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顺义区2013届初三第一次统一练习


顺义区 2013 届初三第一次统一练习
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1. ? 3 的倒数是 A. ?
1 3

B.

1 3

C. ? 3

D.3

2.据 2013 年 4 月 1 日《CCTV—10 讲述》栏目报道,2012 年 7

月 11 日,一位 26 岁的北 京小伙樊蒙,推着坐在轮椅上的母亲,开始从北京到西双版纳的徒步旅行,圆了母亲的旅游 梦,历时 93 天,行程 3 359 公里.请把 3 359 用科学记数法表示应为
xkb1.com

A. 3 3 .5 9 ? 1 0 2

B. 3 .3 5 9 ? 1 0 4

C. 3 .3 5 9 ? 1 0 3

D. 3 3 .5 9 ? 1 0 4

3.下面四个几何体中,俯视图为四边形的是

A

B

C

D

4.我区某一周的最高气温统计如下表: 最高气温(℃) 天 A.17,17 数 13 1 15 1 17 2 18 3 则这组数据的中位数与众数分别是 ( ) C.18,17 D.18,18

B. 17,18

5.下列计算正确的是 A. a 2 ? a 3 ? a 5 B. a 2 ? a 3 ? a 6 C. ( a ) ? a
2 3 5

D. a 5 ? a 3 ? a 2

6.如图, A B ∥ C D ,点 E 在 B C 上, ? B E D ? 6 8 ? , ? D ? 3 8 ? ,则 ? B 的度数为 A. 3 0 ? B. 3 4 ? C. 3 8 ? D. 6 8 ? 7.若 x, y 为实数,且 x ? 3 ?
? y ? y ? 3 ? 0 ,则 ? ? ? x ?
2013

的值为

A E

B

A.1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2 C 8.如图, AB 为半圆的直径, 点 P 为 AB 上一动点,动点 P 从点 A 出发,沿 AB 匀速运动到点 B,运动时间为 t ,分别以 AP 和 PB 为直径作 半圆,则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为

D

A.

B.

C.
1

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: 3 a b 2
? 12ab ? 12a

=



10.袋子中装有 3 个红球和 4 个黄球,这些球除颜色外均相同.在看不到球的条件下,随机 从袋中摸出一个球,则摸出红球 的概率是_____________.

11.如图,扇形的半径为 6,圆心角 ? 为 1 2 0 ? ,用这个扇形 围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的底面半径为 .

12.如图,边长为 1 的菱形 A B C D 中, ? D A B ? 6 0 ° ,则菱形 A B C D 的 面积是 ,连结对角线 A C ,以 A C 为边作第二个菱形 A C C 1 D 1 , C2

使 ? D 1 A C ? 6 0 ° ;连结 A C 1 ,再以 A C 1 为边作第三个菱形 A C 1 C 2 D 2 ,使
? D 2 A C1 ? 60° ; ??, 按此规律所作的第 n 个菱形的面积为___________.

D2 D1 D

C1 C B 图

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: ( )
3 1
?1

? 4 s in 6 0 ? ? ( ? ? 3 .1 4 ) ?
0

12



A

? 3 x ? 1 ? 2 ( x ? 1), ? 14.解不等式组 ? x ? 3 并把解集在数轴上表示出来. ≥ 1, ? ? 2

15.已知:如图, C A 平分 ? B C D , 点 E 在 A C 上, B C ? E C , A C ? D C . D 求证: ? A ? ? D .
A E

16. 已知 a 2 ? 3 a ? 2 ? 0 , 求代数式 (

3 a ?9
2

?

1 a ?3

)?

a

2

a ?3

的值.

B C

17.如图,已知 A ( ? 2 , ? 2 ) , B ( n , 4 ) 是一次函数 y ? k x ? b 的图象和反比例函数 y ? 图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求 ? A O B 的面积.

m x



2

18.某商店销售一种旅游纪念品,3 月份的营业额为 2000 元,4 月份该商店对这 种纪念品打 8 折销售,结果销售量增加 30 件,营业额增加 800 元,求该种纪念 品 3 月份每件的销售价格是多少?

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.已知:如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E, B D ? D C , ? A B D ? 4 5 ? , ? A C D ? 3 0 ? ,
AD ? CD ? 2 3 ,求 AC 和 BD 的长 .

A E B

D

C

20. 如图, 已知 △ A B C , A C 为直径的 ? O 交 A B 于点 D , E 为 以 点

?D A

的中点,
B

连结 C E 交 A B 于点 F ,且 B F

? BC

.
E F A O D

(1)判断直线 B C 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 ?
O

的半为 2, c o s B

?

3 5

,求 C E 的长.

C

21.某课外实践小组的同学们为了解 2012 年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区 部分家庭,并将调查数据进行如下整理, 月均用水量 x (t)
0? x ? 5 5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 25 ? x ? 30

频数(户) 6
m

频率 0.12 0.24 0.32 0.20
n

频数(户)

16 12 8 4 0 5 10 15 20 25 30
月用水量

16 10 4 2

0.04

请解答以下问题: (1)表中 m ? ,n ? ; (2)把频数分布直方图补充完整; (3)求该小区用水量不超过 15t 的家庭占被调查家庭总数的百分比; (4)若该小区有 1500 户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约 有多少户?
3

22. 如图 1,在四边形 A B C D 中, A B ? C D , E 、 F 分别是 B C 、 A D 的中点,连结 E F 并延长,分别与 B A、 C D 的延长线交于点 M 、 N ,则 ? B M E ? ? C N E (不需证明) . 小明的思路是:在图 1 中,连结 B D ,取 B D 的中点 H ,连结 H E 、 H F ,根据三角形中位 线定理和平行线性质,可证得 ? B M E ? ? C N E . 问题: 如图 2, △ A B C 中, C ? A B , 点在 A C 上, B ? C D , 、 F 分别是 B C 、 A D 在 E A A D 的中点,连结 E F 并延长,与 B A 的延长线交于点 G ,若 ? E F C ? 6 0 ° ,连结 G D ,判断 △ A G D 的形状并证明.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的方程 m x ? ( 3 m ? 2 ) x ? 2 m ? 2 ? 0
2

(1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. (2)若关于 x 的二次函数 y ? m x ? ( 3 m ? 2 ) x ? 2 m ? 2 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均
2

为正整数,且 m 为整数,求抛物线的解析式.

4

24.如图 1,将三角板放在正方形 A B C D 上,使三角板的直角顶点 E 与正方形 A B C D 的顶 点 A 重合.三角板的一边交 C D 于点 F ,另一边交 C B 的延长线于点 G . (1)求证: E F ? E G ; (2) 如图 2, 移动三角板, 使顶点 E 始终在正方形 A B C D 的对角线 A C 上, 其他条件不变, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,将(2)中的“正方形 A B C D ”改为“矩形 A B C D ” ,且使三角板 的一边经 过点 B ,其他条件不变,若 A B ? a , B C ? b ,求
EF EG

的值.

5

25.如图,已知抛物线 y ? a x ? b x ? 3 与 y 轴交于点 A ,且经过 B (1, 0 )、 C (5 , 8 ) 两点,点
2

D 是抛物线顶点, E 是对称轴与直线 A C 的交点, F 与 E 关于点 D 对称.

(1)求抛物线的解析式; (2)求证: ? A F E ? ? C F E ; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P ,使 ? A F P 与 ? F D C 相似.若有,请求出所有符 合条件的点 P 的坐标;若没有,请说明理由.

y C E A

B O D x

F

6

顺义区 2013 届初三第一次统一练习 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 9
3 a (b ? 2 )
2

1 A

2 C

3 D

4 B 10
3 7

5 D 11
2

6 A

7 B 12
3 2

8 D

w

w w .x k b 1.c o m



(

3) 2

2 n ?1

三、解答题 13.解:原式= 3 ? 4 ? =2
3 2 ?1? 2 3

????????????????4 分 ?????????????????? 5 分

14. 解:解不等式 3 x ? 1 ? 2 ( x ? 1) ,得 x ? 3 . ????????????? 1 分 解不等式
x?3 2 ≥ 1 ,得 x ≥ ? 1 .

????????????? 2 分 ????????????? 4 分

∴不等式组的解集为 ? 1 ≤ x ? 3 . 在数轴上表示其解集为如图所示
?1 ≤ x ? 3
?5 ?4 ?3

?2 ?1 0 1 2 3 4 5

?????????????5 分 15.证明:∵ C A 平分 ? B C D ∴ ?ACB ? ?DCE 在?ABC 和?DEC 中
?BC ? EC ? ∵?? ACB ? ? D CE ? AC ? DC ?

?????????????????1 分

?????????????????3 分

∴ ?ABC ≌?DEC ∴?A ? ?D 16.解:原式= (
3 ( a ? 3)( a ? 3) a ( a ? 3 )( a ? 3 ) ?

????????????????? 4 分 ?????????????????5 分
a ?3 ( a ? 3)( a ? 3) )? a ?3 a
2

?????????2 分

=

?

a ?3 a
2

????? ??????????? 3 分

7

=

1 a (a ? 3)

=

1 a ? 3a
2

???? 4 分

∵ a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ∴原式=
1 2

∴ a 2 ? 3a ? 2 ??????????????????5 分
? m x

17.解: (1)将 A ( ? 2 , ? 2 ) 代入 y ∴y
? 4 x

中,得 m

? 4





?????????????????????????1 分
? 4 x

将 B ( n , 4 ) 代入 y

中,得. n ? 1

????????????2 分 中,得
? ?2k ? b ? ?2, ? ?k ? b ? 4.

将 A ( ? 2 , ? 2 ) , B (1, 4 ) 代入 y ? k x ? b
? k ? 2, ? 解得 ? b ? 2 .

???3 分



y ? 2x ? 2



?????????????????4 分

(2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C 当
x ? 0

时,

y ? 2

.∴ O C
1 2

? 2


1 2 ? 2 ? 1 ? 3 ?????????5 分

∴ S ?AOB ? S ?AOC ? S ?BOC ?

?2?2 ?

18.解:设该种纪念品 3 月份每件的销售价格为 x 元, ???????????1 分 根据题意,列方程得
2000 x ? 2000 ? 800 0 .8 x ? 30

??????????????????3 分

解之得 x ? 5 0 . ??????????????????????4 分 经检验 x ? 5 0 是所得方程的解. 答:该种纪念品 3 月份每件的销售价格是 50 元. ??????????5 分 解法二:设 3 月份销售这种纪念品 x 件,则 4 月份销售( x +30)件 ????1 分 根据题意,列方程得
4 5 ? 2000 x ? 2000 ? 800 x ? 30

?????????????????3 分

解之得 x ? 4 0 . ??????????????????4 分 经检验 x ? 4 0 是所得方程的解 答:该种纪念品 3 月份每件的销售价格是 19 解:∵ B D ? D C ∴ ? B D C ? 9 0 ? ∵ ? AC D ? 30? , A D ? C D ? 2 3 , ∴ ? D E C ? 6 0 ?, ? D A C ? ? A C D ? 3 0 ?,
2000 40 ? 5 0 (元)????5 分

8

D E ? C D ? ta n 3 0 ? ? 2

3?

3 3

? 2

∴ E C ? 2 D E ? 4 , ? A D E ? 3 0 ? ????????????????1 分 ∴ AE ? DE ? 2 ????????????????????? 2 分∴ A C ? A E ? E C ? 2 ? 4 ? 6 ??????????????????3 分 过点 A 作 A M ? B D ,垂足为 M ∵ ? AEB ? ? D EC ? 60? ∴ A M ? A E ? s in 6 0 ? ? 2 ?
1 2 ? 2
3 2 ? 3

M E?

A E o s 6? ? c 0

? ??????????????????4 分 1

∵ ? ABD ? 45? ∴ B M ? A M ? ∴ BD ? BM ? M E ? DE ? 20.⑴ B C 与⊙O 相切 证明:连接 A E ,

3

3 ?1? 2 ? 3?

3

??????????5 分

∵ A C 是 ? O 的直径 ∴ ? E ? 9 0 ? ∴ ? E A D ? ? A F E ? 9 0 ? ∵ BF ? BC ∴?BCE ? ?BFC
A 又 ∵ E 为 ? D 的中点

B E F A O C D

∴ ? E A D ? ? A C E ??????????1 分 ∴ ? BC E ? ? AC E ? 90? 即 AC ? BC 又∵ A C 是直径 ∴ B C 是 ? O 的切线 ??????????2 分 (2)∵ ? O 的半为 2∴ A C ? 4 ,∵ c o s B ?
3 5

由(1)知, ? A C B ? 9 0 ? ,∴ A B ? 5 , B C ? 3 ∴ B F ? 3 , A F ? 2 ?????????? 3 分 ∵?EAD ? ?ACE , ?E ? ?E ∴ ? A E F ∽ ? C E A ,∴ ∴ EC ? 2EA , 设 EA ? x, EC ? 2 x
4 5 5

EA EC

?

AF CA

?

1 2

??????????4 分

由勾股定理 x 2 ? 4 x 2 ? 1 6 , x ? ?

(舍负)

9

∴ CE ?

8 5

5

??????????5 分 ??????????2 分
频数(户)

21. 解: (1)表中填 m ? 1 2 ; n ? 0 .0 8 . (2)补全的图形如下图.

16 12 8 4 0 5 10 15 20 25 30
月用水量

??????????3 分 (3) 0 .1 2 ? 0 .2 4 ? 0 .3 2 ? 0 .6 8 . 即月均用水量不超过 15t 的家庭占被调查的家庭总数的 68%. ??????????4 分 (4) ( 0 .0 8 ? 0 .0 4 ) ? 1 5 0 0 ? 1 8 0 . 所以,该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有 180 户. ??????5 分 22.判断 ? A G D 是直角三角形 证明:如图连结 B D ,取 B D 的中点 H ,连结 H F 、 H E ,????????1 分 ? F 是 A D 的中点, ∴ HF ∥ AB , H F ? ∴ ?1 ? ? 3 . 同理, H E ∥ C D , H E ?
1 2 CD , 1 2 A B ,??????? 2 分

A

B

G 3 F H 1 2 E

D C

∴? 2 ? ?EFC . ∴ ? A B ? C D, H F ? H E , ∴ ? 1 ? ? 2 . ????????????????3 分 ? ? E F C ? 6 0 ° ,∴ ? 3 ? ? E F C ? ? A F G ? 6 0 ° , ∴ ? A G F 是等边三角形.????????????4 分 ? A F ? F D ,∴ G F ? F D , ∴ ? FG D ? ? FD G ? 30° ∴ ? AG D ? 90° 即 △ A G D 是直角三角形.??????????? 5 分 23. (1)证明:①当 m ? 0 时,方程为 ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 x ? 1 ,方程有实数根.?? 1 分 ②当 m ? 0 时, ? ? ? ? (3 m ? 2 ) ? ? 4 m ( 2 m ? 2 )
2

=9m 2 ? 12m ? 4 ? 8m 2 ? 8m = m 2 ? 4m ? 4

10

=(m ? 2) ? 0
2

????????????2 分

所以,方程有实数根 综①②所述,无论 m 取任何实数时,方程恒 有实数根 (2)令 y ? 0 ,则 m x ? ( 3 m ? 2 ) x ? 2 m ? 2 ? 0
2

????3 分

解关于 x 的一元二次方程 ,得 x 1 ? 1 , x 2 ? 2 ?

2 m

????????5 分

二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为正整数,且 m 为整数, 所以 m 只能取 1,2 所以抛物线的解析式为 y ? x ? 5 x ? 4 或 y ? 2 x ? 8 x ? 6 ??????7 分
2 2

24. (1)证明:∵ ? G E B ? ? B E F ? 9 0 °, ? D E F ? ? B E F ? 9 0 °, ∴ ? DEF ? ? GEB. 又∵ E D ? B E , R t △ F E D ≌ R t △ G E B . ∴ ∴ EF ? EG. ?????????????????????2 分 (2)成立. 证明: 如图, 过点 E 分别作 B C 、 C D 的垂线, 垂足分别为 H 、 I , 则 E H ? E I, ? H E I ? 9 0 ° . ∵ ? G E H ? ? H E F ? 9 0 °, ? IE F ? ? H E F ? 9 0 °, ∴ ? IE F ? ? G E H . ∴ R t △ F E I ≌ R t △ G E H . ∴ EF ? EG. ?????????????4 分 (3) 解: 如图, 过点 E 分别作 B C 、 C D 的垂线, 垂足分别为 M 、 N , 则 ? M E N ? 9 0 °,
E M ∥ A B, E N ∥ A D .



EM AB

?

CE CA

?

EN AD

.



EM EN

?

AD AB

?

a b

. ?????5 分

∴ ? G M E ? ? M E F ? 9 0 °, ? F E N ? ? M E F ? 9 0 °, ∴?M EN ? ?GEM . ∴ R t△ F E N ∽ R t△ G E M . ∴ 分 25.解: (1)将点 B (1, 0 )、 C (5 , 8 ) 代入 y ? a x ? b x ? 3 得
2

EF EG

?

EN EM

?

b a

.

?????????????7

y

N E

C

?a ? b ? 3 ? 0 ? ? 2 5 a ? 5b ? 3 ? 8 ?a ? 1 ?b ? ?4

????????1 分

A

M B

解之得 ?



O D

x

11

F

所以抛物线的解析式为 y ? x ? 4 x ? 3
2

????????2 分 (2)由(1)可得抛物线顶点 D ( 2 , ? 1)
[来源:学*科*网]

????????3 分 直线 A C 的解析式为 y ? x ? 3 由 E 是对称轴与直线 A C 的交点,则 E ( 2 , 5 ) 由 F 与 E 关于点 D 对称 ,则 F ( 2 , ? 7 ) ????????4 分 证法一: 从点 A , C 分别向对称轴作垂线 A M , C N ,交对称轴于 M , N 在 Rt?FAM 和 Rt?FC N 中
? AM F ? ? C N F ? 90 ,
0

AM MF

?

2 10

?

1 5

?

3 15

?

CN NF

所以 R t ? F A M ∽ R t ? F C N 所以 ? A F E ? ? C F E ?????????????5 分 证法二:直线 A F 的解析式为 y ? ? 5 x ? 3 点 C (5 , 8 ) 关于对称轴的对称点是 Q ( ? 1, 8 ) 将点 Q ( ? 1, 8 ) 代入 y ? ? 5 x ? 3 可知点 Q 在直线 A F 所以 ? A F E ? ? C F E (3)在 ? F D C 中,三内角不等,且 ? C D F 为钝角 10 若点 P 在点 F 下方时, 在 ? A F P 中, ? A F P 为钝角 因为 ? A F E ? ? C F E , ? A F E ? ? A F P ? 1 8 0 , ? C F E ? ? C D F ? 1 8 0
0 0

20

所以 ? A F P 和 ? C D F 不相等 所以,点 P 在点 F 下方时,两三角形不能相似 ???????? 6 分 若点 P 在点 F 上方时, 由 ? A F E ? ? C F E ,要使 ? A F P 与 ? F D C 相似
AF CF ? PF DF

只需

(点 P 在 D F 之间)或

AF DF

?

PF CF

(点 P 在 F D 的延长线上)

解得点 P 的坐标为 ( 2 , ? 3 ) 或 ( 2 , 1 9 )

???????????????8 分

www.x kb 1.
12


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