1

?

2 ?1
k

2(2 ?
k

1 2

? )

1 2

, k ? 1, 2 , ..., n ,

?

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

n 2

.

4

?

ak a k ?1

?

2 ?1
k

2
a2 a3 1 3

k ?1

?1

?

1 2

? 2(2
n 2

1
k ?1

? 1)

?

1 2

?

1 3 .2 ? 2 ? 2
k k

?

1 2

?

1

.

1
k

, k ? 1, 2 , ..., n ,

3 2

?

a1 a2 n 2

?

? ... ?

an a n ?1

?

?

1 1 1 1 n 1 1 n 1 ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , 3 2 2 2 2 3 2 2 3 n 2

?

?

?

a1 a2

?

a2 a3

? ... ?

an a n ?1

?

( n ? N ).
*

变式:递推式: a n ? 1 ? pa 类型 4
a n ? 1 ? pa
n

n

? f ? n ? 。解法:只需构造数列 ?b n ? ,消去 f ? n ? 带来的差异.

n

? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 )( q ? 1 ) ? 0 ) ) 。
n

(或

a n ? 1 ? p a n ? r q ,其中 p,q,

r 均为常数) 。
n ?1

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q

,得:

a n ?1 q
n ?1

?

p q

?

an q
n

?

1 q

引入辅助数列

?b n ? (其中 b n

?

an q
n

) ,得: b n ? 1 ?

p q

bn ?

1 q

再待定系数法解决。

例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 解:在 a n ? 1 ?
1 3 an ? ( 1 2 )
n ?1

5 6

, a n ?1 ?

1 3

an ? (
n ?1

1 2

)

n ?1

,求 a n 。
? a n ?1 ? 2 3 )
n

两边乘以 2

得: 2

n ?1

2 3

(2 ? a n ) ? 1
n

n 令 b n ? 2 ? a n ,则 b n ? 1 ?

2 3

b n ? 1 ,解之得: b n ? 3 ? 2 (

所以 a n ?

bn 2
n

? 3(

1

1 n n ) ? 2( ) 2 3

变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ?
4 3 a n? 1 3 ?2
n ?1

?

2 3

, n ? 1, 2 , 3, ???

(Ⅰ)求首项 a 1 与通项 a n ; (Ⅱ)设 T n ?

2

n

n

Sn
2 3

, n ? 1, 2 , 3, ??? ,证明: ? T i ?
i ?1

3 2

解: (I)当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 当
n ? 2

4 3

a1 ?

4 3

?

? a1 ? 2 ;

时 ,
n

a n ? S n ? S n ?1 ?
n

4 3

an ?

1 3

?2

n ?1

?

2 3

?(

4 3

a n ?1 ?

1 3

?2

n

?

2 3

)

, 即

a n ? 4 a n ? 1 ? 2 ,利用 a n ? 1 ? pa

n

? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 )( q ? 1 ) ? 0 ) ) 。

5

n n n (或 a n ? 1 ? p a n ? r q ,其中 p,q, r 均为常数)的方法,解之得: a n ? 4 ? 2

4 1 2 1 n n (Ⅱ)将 a n ? 4 ? 2 代入①得 Sn= ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1
n

所以,

?
i ?1

Ti =

3 n 1 1 3 1 1 3 ( - i+1 ) = ×( 1 - i+1 ) < 2 ? 2i-1 2 2 -1 2 2 -1 2 -1 i ?1
? qa n (其中 p,q 均为常数) 。 ? t ( a n ? 1 ? sa n )

类型 5 递推公式为 a n ? 2 ? pa

n ?1

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 a n ? 2 ? sa 其中 s,t 满足 ?
?s ? t ? p ? st ? ? q
n ?1

n ?1

解法二(特征根法):对于由递推公式 a n ? 2 ? pa
2

? qa

n

,a 1 ? ? , a 2 ? ? 给出的数列 ?a n ? ,

方程 x ? px ? q ? 0 , 叫做数列 ?a n ? 的特征方程。 x 1 , x 2 是特征方程的两个根, x 1 ? x 2 若 当
n ?1 时,数列 ?a n ? 的通项为 a n ? Ax 1 ? Bx n ?1 2

,其中 A,B 由 a 1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把
n ?1 2

a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和 n ? 1, 2 , 代入 a n ? Ax

n ?1 1

? Bx

, 得到关于 A、 的方程组) 当 x 1 ? x 2 时, B ;

n ?1 数列 ?a n ? 的通项为 a n ? ( A ? Bn ) x 1 , 其中 A, 由 a 1 ? ? , a 2 ? ? 决定 B (即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2

n ?1 和 n ? 1, 2 ,代入 a n ? ( A ? Bn ) x 1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

解法一(待定系数——迭加法): 数列 ?a n ? : 3 a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ( n ? 0 , n ? N ) , a 1 ? a , a 2 ? b ,求数列 ?a n ? 的通项 公式。 由 3 a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ,得
a n ? 2 ? a n ?1 ? 2 3 ( a n ?1 ? a n ) ,

且 a 2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?a n ? 1 ? a n ? 是以 b ? a 为首项,
2 3
6

为公比的等比数列,于是

a n ? 1 ? a n ? ( b ? a )(
a 2 ? a1 ? b ? a ,

2 3

)

n ?1

。把 n ? 1, 2 , 3 ,? ? ?, n 代入,得

a 3 ? a 2 ? (b ? a ) ? (

2 3

),

a 4 ? a 3 ? (b ? a ) ? (
???

2 3
2 3

) ,
2

a n ? a n ? 1 ? ( b ? a )(

)

n?2



把以上各式相加,得
2 3 2 3 2 3

1? (
)
n?2

2 3

) 2 3

n ?1

a n ? a 1 ? ( b ? a )[ 1 ?

? (

) ? ???? (

] ?

(b ? a ) 。

1?

? a n ? [3 ? 3(

2 3

)

n ?1

]( b ? a ) ? a ? 3 ( a ? b )(

2 3

)

n ?1

? 3b ? 2 a 。

解法二(特征根法) :数列 ?a n ? : 3 a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ( n ? 0 , n ? N ) , a 1 ? a , a 2 ? b 的特征方程是: 3 x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

? x 1 ? 1, x 2 ?
? a n ? Ax
n ?1 1

2 3

,
n ?1 2

? Bx

? A ? B ?(

2 3

)

n ?1



又由 a 1 ? a , a 2 ? b ,于是
?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2 a ? ? ? 2 ? B ? B ? 3(a ? b ) ?b ? A ? 3 ?

故 a n ? 3 b ? 2 a ? 3 ( a ? b )( )
3

2

n ?1

例:已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 解:由 a n ? 2 ?
2 3 a n ?1 ? 1 3

2 3

a n ?1 ?

1 3

a n ,求 a n 。

a n 可转化为 a n ? 2 ? sa

n ?1

? t ( a n ? 1 ? sa n )

即 a n ? 2 ? ( s ? t ) a n ? 1 ? sta

n

2 ? 1 s? t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 ? ? ? ? 3 1 或? 1 t ? ? ? st ? ? ? ?t ? 1 3 ? ? ? 3 ?

7

1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 这里不妨选用 ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 1 (当然也可选用 ? ?t ? ? ?t ? 1 3 ? ?
a n ? 2 ? a n ?1 ? ? 1 3 ( a n ?1 ? a n ) ?

?a n ? 1

? a n ? 是以首项为 a 2 ? a 1 ? 1 , 公比为 ?

1 3

的等比数列,

所以 a n ? 1 ? a n ? ( ? )
3

1

n ?1

,应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1, 2 , 3 ,? ? ? ? ?? , ( n ? 1 ) ,代入上式得
1 ? (?
)
n?2

1

( n ? 1 ) 个等式累加之,即 a n ? a 1 ? ( ?

1 3

) ? (?
0

1 3

) ? ? ? ? ? ? ? ? (?
1

1 3

)

n ?1

? 1?

3 1 3

又? a 1 ? 1 ,所以 a n ?

7 4

?

3 4

(?

1 3

)

n ?1



变式:(2006,福建,文,22,本小题满分 14 分)
* 已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a 2 ? 3 , a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N ) .

(I)证明:数列 ? a n ? 1 ? a n ? 是等比数列; (II)求数列 ? a n ? 的通项公式; (III)若数列 ? b n ? 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

( n ? N ) , 证明 ? b n ? 是等差数列
*

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(I)证明:? a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ,
? a n ? 2 ? a n ?1 ? 2 ( a n ?1 ? a n ) , ? a 1 ? 1, a 2 ? 3 , ? a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ? 2 ( n ? N ).
*

? ? a n ? 1 ? a n ? 是以 a 2 ? a 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
n * (II)解:由(I)得 a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? N ) ,

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? a n ? ( a n ? a n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? a n ? 2 ) ? ... ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1

? 2

n ?1

? 2

n?2

? ... ? 2 ? 1
*

? 2 ? 1( n ? N ).
n

(III)证明:? 4
? 4
( b1 ? b 2 ? ... ? b n )

b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1)

bn

,

? 2

n bn

,

? 2[ ( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n ] ? n b n ,


8

2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ? b n ? 1 ) ? ( n ? 1)] ? ( n ? 1) b n ? 1 .



②-①,得 2 ( b n ? 1 ? 1) ? ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n , 即 ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0 .
n b n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? 2 ? 0 .

③ ④

④-③,得 n b n ? 2 ? 2 n b n ? 1 ? n b n ? 0 , 即 bn ? 2 ? 2 bn ?1 ? bn ? 0 ,
? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ( n ? N ) ,
*

? ? b n ? 是等差数列

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类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f ( a n ) ) 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用
? S 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ( n ? 2 )



a n ? S n ? S n ? 1 ? f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) 消去 S n

( n ? 2 ) 或与 S n ? f ( S n ? S n ? 1 ) ( n ? 2 ) 消去 a n

进行求解。 例:已知数列 ?a n ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?
1 2
n?2

.

(1)求 a n ? 1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n . 解: (1)由 S n ? 4 ? a n ?
1 2
n?2

得: S n ? 1 ? 4 ? a n ? 1 ?
1 2
n?2

1 2
n ?1

于是 S n ? 1 ? S n ? ( a n ? a n ? 1 ) ? ( 所以 a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ?
1 2
n ?1

? 2 1 2

1
n ?1

) 1 2
n

? a n ?1 ?

an ?

.

n (2)应用类型 4( a n ? 1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1 )( q ? 1 ) ? 0 ) ) )的方

法,上式两边同乘以 2 由 a1 ? S 1 ? 4 ? a1 ?

n ?1

得: 2

n ?1

a n ?1 ? 2 a n ? 2
n

1 2
1? 2

? a 1 ? 1 .于是数列 ?2 a n ? 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,
n

n 所以 2 a n ? 2 ? 2 ( n ? 1 ) ? 2 n ? a n ?

n 2
n ?1

变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an} 的通项 an
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9

解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分)
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已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 ( ? 的通项公式. 解:? S n ? S n ? 2 ? a n ? a n ? 1 ,
? a n ? a n ?1 ? 3 ? ( ?

1 2

)

n ?1

( n ? 3 ), 且 S 1 ? 1 , S 2 ? ?

3 2

, 求数列{an}

1 2

)

n ?1

( n ? 3 ) ,两边同乘以 ( ? 1 ) ,可得
n

( ? 1) a n ? a n ?1 ( ? 1)
n
n 令 b n ? ( ? 1) a n

n ?1

? 3 ? ( ? 1) ( ?
n

1 2

)

n ?1

? ?3 ? (

1 2

)

n ?1

? b n ? b n ?1 ? ? 3 ? (

1 2 )

)

n ?1

(n ? 3)

b n ?1 ? b n ? 2 ? ? 3 ? (

1 2

n?2

……

……
1 2 )
2

b3 ? b2 ? ? 3 ? (

1
? b n ? b 2 ? 3 ? [(

1 2

)

n ?1

? (

1 2

)

n?2

? ??? ? (

1 2

?

1 4

?(

1

)

n?2

) ] ? b2 ? 3 ?
2

4

1?

2 1 2

? b2 ?

3 2

? 3?(

1 2

)

n ?1

(n ? 3) 3 2 5 2 )
n ?1

又? a 1 ? S 1 ? 1 , a 2 ? S 2 ? S 1 ? ?
? b1 ? ( ? 1) a 1 ? ? 1
1

?1 ? ?

5 2



, b 2 ? ( ? 1) a 2 ? ?
2

? bn ? ?

5 2

?

3 2

? 3?(

1 2

)

n ?1

? ?4 ? 3 ? (

1 2

( n ? 1) 。
1 n ?1 ? 4?3?( ) , n 为奇数 , ? ? 2 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ? 1 , n 为偶数 . ? 2 ?

? a n ? ( ? 1) b n ? ? 4 ( ? 1)
n

n

? 3 ? ( ? 1) ? (
n

1 2

)

n ?1

类型 7 a n ? 1 ? pa n ? an ? b ( p ? 1、0 ,a

? 0)

10

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令
a n ? 1 ? x ( n ? 1 ) ? y ? p ( a n ? xn ? y ) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x , y , 从 而 转 化 为

?a n

? xn ? y ? 是公比为 p 的等比数列。

例:设数列 ?a n ? : a 1 ? 4 , a n ? 3 a n ? 1 ? 2 n ? 1 , ( n ? 2 ) ,求 a n .

解:设 b n ? a n ? An ? B , 则 a n ? b n ? An ? B ,将 a n , a n ? 1 代入递推式,得

b n ? An ? B ? 3 ?b n ? 1 ? A ( n ? 1 ) ? B ? ? 2 n ? 1 ? 3 b n ?1 ? ( 3 A ? 2 ) n ? ( 3 B ? 3 A ? 1)

A ? 3A ? 2 ? ?A ? 1 ? ? ? ? ? ?B ? 3B ? 3 A ? 1 ?B ? 1 ?

? 取 b n ? a n ? n ? 1 …(1)则 b n ? 3 b n ? 1 ,又 b 1 ? 6 ,故 b n ? 6 ? 3
n 代入(1)得 a n ? 2 ? 3 ? n ? 1

n ?1

? 2?3

n

说明: 若 f ( n ) 为 n 的二次式, (1) 则可设 b n ? a n ? An

2

? Bn ? C ;(2)

本题也可由 a n ? 3 a n ? 1 ? 2 n ? 1 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ? 2 ( n ? 1 ) ? 1( n ? 3 ) 两式相减得 a n ? a n ? 1 ? 3 ( a n ? 1 ? a n ? 2 ) ? 2 转化为 b n ? 2 ? pb n ? 1 ? qb n 求之. 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 已知数列{ a n }中, a 1 ?
1 2 、 点 ( n、 a n ? 1 ? a n)在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2
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(Ⅰ)令 b n ? a n ? 1 ? a n ? 3 , 求证数列 (Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项;

?b n ?是等比数列;

(Ⅲ)设 S n 、 T n 分别为数列

?a n ?、?b n ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ?
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? S n ? ? Tn ? ? n ? ?

为等差数列?若存在,试求出 ? 解: (I)由已知得
a1 ? 1 2

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若不存在,则说明理由

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, 2 a n ?1 ? a n ? n ,

11

? a2 ?

3 4

, a 2 ? a1 ? 1 ?

3 4

?

1 2

?1 ? ?

3 4

,

又 b n ? a n ? 1 ? a n ? 1,
b n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? 1,

a n ? 1 ? ( n ? 1) ? b n ?1 bn ? a n ?1 ? a n ? 1 a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ? 2

?

an ? n 2 ?

a n ?1 ? a n ? 1 2 a n ?1 ? a n ? 1 ? 1 2 .

a n ?1 ? a n ? 1

? { b n } 是以 ?

3 4

为首项,以
3 4 ,

1 2

为公比的等比数列
1 2 )
n ?1

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(II)由(I)知, b n ? ?
? a n ?1 ? a n ? 1 ? ? ? a 2 ? a1 ? 1 ? ? a3 ? a2 ? 1 ? ? 3 2 3 2 ? 1 2 3 2
2

?(

? ?

3 2

?

1 2
n

,

3 2 ?

? 1 2 ,

1 2 ,
n

??????
? a n ? a n ?1 ? 1 ? ? ? 2 1
n ?1

,

将以上各式相加得:
? a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? ? 3 1 1 1 ( ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ), 2 2 2 2

1 ? a n ? a1 ? n ? 1 ? 3 2 ? 2

(1 ? 1? 2 1

1
n ?1

) ?

1 2

? ( n ? 1) ?

3 2

(1 ? 2

1
n ?1

) ?

3 2
n

? n ? 2.

2
? an ? 3 2
n

? n ? 2.

(III)解法一: 存在 ? ? 2 ,使数列 {
S n ? ? Tn n ? S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 3 ( 1 2
1

} 是等差数列 ? 1 2
2

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? ??? ?

1 2
n

) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 2 n

1 ? 3? 2

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

) ?

n ( n ? 1) 2

? 2n

? 3 (1 ?

1 2
n

)?

n ? 3n
2

? ?

3 2
n

?

n ? 3n
2

? 3.

2

2

12

? T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?

3 4

(1 ? 1? 1 2

1 2
n

) ? ?

3 2

(1 ?

1 2
n

)? ?

3 2

? 2

3
n ?1

.

数列 {

S n ? ? Tn n

} 是等差数列的充要条件是

S n ? ? Tn n

? A n ? B , ( A 、 B 是常数 )

2 即 S n ? ? Tn ? A n ? B n ,

又 S n ? ? Tn ? ?
n ? 3n
2

3 2
n

?

n ? 3n
2

? 3 ? ? (?

3 2

? 2

3
n ?1

)

2 1 2
n

?

? 3 (1 ?

?
2

)(1 ?

)

2
?

当且仅当 1 ?

?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ? Tn n

} 为等差数列

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解法二: 存在 ? ? 2 ,使数列 {
S n ? ? Tn n } 是等差数列
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由(I)(II)知, a n ? 2 b n ? n ? 2 、
? S n ? 2T ? n ( n ? 1) 2 ? 2n

n ( n ? 1) S n ? ? Tn n
? n?3 2 ?

?

2

? 2 n ? 2Tn ? ? Tn n

? ?2
n

Tn

?

3 4

(1 ? 1? 1 2

1 2
n

) ? ?

又 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?
S n ? ? Tn n
?

3 2

(1 ?

1 2
n

)? ?

3 2

? 2

3
n ?1

?

n?3 2

?

? ?2
n

(?

3 2

? 2

3
n ?1

) } 是等差数列

当且仅当 ? ? 2 时,数列 {
r n

S n ? ? Tn n

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类型 8 a n ? 1 ? pa

( p ? 0, a n ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 a n ? 1 ? pa n ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ a n }中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? 解:由 a n ? 1 ?
1 a
2

1 a

? a n ( a ? 0 ) ,求数列 ?a n ?的通项公式
2

.

? a n 两边取对数得 lg a n ? 1 ? 2 lg a n ? lg

1 a



13

令 b n ? lg a n ,则 b n ? 1 ? 2 b n ? lg

1 a

,再利用待定系数法解得: a n ? a ( )
a

1

2 n ?1



变式:(2005,江西,理,21.本小题满分 12 分) 已知数列 { a n }的各项都是正数 (1)证明 a n ? a n ? 1 ? 2 , n ? N ; (2)求数列 { a n } 的通项公式 an. 解:用数学归纳法并结合函数 f ( x ) ? (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a 1 ?
1 2 a 0 (4 ? a 0 ) ? 3 2 ,
, 且满足 : a 0 ? 1, a n ? 1 ?

1 2

a n ( 4 ? a n ), n ? N .

1 2

x ( 4 ? x ) 的单调性证明:

∴ a 0 ? a 1 ? 2 ,命题正确. 2°假设 n=k 时有 a k ? 1 ? a k ? 2 . 则 n ? k ? 1时 , a k ? a k ? 1 ?
1 ? 2 (a k ? 1 ? a k ) ? 2
1 2 a k ?1 ( 4 ? a k ?1 ) ? 1 2 a k (4 ? a k )

1 (a k? 1 ? a k ) (a?k1 ? a ? ) ( a k ? 1 ? a k )( 4 ? a k ? 1 ? a k ). k 2
4 ? a k ?1 ? a k ? 0 , ? a k ? a k ?1 ? 0 .

而 a k ?1 ? a k ? 0 . 又 a k ?1 ?
1 2 a k (4 ? a k ) ?

1 2

[4 ? (a k ? 2) ] ? 2.
2

∴ n ? k ? 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 a n ? a n ? 1 ? 2 . 方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a 1 ?
1 2 a 0 (4 ? a 0 ) ? 3 2 , ∴ 0 ? a 0 ? a1 ? 2 ;

2°假设 n=k 时有 a k ? 1 ? a k ? 2 成立, 令 f (x) ?
1 2 x ( 4 ? x ) , f ( x ) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 1 2 a k ?1 ( 4 ? a k ?1 ) ? 1 2 a k (4 ? a k ) ? 1 2 ? 2 ? ( 4 ? 2 ),

有: f ( a k ? 1 ) ? f ( a k ) ? f ( 2 ), 即 也即当 n=k+1 时

a k ? a k ? 1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有 a k ? a k ? 1 ? 2

(2)解法一: a n ? 1 ? 所以

1 2

a n (4 ? a n ) ?
2

1 2

[? (a n ? 2)

2

? 4 ],

2 ( a n ?1 ? 2 ) ? ? ( a n ? 2 )

14

令 bn ? a n ? 2, 则 bn ? ?

1 2

b n ?1 ? ?
2

1 2
?1

(?

1 2

bn?2 )

2

2

? ?

1 2

?(

1 2

) b n ?1 ? ? ? ? (
2 2

2

1 2

)

1? 2 ? ? ? 2

n ?1

bn

2

n

,

又 bn=-1,所以 b n ? ? ( ) 2
2

1

n

,即 a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( 1 2 (a n ? 2) ? 2,
2

1 2

)

2 ?1

n

解法二:? a n ? 1 ?
? 2 ? a n ?1 ?

1 2

a n (4 ? a n ) ? ?
2

1 2

(2 ? a n )

由(I)知, 2 ? a n ? 0 ,两边取以 2 为底的对数,
? log

2

( 2 ? a n ? 1 ) ? ? 1 ? 2 log

2

(2 ? a n )

n 令 b n ? log 2 ( 2 ? a n ) ,则 b n ? 1 ? ? 1 ? 2 b n ? b n ? 1 ? 2

? an ? 2 ? 2

1? 2

n

或an ? 2 ? ( )2
2

1

n

?1

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分) 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 记 bn=
1 an ? 1 an ? 2

,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+

2 3T n ? 1

=1

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2 解: (Ⅰ)由已知 a n ? 1 ? a n ? 2 a n ,

? a n ? 1 ? 1 ? ( a n ? 1)

2

? a1 ? 2 ? a n ? 1 ? 1 ,两边取对数得 lg (1 ? a n ? 1 ) ? 2 lg (1 ? a n ) ,



lg (1 ? a n ? 1 ) lg (1 ? a n )

? 2

? { lg (1 ? a n ) } 是公比为 2 的等比数列

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n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg (1 ? a n ) ? 2 ? lg (1 ? a 1 ) ? 2 n ? 1 ? lg 3 ? lg 3 2

n ?1

? 1 ? an ? 3

2

n ?1

(*)

? T n ? (1 ? a 1 ) (1 ? a 2 )… ( 1 + a n )

15

? 3
? 3

2

0

?3

2

1

?3

2

2

?… ? 3
n

2

n-1

1? 2 ? 2 ? … + 2

2

n-1

=3
n ?1

2 -1

由(*)式得 a n ? 3 2

?1
1 a n ?1 1 an 1 a n ?1 1 2 1 an 1 a n ?1 1 a1 1 a n ?1 1 an ? 2

2 (Ⅲ)? a n ? 1 ? a 0 ? 2 a n , ? a n ? 1 ? a n ( a n ? 2 ) ,?

?

(

?

)

?

1 an ? 2

?

1 an

?

2 a n ?1

,又 b n ?

1 an 1 a2

?

1 an ? 2 1 a2

,? b n ? 2 (

?

)

? S n ? b1 ? b 2 ? … + b n ? 2 (

1 a1

?

?

?

1 a3

?…+

1 an

?

) ? 2(

?

)

? an ? 3

2

n ?1

? 1, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3
2
n

2

n

?1
2 3T n ? 1

? Sn ? 1? 3

2

n

?1

,又 T n ? 3 2

?1

,? S n ?

?1

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类型 9 a n ? 1 ?

f (n)a n g (n)a n ? h(n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 a n ? 1 ? pa n ? q 。 例:已知数列{an}满足: a n ?
3 ? a n ?1 ? 1 a n ?1
a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1 , a 1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。

解:取倒数:

1 an

?

? 3?

1 a n ?1

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ) ? 3 ? 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? a n ? ? ? ? 是等差数列, an a1 3n ? 2 ? an ?

变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分) 已知数列{an}满足:a1=
3 2

,且 an=

( n ? 2, n ? N ) 2 a n - 1+ n - 1

3 n a n-1

?

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n! 解: (1)将条件变为:1- 为
n an

= (1 -
3

1

n -1 a n-1

),因此{1-

n an

}为一个等比数列,其首项

16

1-

1 a1



1 3

,公比

1 3

,从而 1-

n an



1 3
n

,据此得 an=
n!

n?3
n

n

(n?1)…………1?

3 -1

(2)证:据 1?得,a1?a2?…an=
(1 -

1 3

)( 1 - ?

1 3
2

) … (1 -

1 3
n



为证 a1?a2?……an?2?n! 只要证 n?N?时有 1 - )( 1 - ( ?
3 1 1 3
2

) … (1 -

1 3
n

? )

1 2

…………2?

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有
(1 - 1 3 )( 1 - ? 1 3
2

) … (1 -

1 3
n

?1-( )

1 3



1 3
2

+…+

1 3
n

)…………3?

用数学归纳法证明 3?式: (i) n=1 时,3?式显然成立, (ii) 设 n=k 时,3?式成立, 即 1 - )( 1 - ( ?
3 1 3 1 3 1 1 3 1 3
2 2 2

1

1 3
2

) … (1 -

1 3
k

?1-( )

1 3



1 3
2

+…+

1 3
k



则当 n=k+1 时,
(1 - )( 1 - ? ) … (1 - ? 1 3 1 3
k k

1 3
k

)( 1 - ? 3 1 3
k+1

1
k+1

1 1 1 1 〕?( 1 - k + 1 ) )?〔1-( + 2 + … + k ) 3 3 3 3

=1-( +
3

+…+

)- +
3
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3

1
k+1

( +
3

1

1 3
2

+…+

1 3
k


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?1-( +
3

1

+…+

1
k+1

)即当 n=k+1 时,3?式也成立

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故对一切 n?N?,3?式都成立 利用 3?得,

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1 1 n 〔1 - ( )〕 1 1 1 1 1 1 3 ?1-( + 2 + … + n )=1- 3 ( 1 - )( 1 - 2 ) … ( 1 - n ) ? 1 3 3 3 3 3 3 1- 3

=1- 〔1 - ( )〕 =
n

1

1

1

2

3

1 1 n 1 + ( )? 2 2 3 2
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故 2?式成立,从而结论成立
? q ? h

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类型 10

a n ?1 ?

pa ra

n n

解法:如果数列 { a n } 满足下列条件:已知 a 1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ? 1 ? 中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0 , a 1 ? ? 当特征方程有且仅有一根 x 0 时,则 ?
? 1
h r

pa ra

n n

? q ? h

(其

) ,那么,可作特征方程 x ?

px ? q rx ? h

,

? x ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x 1 、 2 ? a n ? x0 ?
17

时,则 ?

? a n ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?
an ? 4 2an ? 3
2

例:已知数列 { a n } 满足性质:对于 n ? N , a n ? 1 ?
x ? 4 2x ? 3

, 且 a 1 ? 3 , 求 { a n } 的通项公式.

解: 数列 { a n } 的特征方程为 x ?

, 变形得 2 x

? 2 x ? 4 ? 0 , 其根为 ? 1 ? 1 , ? 2 ? ? 2 .

故特征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有
cn ? a1 ? ?1 a1 ? ? 2 ?( p ? ?1r p ? ?2r )
n ?1

?

3?1 3? 2

?(

1?1?2 1? 2?2

)

n ?1

,n ? N.

∴cn ?

2 5

(?

1 5

)

n ?1

,n ? N.
? 2? ? 2 5 2 5 (? 1 5 ) (? 1 5
n ?1 n ?1

∴an ?

? 2c n ? ?1
cn ? 1

)

?1 ,n ? N.

?1

即an ?

(?5)

n

? 4
n

2 ? (?5)

,n ? N.

例:已知数列 { a n } 满足:对于 n ? N , 都有 a n ? 1 ?

13 a n ? 25 an ? 3

.

(1)若 a 1 ? 5 , 求 a n ; (2)若 a 1 ? 3 , 求 a n ; (3)若 a 1 ? 6 , 求 a n ; (4)当 a 1 取哪些值时,无穷数列 { a n } 不存在? 解:作特征方程 x ?
13 x ? 25 x ? 3 . 变形得 x
2

? 10 x ? 25 ? 0 ,

特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5 . 依定理 2 的第(1)部分解答. (1)∵ a 1 ? 5 , ? a 1 ? ? . ? 对于 n ? N , 都有 a n ? ? ? 5 ; (2)∵ a 1 ? 3 , ? a 1 ? ? . ∴bn ?
1 a1 ? ? ? ( n ? 1) r p ? r?

?

1 3?5 1 2 ?

? ( n ? 1) ? n ?1 8

1 13 ? 1 ? 5

? ?

,

令 b n ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 { a n } 从第 5 项开始都不存在,

18

当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 bn

? ? ?

5 n ? 17 n ? 5

.

(3)∵ a 1 ? 6 , ? ? 5 , ∴ a 1 ? ? . ∴bn ?
1 a1 ? ? ? ( n ? 1) r p ? ?r ?1? n ?1 8 ,n ? N.

令 b n ? 0 , 则 n ? ? 7 ? n . ∴对于 n ? N, b n ? 0 . ∴an ?
1 bn ? ? ? 1? 1 n ?1 8 ? 5 ? 5 n ? 43 n ? 7 ,n ? N.

(4)、显然当 a 1 ? ? 3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,
a1 ? 5

时 , 数 列
1 r

{a n }

是 存 在 的 , 当
1 a1 ? 5 n ?1 8

a1 ? ? ? 5

时 , 则 有
5 n ? 13 n ?1

bn ?

a1 ? ?

? ( n ? 1)

p ? ?r

?

?

, n ? N . 令 b n ? 0, 则得 a1 ?

,n ? N

且 n ≥2. ∴当 a 1 ?
5 n ? 13 n ?1

(其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 { a n } 从第 n 项开始便不存在.
5 n ? 13 n ?1 : n ? N , 且 n ≥2}上取值时,无穷数列 { a n } 都不存

于是知:当 a 1 在集合 { ? 3 或

在. 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分) 数列 { a n } 满足 a 1 ? 1且 8 a n ? 1 a n ? 16 a n ? 1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ( n ? 1 ). 记 b n ? (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 { b n } 的通项公式及数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n .
1 an ? 1 2 ( n ? 1 ).

解法一:由已知,得 a n ? 1 ?

2an ? 5 16 ? 8 a n

,其特征方程为 x ?

2x ? 5 16 ? 8 x

解之得, x 1 ?

1 2

或 x2 ?

5 4

? a n ?1 ?

1 2

6(a n ? ?

1 2

)

16 ? 8 a n

, a n ?1 ?

5 4

12 ( a n ? ?

5 4

)

16 ? 8 a n

19

a n ?1 ?
?

1 2 ? ? 5 2 4
n ?1 n

1

an ? an ?

1 2 , 5 4
?

an ? an ?

1 2 ? 5 4

a1 ? a1 ?

1 1 n ?1 4 2 ?( ) ? ? n 5 2 2 4

a n ?1 ?
2

? an ?

?5 ? 4

2

解法二: (I) a 1 ? 1, 故 b 1 ?
1 1? 1 2 ? 2;

a2 ?

7 8 3 4

, 故 b2 ?

1 7 8 ? 1 3 4 ? 1 2 1 2

?

8 3

;

a3 ?

, 故 b3 ?

? 4;

a4 ?

13 20

, 故 b4 ?
4 3 4 3 4 3

20 3

.
4 3 4 3 ) ? 2 3 )( b 3 ? 2 3 ? 8 3 4 3 ? ( 4 3 ) ? (b 2 ? 4 3 . )
2

(II)因 ( b 1 ?
(b 2 ? 4 3 )
2

)( b 3 ?
2

) ,
2

? (

) , ( b1 ?

故猜想 { b n ?

}是首项为

, 公比 q ? 2的等比数列

因an ? 2 , (否则将 a n ? 2 代入递推公式会导致矛盾)
故 a n ?1 ? 因 b n ?1 ? 5 ? 2a 16 ? 8 a n 4 3 ? 1 a n ?1 ? 2 an ? 1 2
q ? 2 的等比数列.
1 3

( n ? 1 ). 4 3 16 ? 8 a n 6an ? 3 4 3 20 ? 16 a n 6an ? 3 4 3 4 3

1 2 ?

?

?

?

?

,

2 (b n ?

4 3

) ?

8 3

?

20 ? 16 a n 6an ? 3

? b n ?1 ?

, b1 ?

? 0,

故| bn ?
因 b1 ? 4 3

4 3
?

| 确是公比为
2 3 4 3

,故 bn ?

?

?2

n

, bn ?

1 3

?2

n

?

4 3

( n ? 1)

由 bn ?

1 an ? 1 2

得 a nbn ?

1 2

b n ? 1,

故 S n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n

20

1
? 1 2 ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

(1 ? 2 )
n

?

3 1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1)
n

解法三: (Ⅰ)由 b n ?
1 an ?
4 b n ?1b n 6 b n ?1

1 2

得 an ?

1 bn

?

1 2

, 代入递推关系

8 a n ? 1 a n ? 16 a n ? 1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ,

整理得

?

?

3 bn

? 0 , 即 b n ?1 ? 2 b n ?

4 3

,

由 a 1 ? 1, 有 b 1 ? 2 , 所以 b 2 ?

8 3

, b3 ? 4, b4 ? 4 3 ? 2 (b n ? 4 3

20 3

. 4 3 ? 2 3 ? 0,

(Ⅱ)由 b n ? 1 ? 2 b n ? 所以 { b n ?
bn ? 4 3 ? 1 3
1 an ? 1 2
4 3 }是首项为

4 3

, b n ?1 ? 2 3

), b 1 ?

, 公比 q ? 2的等比数列

,故

? 2 , 即 bn ?
n

1 3

?2 ?
n

4 3

( n ? 1).

由 bn ?

得 a n bn ?

1 2

b n ? 1,

故 S n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ?

1 2

( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

1 ? 3

(1 ? 2 )
n

1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1).
n

解法四: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b 2 ? b 1 ?
2 3 , b3 ? b2 ? 4 3 , b4 ? b3 ? 8 2 8 4 2 , ? ? ( ) 3 3 3 3

猜想 { b n ? 1 ? b n } 是首项为 又因 a n ? 2 , 故 a n ? 1 ?

2 3

, 公比 q ? 2 的等比数列 ( n ? 1 ). 因此

, b n ?1 ? b n ?

1 3

?2

n

5 ? 2an 16 ? 8 a n

b n ?1 ? b n ?

1 a n ?1 ? 1 2

?

1 an ? 1 2

?

1 5 ? 2an 16 ? 8 a n
10 ? 8 a n 6an ? 3

? ? 1 2

2 2an ? 1

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?

6 6an ? 3

?

;

21

b n ? 2 ? b n ?1 ?

1 a n?2 ? 1 2

?

1 a n ?1 ? 1 2

?

16 ? 8 a n ? 1 6 a n ?1 ? 3

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?

36 ? 24 a n 6an ? 3

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?

20 ? 16 a n 6an ? 3

? 2 ( b n ? 1 ? b n ).

因 b 2 ? b1 ?

2 3

? 0 , { b n ? 1 ? b n }是公比 q ? 2的等比数列

, b n ?1 ? b n ?

1 3

?2 ,
n

从而 b n ? ( b n ? b n ? 1 ) ? ( b n ? 1 ? b n ? 2 ) ? ? ? ( b 2 ? b 1 ) ? b 1
? 1 3
由 bn ? 1 an ? 1 2 得 a n bn ? 1 2 b n ? 1,

(2

n ?1

? 2

n?2

?? ? 2 )? 2 ?
1

1 3

(2 ? 2) ? 2 ?
n

1 3

?2 ?
n

4 3

( n ? 1).

故 S n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ?

1 2

( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

1 ? 3

(1 ? 2 )
n

1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1).
n

类型 11 a n ? 1 ? a n ? pn ? q 或 a n ? 1 ? a n ? pq

n

解法:这种类型一般可转化为 ?a 2 n ? 1 ? 与 ?a 2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? 6 n ? a n ,求 a n
n (II)在数列 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n a n ? 1 ? 3 ,求 a n

类型 12 归纳猜想法 解法:数学归纳法 变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a
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2 提示:1 S n ? 1, n ? 1, 2 , 3, ... 为方程的根,代入方程可得 ( S n ? 1) ? a n ( S n ? 1) ? a n ? 0

将 n=1 和 n=2 代入上式可得 a 1 ?

1 2
1

a2 ?

1 6

2 求出 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 等,可猜想 a n ?
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n ( n ? 1)

并用数学归纳法进行证明,本题主要考察 一般

数列的通项公式与求和公式间的关系

22

3 方程的根的意义(根代入方程成立)
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4

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数 学 归 纳 法 证 明 数 列 的 通 项 公 式 ( 也 可 以 把 an ?

1 n ( n ? 1)

分 开 为

an ?

1 n ( n ? 1)

? n

1 ?

1 n ?1

然 后 求 和 , 中 间 项 均 抵 消 , 只 剩 下 首 项 和 末 项 ,可得 S n

解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= 2
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1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
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1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = 2 2 6 3 3 由①可得 S3= 4
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n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,… n+1 下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n=1 时已知结论成立
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……8 分

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k (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= , k+1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立
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k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

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n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立 n+1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an= n ,n=1,2,3,… n+1
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……10 分

n-1 n 1 - = , n n+1 n(n+1)

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……12 分
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本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现 类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
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例 : 已 知 数 列 ?a n ? 中 , a 1 ? 1 ; 数 列 ?b n ? 中 , b 1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

23

an ?

1 3

( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) , b n ? 1 3

1 3

( a n ? 1 ? 2 b n ? 1 ) ,求 a n , b n . 1 3 ( a n ?1 ? 2 b n ?1 ) ? a n ?1 ? b n ?1

解:因 a n ? b n ?

( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) ?

所以 a n ? b n ? a n ? 1 ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? b n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? a 1 ? b 1 ? 1 即 a n ? b n ? 1 …………………………………………(1) 又因为 a n ? b n ? 所以 a n ? b n ?
1 1 3 ( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) ? 1 3 ( a n ?1 ? 2 b n ?1 ) ? 1 3 ( a n ?1 ? b n ?1 )

1 2 1 n ?1 ( a n ? 1 ? b n ? 1 ) ? ( ) a n ? 2 ? b n ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a 1 ? b1 ) 3 3 3

1 n ?1 1 n ?1 .即 a n ? b n ? ? ( ) ………………………(2) ? ( ) 3 3

由(1)(2)得: a n ? 、 类型 14 周期型

1

1 n ?1 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] , b n ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。
1 ? 2 a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ? ? ,若 a 1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ? 2 a ? 1, ( 1 ? a ? 1 ) n n ? 2 ?

例:若数列 ?a n ? 满足 a n ? 1

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ?
an ? 3 ( n ? N ) ,则 a 20 =
*

3a n ? 1





A.0

B. ?

3

C. 3

D.

3 2

24


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