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高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结


第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2 、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

y ? f ( x) 的图象

与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x)
有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法) 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, ○ 并利用函数的性质找出零点. 4、基本初等函数的零点: ①正比例函数 y ? kx(k ? 0) 仅有一个零点。

k (k ? 0) 没有零点。 x ③一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 仅有一个零点。
②反比例函数 y ? ④二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两 个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一 个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二 次函数无零点. ⑤指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 没有零点。
x

⑥对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 仅有一个零点 1. ⑦幂函数 y ? x ,当 n ? 0 时,仅有一个零点 0,当 n ? 0 时,没有零点。 5 、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数) ,函数先把 f ? x ? 转化成 个函数图像的交点个数就是函数 f ? x ? 零点的个数。 ,这另 f ? x ? ? 0 ,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 y1 , y2 (基本初等函数)
?

6、选择题判断区间 ? a, b ? 上是否含有零点,只需满足 f ? a ? f ? b ? ? 0 。 Eg:试判断方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0在区间[0,2]内是否有实数解?并说明理由。
4 2

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8、函数零点的性质: 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 .
2

k 为常数,则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)或根在区间上的
分布主要有以下基本类型:

表一: (两根与 0 的大小比较)
分 布 情 况 大 致 图 象 ( )
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

一正根一负根即一个根 小于 0,一个大于 0

? x1 ? 0 ? x2 ?

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ? 0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ? 0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ? 0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ? 0? ? 0

f ?0? ? 0

第 2 页 共 2 页

( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况 大 致 图 象 ( )
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大 于k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

k

k

k

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

f ?k ? ? 0

( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )

a ? f ?k ? ? 0

第 3 页 共 3 页

表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n ? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n ? 一根在 ?m, n ? 内, 另一根在 ? p, q ?

内 (有两种情况, 只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? 或?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? 或?
? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

) 讨 结 论 论

a 不 合

( 综

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

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