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等差数列提高题


专题九

等差数列

一.等差数列基本概念

1.等差数列定义 2.等差数列通项公式 3.等差数列前 n 项和 4.等差中项 :如果

an =______________或 an =___________.
1) Sn ? ________________2). Sn ? ________

_________

a,b, c 成等差数列,么 b 叫做 a , c 的等差中项,则有

_________________
5.等差数列的判定方法 1) 定义法: 2)中项公式法: 3)通项法:已知数列 an 的通项公式为 an =________,公差 d=________。 4)前 n 项和法:已知数列 an 的前 n 项和 Sn

? pn ? q ,则 an

为等差数列,其中首项为 a1

? An2 ? Bn ,则 an 为等差数列,其中首项为

a1 =________,公差 d=________,
6.等差数列性质 1)

a1 ? an ? a2 ? an?1? ? 2a?
p, k ? N * ,且 m ? n ? p ? k ,则 am ? an ? ap ? ak ;特别当

2)当 m, n,

m ? n ? 2 p 时 am ? an ? 2a p
特别注意“ m ? n ? p 时, am ? an ? a p ”是不正确的. 3) 数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m... 成大差数列 4)当 n 为奇数时, Sn

? nan?1
2

二.例题分析 【类型 1】求等差数列通项 【例 1】.等差数列 an 中,

a5 ? 10, a12 ? 31 ,求 a1, d , an .

【变式 1】四个数成等差数列,它们的和为 28,中间两项的积为 40,求这四个数.

【例 2】等差数列 an 中, a3 ? a8 ? a13

? 12 , a3 ? a8 ? a13 ? 24 ,求通项公式 an .

【变式 1】等差数列 ?an ? 中, a5 ? 10, a15 ? 25, 则 a25 的值是



【变式 2】已知等差数列{

an

}中. a6 ? a10 ? 18 a3 ? 1 ,则 a13 ?



【变式 3】 (09 年安徽文) 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则

a20 ?



【变式 4】(2008 年天津文 4)若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则

a7 ?



【例 3】已知数列 {an } 中, a1 =1, an ?1 ?

(n ? 1) an ,则数列 {an } 的通项公式为 ______ 2n

【变式 1】已知数列{ an }中, a1 =2, a2 =3,其前 ≥2,n∈N * ),则数列{ an }的通项公式为 A. an =n B. an = n 2 (

n 项和 S n 满足 Sn ?1 ? Sn ?1 ? 2Sn ? 1 (n ) D. an =n+l

C. an = n-l

【例 4】在数列 ?an ? 和数列 ?bn? 中, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 Sn ? n2 ? 2n ,数 列 ?bn? 的前 n 项和 Tn 满足 3Tn ? nbn?1 ,且 b1 ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)求数列 ?bn? 的通项公式

【例 5】数列 an 中, a1 ? 1, an?1 ?

5an ,求数列 ?an ? 的通项公式; an ? 5

【类型 2】求等差数列前 n 项和 【例 1】 (11 年天津文 11. )已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和, n ? N * ,若

a3 ? 16,S 20 ? 20,则 S10 的值为_______

【变式 1】如果 Sn ? an2 ? bn ? c 是一个等差数列的前 n 项和,其中 a,b,c 为常数,则 c 的值为 .

【例 2】 (10 年全国文 6) 等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 an 的前 7 项和

S7 ?



【变式 1】 已知数列 {an } 、 bn } 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a1 、b1 , { 且 a1 ? b1 ? 5 , a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 ( A.55 ) B.70 C.85 D.100

【例 3】 ?an ? 通项公式为 an ?

1 ,则 Sn ? _______ . n ?n
2

【变式 1】 ?an ? 通项公式为 an ?

1 则 Sn ? n ?1 ? n



【变式 2】 ?an ? 通项公式为 an ?

1 n ? n ?1

, 若其前 n 项和为 10, 则项数 n 为



【例 4】等差数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,前 n 项和记为 Sn ,求 Sn 取最小值时 n 的值.

【变式】差数列 ?an ? 中, an ? 21 ? 3n ,则 n ?

时 Sn 有最大值;

【类型 3】等差数列性质的应用
【例 1】 (1)等差数列 ?an ? 中, Sm ? 30, S2m ? 100, 求 S3m 的值. (2)等差数列 ?an ? 中, S4 ? 1, S8 ? 4 ,求 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值.

【例 2】2009 年辽宁理科 14)等差数列 ?an ? 中, an 的前 n 项和为 Sn , ( 如果 S3 ? 9, S6 ? 36 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? .

【变式 1】 (2009 年辽宁文) 等差数列 ?an ? 中, an 的前 n 项和为 Sn , S3 ? 6, S6 ? 24, , 则 a9 ? .

【变式 2】已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 12, a4 ? a5 ? a6 ? 18, 则

a7 ? a8 ? a9 ?



【变式 3】已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An , Bn ,且

An a 7n+ 1 ? , 求 11 的值. Bn 4n ?27 b11

【例 3】等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列 各数中一定是常数的是( C. S6 ) C. S12 D. S13

B. S11

【变式 1】等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?12, a9 ? 24, 则 S9 ? ( C. -36 B.48 C.54 D.72



【变式 2】等差数列 {an } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a8 等于( A.



45 2

B.12

C.

45 4

D.6

【变式 3】在等差数列 {an } 中,若 S9

? 9, 则 a4 ? a6 ?



【类型 4】证明数列是等差数列
已知数列{an}满足 a1=2a,an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式.
n 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2 ,设 bn ?

1 a2 (n≥2) .其中 a 是不为 0 的常数,令 bn= . an ? a an?1

an , 证明 ?bn ?是等差数列. 2 n ?1

【例 3】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) , a1 ?
求证:数列 ?

1 , 2

?1? ? 是等差数列;求数列 ?an ? 的通项公式。 ? Sn ?

n 【变式 1】数列 an 中, a ? 1, an?1 ? ,判断 ? ? 是否为等差数列. 1 an ? 5 ? an ?

5a

?1?

【例 4】数列 ?an ? 中, an ? 4 ? 1) 求证 ?bn ? 是等差数列; 2) 求 ?an ? 的通项公式.

4 1 , bn ? ; an?1 an ? 2

【变式 1】已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

5 4a ? 1 , an ? n ?1 ? n ? 2? 2 an?1 ? 2

(1) 设 bn ?

1 ,求证 ?bn ? 为等差数列; an ? 1

(2) 求 ?an ? 通项;


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