当前位置:首页 >> 高三数学 >> 2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答

2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答


十年树木 百年树人

仁和万物 慧济天下

2011 年全国高中数学联赛山西省预赛
试题解答

一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分)
1、在集合 A = {1, 2,3,L , 2011} 中,末位数字为 1 的元素个数为
答案: 202 . 解:将集合 A = {0001, 0002,L , 2011} 中的每个数都截去其末位数字,都会得到集合 .

B = {000, 001,L ,199, 200, 201} 中的数,而 A 中形如 abc1 的数,皆可看成由 B 中的元素

abc 后面添加数字 1 而得到;故 A 中形如 abc1 的元素个数,等于 B 的元素个数,即 202 个.
x2 y 2 2、椭圆 2 + 2 = 1 的焦点为 F1 , F2 ,如果椭圆上的一点 P 使 PF1 ⊥ PF2 ,则 ?PF1 F2 5 3
的面积为 答案: 9 . .

解:易知 F1 F2 = 8 , PF1 + PF2 = 10 ,所以 ( PF1 + PF2 ) = 10 ,在直角 ?PF1 F2 中,
2 2

PF12 + PF22 = 82 ,由以上两式得, S ?PF1F2 =
3、数列 {an } 满足: a1 = 1 ,

1 PF1 ? PF2 = 9 . 2

a2 k a = 2, 2 k +1 = 3, k ≥ 1 ;则其前 100 项的和为: a2 k ?1 a2 k

S100 = 3 5


50

答案: (6 ? 1) . 解:

a2 k +1 a2 k +1 a2 k a a a = ? = 6, 2 k + 2 = 2 k + 2 ? 2 k +1 = 6 , a1 = 1, a2 = 2 ,所以, a2 k ?1 a2 k a2 k ?1 a2 k a2 k +1 a2 k

a2 k ?1 = 6 k ?1 , a2 k = 2 ? 6k ?1 , S100 = (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + L + (a99 + a100 )
50 3 = 3∑ 6k ?1 = (650 ? 1) . 5 k =1

4、若 4n + 1, 6n + 1 都是完全平方数,则正整数 n 的最小值是



www.renhuiedu.cn

400-6063618

十年树木 百年树人
答案: 20 .
2

仁和万物 慧济天下

解: 4n + 1, 6n + 1 都是奇平方数;设 6n + 1 = (2m + 1) = 4m( m + 1) + 1 ,则

3n = 2m(m + 1) ,而 m(m + 1) 为偶数,所以 4 n ,设 n = 4k ,则 4n + 1 = 16k + 1 , 6n + 1 = 24k + 1 , k = 1, 2,3, 4 时,4n + 1, 6n + 1 不同为平方数, 当 而当 k = 5 , n = 20 时, 即 4n + 1 = 81, 6n + 1 = 121 皆为平方数,因此正整数 n 的最小值是 20 .
5、函数 y = 2 x ? 5 + 11 ? 3 x 的最大值是 答案: .

65 . 24

解:令 11 ? 3 x = t ,则 6 y = 12 x ? 30 + 6 11 ? 3 x = ?4(11 ? 3 x ) + 6 11 ? 3 x + 14

65 3 167 3 ? 65 65 ? = ?4t + 6t + 14 = ? ? 2t ? ? + ≤ ,则 y ≤ ,当 t = ,即 x = 取得等号. 24 4 48 2? 4 4 ?
2

2

6、如图,单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F , G 分别是棱 AA1 , C1 D1 , D1 A1 的中点, 则点 B1 到 EFG 所在平面的距离为 .
G A1 E A D B B1 C D1 F C1

3 . 答案: 2
解一、补形法,如图,过 E , F , G 的平面截正方体,所得截面是

一个正六边形,易知该平面垂直平分正方体的对角线 B1 D ,而 B1 D = 3 , 所以 B1 到面 EFG 的距离 h = 解二:等体积法,

3 . 2

1 1 1 3 ? ? = , 4 4 8 8 1 1 1 而点 E 到平面 B1 FG 的距离 h 0 = ,所以 VEB1FG = h 0 S B1FG = . 2 3 16 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 又 EF = EA1 + A1 F = EA1 + ( A1 D1 + D1 F ) = + 1 + = ,即 EF = 6, 4 4 2 2
易知 S B1FG = 1 ? S B1 A1G ? S B1C1F ? S D1FG = 1 ?

GF = GE =

2 GE 2 + GF 2 ? EF 2 1 , cos ∠EGF = = ? , ∠EGF = 1200 , 2 2GE ? GF 2

www.renhuiedu.cn

400-6063618

十年树木 百年树人
则 S ?EGF =

仁和万物 慧济天下

1 1 GE ? GF sin1200 = 3 ,若 B1 到面 EFG 的距离为 h ,则 2 8

1 1 3 3 = VEB1FG = h ? S ?EGF = h ,所以 h = . 16 3 24 2

7、 sin 2 1300 + sin 700 cos800 =
答案:



3 . 4
2 0 0 0 2 0 0 0

解: sin 130 + sin 70 cos80 = cos 40 + sin 70 sin10

= =

1 + cos800 1 1 + sin 700 sin100 = + (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) + sin 700 sin100 2 2 2 1 1 1 1 3 + (cos 700 cos100 + sin 700 sin100 ) = + cos 600 = . 2 2 2 2 4
8 、如果四位数 abcd 的四个数码满足 a + b = c + d ,就称其为“好数” ;例如 2011 就

是一个“好数” .那么, “好数”的个数是 答案: 615 .



解:由于 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b, c, d ≤ 9 ,记 k = a + b = c + d ,则 1 ≤ k ≤ 18 . 当 1 ≤ k ≤ 9 ,则上式中的 a 可取 {1,L , k } 中的任意值, c 可取 {0,1,L , k} 中的任意值,而 当 a, c 取定后, b, d 便随之确定,因此满足 k = a + b = c + d 的四位数 abcd 有 k ( k + 1) 个; 从而满足 k ≤ 9 的四位数 abcd 共有

∑ k (k + 1) = 330 个;
k =1

9

当 10 ≤ k ≤ 18 ,由 k = a + b = c + d 知, a, b, c, d 皆不能为 0 ,令 a1 = 10 ? a, b1 = 10 ? b ,

c1 = 10 ? c, d1 = 10 ? d ,则 1 ≤ a1 , b1 , c1 , d1 ≤ 9 ,记 k1 = a1 + b1 = c1 + d1 ,则 2 ≤ k1 ≤ 10 ,
且四位数 abcd 与四位数 a1b1c1d1 一一对应.上式中的 a1 及 c1 皆可取 {1,L , k1 ? 1} 中的任意 值, 而当 a1 , c1 取定后,b1 , d1 便随之确定, 因此满足 k1 = a1 + b1 = c1 + d1 的四位数 a1b1c1d1 有

(k1 ? 1) 2 个,从而满足 2 ≤ k1 ≤ 10 的 a1b1c1d1 共有 ∑ (k1 ? 1)2 = ∑ k 2 个,即满足
k1 = 2 k =1

10

9

10 ≤ k ≤ 18 的四位数 abcd 共有 ∑ k 2 = 285 个.
k =1

9

www.renhuiedu.cn

400-6063618

十年树木 百年树人
故“好数”的个数是 330 + 285 = 615 . 二、解答题(共 3 题,合计 70 分)

仁和万物 慧济天下

9 、 20 分)三角形 ABC 三个内角的度数满足: (
求 T = cos A + cos B + cos C 的值.

A B 1 = = ; B C 3

解:设 A = θ , B = 3θ , C = 9θ ,由 θ + 3θ + 9θ = π ,得 θ =

π
13



T = cos θ + cos 3θ + cos 9θ = cos θ + cos 3θ ? cos 4θ = 2 cos θ cos 2θ ? 2 cos 2 2θ + 1 > 2 cos 2 2θ ? 2 cos 2 2θ + 1 = 1 .

T 2 = (cos θ + cos 3θ + cos 9θ )2 = cos 2 θ + cos 2 3θ + cos 2 9θ + 2 cos θ cos 3θ +2 cos θ cos 9θ + 2 cos 3θ cos 9θ = 1 + cos 2θ 1 + cos 6θ 1 + cos 8θ + + 2 2 2

+ (cos 2θ + cos 4θ ) + (cos 8θ + cos10θ ) + (cos 6θ + cos12θ ) ;
而 T = cos θ + cos 3θ + cos 9θ = ? cos12θ ? cos10θ ? cos 4θ , 所以 2T 2 ? T = 3 + 3(cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ + cos 8θ + cos10θ + cos12θ ) , 又令 P = cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ + cos 8θ + cos10θ + cos12θ , 则 P ? 2sin θ = (sin 3θ ? sin θ ) + (sin 5θ ? sin 3θ ) + (sin 7θ ? sin 5θ ) + (sin 9θ ? sin 7θ )

1 + (sin11θ ? sin 9θ ) + + (sin13θ ? sin11θ ) = ? sin θ ,所以 P = ? . 2 3 3 2 2 从而 2T ? T = 3 ? = ,即 4T ? 2T ? 3 = 0 , 2 2
由于 T > 1 ,解此方程得 T =

1 + 13 . 4

10 、 25 分) ( 如图,D, E , F 分别是 ?ABC 的边 BC , CA, AB 上的点, DE I AB = F0 , 且 EF I BC = D0 , FD I CA = E0 ;
A

证明: AD, BE , CF 三线共点, 当且仅当 D0 , E0 , F0 三点共线. 证明:据梅尼劳斯定理,D0 , E0 , F0 三点共线,
B

F

E D C D0

E0

www.renhuiedu.cn

F0

400-6063618

十年树木 百年树人
当且仅当

仁和万物 慧济天下

AE0 CD0 BF0 ? ? = 1; E0C D0 B F0 A

而据塞瓦定理, AD, BE , CF 三线共点, 当且仅当

BD CE AF ? ? = 1. DC EA FB
CD0 CE AF CE AF BD0 ? ? = 1 ,所以, = ? , EA FB D0C D0 B EA FB CE0 CD BF = ? ,由直线 F0 DE 截 ?ABC 得, E0 A DB FA
2

因直线 D0 EF 截 ?ABC ,得到

同理,由直线 E0 DF 截 ?ABC 得,

BF0 BD CE AE0 CD0 BF0 ? BD CE AF ? = ? .因此, ? ? =? ? ? ? ; F0 A DC EA E0C D0 B F0 A ? DC EA FB ?
由于该等式中的一端取值为 1 当且仅当其另一端也取值为 1 ,故结论得证. 11 、 分) 20 个巫师孤岛聚会.在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些 (25 巫师;证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其余九个巫师的诅咒. 证: 20 个巫师,共可作成 C20 个“三巫组” ,每个组至少诅咒过一人,故被诅咒过的巫 师至少有 C20 人次,设 W 是受到诅咒最多的一个巫师,他被 m 个“三巫组”诅咒过,则
3 3

m≥

3 C20 = 57 ,若这 m 个“三巫组”中,总共含有 k 个巫师,这 k 人共可作成 Ck3 个“三巫 20 3 3

组” ,因此, Ck ≥ m ≥ 57 ,注意到,当 k ≥ 3 时,组合数 Ck 严格递增; 因为 C8 = 56 < 57, C9 = 84 > 57 ,由此得 k ≥ 9 .
3 3

www.renhuiedu.cn

400-6063618


更多相关文档:

2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2011 年全国高中数学联赛江西省预赛 试 题个. 一、填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1 、 2011 是这样的一个四位数,它的各位数字之和为 4 ;像这样各位...

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。对集训很有帮助!年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 2011 年全国高中数学联赛广...

2011年全国高中数学联赛试题及答案_图文

2011年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011年全国高中...预赛命题人 员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学 大纲,体现新课标精神...

2015全国高中数学联赛山西预赛试题

2015全国高中数学联赛山西预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛山西预赛试题一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 设 M ? ?1, 2 ,...

2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1 、 ...

3. 2012年全国高中数学联赛山西预赛

预赛试题集锦(2013) 高中竞赛 2012 年全国高中数学联赛山西省预赛一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. a1 ,a2 ,a3 , ? 是一个等差数列,其中 a1 > 0...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会普及...

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 2011.5.22 第一试 一﹑填空题( 一﹑填空题...

2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案原创-新人教】

2006年全国高中数学联赛山西预赛试题答案原创-新人教】_学科竞赛_高中教育_教育专区。2006 年全国高中数学联赛山西预赛试题答案 (2006 年 9 月 2 日上午 8:...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011 年全国高中数学联赛四川省预赛试题一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) x2 y2 1、双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com