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活用“两个斜率”大小关系巧解一类函数(导数)题


活 用“ 两 个 斜 率  " 大 小  关 系 巧 解 一 类 函数 ( 导数 ) 题  ■ 郭 有 春  实 行 新 课 程 以来 , 将 导 数 内容 与传 统 内 容 中 解 证 不 等 式 、   方 程 根 的分 布 、 参 数 的范 围等 问题 结 合 , 是 新 高 考 命 题 的 丰 富  再 次 , 本 题 中 的 函 数 / (   ) 一 l n J F - 等+ ( n 一 1 ) x -  可   以 看 成  — a l n x , “ > 0与  一   函数.   宝藏. 这类 题 普 遍 难 度 较 大 , 综 合性 强 , 内容 新 , 另一 方 面 作 为  这类题本身难度大 , 所 以 对考 生 的 能力 要 求 高 , 较 多 的 学 生 心  理 上畏 难 早 有 , 于是 对这 类 题 的 教学 成 为一 个 值 得探 讨 的   课题.   +/ ' 1 3  ̄ , 线 性 组 合 后 得 到 的  以 上 考 虑促 使 我 们 更 专 注 于 这 样 一 个 问题 : 形 如 本 题 的  函 数 _ 厂 (   ) 一 l n   一 等+ ( “ 一 1 ) 3 r m   3 , 其 图 像 上 任 意 两 点 的   割 线 斜 率 与 其 两 点 的 中 点 的 切 线 斜 率 是 否 有 一 定 的 大 小 关  系呢?   笔 者 以为 。 如 何 把 题 目化 “ 整” 为“ 零” , 化 综合 为 基 础 ,   最 终使 学生领 悟题 目的本 质 是 把 这 类 题 化 “ 难” 为“ 易” 的  关 键.   同时 , 较 多 的这 类 函数 题 本 身 具 有 “ 形” 的韵 味 较 重 , 若 从  “ 形” 突破 , 有 时 能 找 到解 题 的捷 径 . 本 文 中 的 一 类 函数 ( 导数 )   题正是如此.   当 笔者 解 答 了数 道 类 似 与 上 例 的 题 目时 , 验 证 了 以 上 个  想 法完 全正 确 , 证 法 也 如 出一 辙 . 也就是说 , Y—a l n x,  > 0与  —m x 。 +   , 组 合 后 得 到 的 函 数 都 具 有 以上 函 数 图 像 的 性  我 们 先 来 看 一 个 地 区 的 高 考模 拟 题 :   一 一 质: 任意两点 的割线斜率 大于其 中点的切线斜率 即   0  2   k >f   (   ) .   例 题  已知 函数 / 、 (  ) 一l a xI   +( a -1 ) x -   ( a >o )   那 么这 类 函数 这 一性 质 是 否 可 化 “ 整” 为“ 零” 呢, 也 就 是  说, “ 分解” 后 的 单 独 一 个 函 数  — l n x ,  — m   +  , 任 意 两 点  的 割线 斜率 与其 中点 的 切 线 斜 率 还 有 一 定 的大 小 关 系 吗 , 这  一 在 函数 l , (  ) 的 图 像 上 是 否 存 在 不 同 两 点 A( . 7 F 。 ,   ) , B(  z ,   Y : ) , 线 段 AB 的 中 点 的 横 坐 标 为  , 直 线 AB 的 斜 率 为  , 试  证 : 女 >_ ,   (  , ) .   猜想 又是 否正 确 呢 ?   给 出逻 辑 证 明 :   笔者直觉地感到这题应该与“ 形” 联系 , 那么联系在哪 呢?   有 什 么

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