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潮州市2012~2013学年度第一学期高三级期末质量检测文科数学试卷


潮州市 2012~2013 学年度第一学期高三级期末质量检测 文科数学试卷
(考试时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的。 1、等比数列 { a n } 的首项 a1 ? 2 ,公比 q 是最小的正整数,则数列 { a n } 的前 10 项的和为 A

/>
20

B

210 ? 1

C

? 20

D

?2

2、复数 2i(i ? 1) ? 1( i 是虚数单位 ) 在复平面的对应点位于第___象限 A 一 B 二 C 三 D 四

? ? ? ? 3、已知向量 a ? ( 2,3 ) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为
A

1 2

B 2

C ?

1 2

D

?2

4、定义域为 R 的奇函数 f (x) A 没有零点 B 有且只有一个零点 C 至少一个零点
2

D 至多一个零点

5、设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数。则方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两个不相等的实数根的 概率为 A

2 3

B

1 3

C

1 2

D

5 12

6、已知 0 ? x ? y ? 1 , m ? log2 x ? log2 y ,则有 A

m?0

B

0 ? m ?1

C

1? m ? 2

D

m?2

7、已知函数 y ? f ( x) sin x 的一部分图象如右图所示,则函数 f (x) 可以是 A

2 sin x

B 2 cos x D

C ? 2 sin x
2

? 2 cos x

8、使不等式 x ? 3x ? 0 成立的必要不充分条件是 A

0? x?3

B

0? x?4

C

0? x?2

D x ? 0 ,或 x ? 3

9、设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:① x 、 y 、 z 均为直线; ② x 、 y 是直线, z 是平面;③ z 是直线, x 、 y 是平面;④ x 、 y 、 z 均为平面。

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其中使“ x ⊥ z 且 y ⊥ z ? x ∥ y ”为真命题的是 A ③ ④ B ① ③ C ② ③ D ① ②

10、已知点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所 在的直线,若直线 n 的方程为 ax ? by ? r 2 ,则 A C

m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离

B D

m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离

二、填空题: 11、输入 x=5,运行下面的程序之后得到 y 等于_____。 Input x If x<0 then y=(x+1)?(x+1) Else y=(x-1)?(x-1) End if Print y End 12、抛物线 y 2 ? ?8x 的准线方程是______。

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x ? 1 y 13、已知实数 x , y 满足 ? ,则 的最大值为_________。 ? x ?y ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
14、为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文 加密
x

密文

发送

解密 密文 明文

已知加密为 y ? a ? 2 (x 为明文、y 为密文 ) , 如果明文 3 ” “ 通过加密后得到密文为 6 ” “ , 再发送,接受方通过解密得到明文“ 3 ”,若接受方接到密文为“ 14 ”,则原发的明文 是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15、(本题满分12分) 潮州统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000, 1500) )。

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频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

(1)求居民月收入在 [3000, 3500) 的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这 10000 人中用 分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析, 则月收入在 [2500, 3000) 的这段应抽多少人? 16、(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? (1)求 f (x) 的周期; (2)求 f (x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间; (3)若 f (? ) ?

x 2

x ) , x?R。 2

? ? 2 10 , ? ? ( 0 , ) ,求 tan( 2? ? ) 的值。 2 4 5

17、(本题满分 14 分)
? 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90 , PA 垂

直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。 (1) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ;(2)求证: PB ? DM ;(3)求截面 ADMN 的面 积。

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18、(本题满分 14 分) 椭圆方程为

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,离心率 e ? 。 2 3 a b

(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 l : y ? kx ? 2 (k ? 0) 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

MP ? PN , AP ? MN ? 0 ,求 k 。
19、(本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , (1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)数列 { cn } 满足 cn ? log2 (an ? 1) (n ? N * ) ,求 Sn ? 20、(本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) , a , b ? R 。 (1)若 a ? b , ab ? 0 ,过两点 O (0, 0) 和 A( a , 0) 的中点作 x 轴的垂线交曲线 y ? f (x) 于 点 P( x0 , f ( x0 ) ) ,求证:曲线 y ? f (x) 在点 P 处的切线 l 过点 ( b , 0 ) ;
2 (2)若 b ? a ? 0 ,当 x ? [ 0 , | a | ] 时 f ( x) ? 2 a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? an?1 ? an 。 bn

1 1 1 。 ? ??? c1c3 c3c5 c2 n?1c2 n?1

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潮州市 2012~2013 学年度第一学期高三级期末质量检测 文科数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 提示: 1、等比数列 { a n } 的公比 q ? 1 ,故数列 { a n } 为各项为 2 的常数列; 2、 2i(i ? 1) ? 1 ? 2i 2 ? 2i ? 1 ? ?1 ? 2i 在复平面的对应点的坐标为 (?1, 2) ; 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B 9 C 10 A

) 4 ) ?( 3、 ? 4b ? (2m ? 4 , 3m ? 8) , ? 2b ? (4, ?1) , ?2 m4 3 ? 8 0m ? 由 ( ma a
4、利用有关概念判断,或举 f ( x) ? sin x 去验证;

?

?

?

?

? , m ? ?2 得

5、由方程 x ? ax ? 2 ? 0 有两个不相等的实数根,得 a ? 8 ? 0 ,故 a ? 3 , 4 , 5 , 6 ;
2 2

6、由 0 ? x ? y ? 1 ,得 0 ? xy ? 1 ,故 m ? log2 x ? log2 y ? log2 xy ? log2 1 ? 0 ; 7、代入验证, f ( x) ? ?2cos x 时, y ? f ( x)sin x ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x 符合图象;
2 8、由 x ? 3x ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 ,要找的是 0 ? x ? 3 的必要不充分条件;

9、直接根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选;
2 2 b 10、 由点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : ? y ? r 内一点, a 2 ? b 2 ? | r | , a ? 得 即 x2
2 2

r2 ?



直线 OP 的斜率为 k1 ? 斜率是 k ? ?

b 1 a , 故直线 m 的斜率 k ? ? ? ? , 又直线 n :ax ? by ? r 2 的 a k1 b

a 2 ,故 m ∥ n ,另一方面,圆心 O 到直线 n : ax ? by ? r 的距离为 b

d?

| ?r 2 | a 2 ? b2

?

r2 ?| r | ,故 n 与圆 O 相离。 |r|

二、填空题:(每题 5 分,共 20 分) 11、 16 ; 12、 x ? 2 ; 13、 2 ; 14、“ 4 ” 。 提示:11、程序对应的函数是 y ? ?

?( x ? 1) 2 , x ? 0 , ? 由 x ? 5 ,得 y ? 16 ; 2 ?( x ? 1) , x ? 0. ?

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?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x ? 1 y y?0 13、画出不等式组 ? 对应的平面区域 ? , ? 表示的平面区域 ? 上的 ? x x?0 y?0 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
点 P( x, y) 与原点的连线的斜率。
3 14、依题意 y ? a x ? 2 中,当 x ? 3 时, y ? 6 ,故 6 ? a ? 2 ,解得 a ? 2 ,所以加密为

y ? 2x ? 2 ,因此,当 y ? 14 时,由 14 ? 2 x ? 2 ,解得 x ? 4 。
三、解答题:(满分80分) 15、(本题满分12分)

) 解:(1)月收入在 [3000, 3500) 的频率为 0.0003? (3500? 3000 ? 0.15 。 ? 2 分 ) ) (2)? 0.0002? (1500? 1000 ? 0.1 , 0.0004? (2000? 1500 ? 0.2 , 0.0005? (2500? 2000 ? 0.25 , 0.1 ? 0.2 ? 0.25 ? 0.55 ? 0.5 )
??? 6 分(每个算式各得 1 分) 所以,样本数据的中位数为 2000 ?

0.5 ? (0.1 ? 0.2) ? 2000 ? 400 ? 2400 (元); 0.0005
???? 8 分

) (3)居民月收入在 [2500, 3000) 的频率为 0.0005? (3000? 2500 ? 0.25 ,
所以 10000 人中月收入在 [2500, 3000) 的人数为 0.25 ? 10000 ? 2500 (人), 再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在 [2500, 3000) 的应该抽取

100 ?

2500 ? 25 人。 10000

???? 12 分

16、(本题满分 12 分)

x x x x x ? ? cos ? 2 sin ( ? ) 2 2 2 2 2 4 2? ???? 4 分 ? f (x) 的周期 T ? ? 4? 1 2 ? x ? 3 (2)由 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 2 2 4 2 ? 5 得 ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z 。 2 2
解:(1) f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? ) ? sin 又 x ?[ 0 , ? ) ,

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令 k ? 0 ,得

?
2

?x?

5 7? 3 ? ;令 k ? ?1 ,得 ? ? x ? ? ? (舍去) 2 2 2

∴ f (x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间是 [ (3)由 f (? ) ?

?

2

,? )。

???? 8 分

? ? 2 10 2 10 ,得 sin ? cos ? , 2 2 5 5
8 3 ,∴ sin ? ? 5 5

∴ 1 ? sin ? ? 又? ? ( 0 ,

?
2

) ,∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

9 4 ? , 25 5

∴ tan ? ?

sin ? 3 ? ,∴ tan2? cos ? 4

∴ tan( 2? ?

?
4

)?

tan2? ? tan

?
4

1 ? tan2? tan

?
4

3 2 tan? 4 ? 24 , ? ? 2 9 7 1 ? tan ? 1? 16 24 ?1 31 ???? 12 分 ? 7 ?? 。 24 17 1? 7 2?

17、(本题满分 14 分) (1)解:由 AD ? AB ? 2 BC ? 2 ,得底面直角梯形 ABCD 的面积

BC ? AD 1? 2 ? AB ? ?2 ? 3, 2 2 由 PA ? 底面 ABCD ,得四棱锥 P ? ABCD 的高 h ? PA ? 2 , 1 1 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ? Sh ? ? 3 ? 2 ? 2 。 ?? 4 分 3 3 (2)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 。 ?? 5 分 S?

由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD ,
? 又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,

???? 6 分

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB , ???? 8 分 ? PB ? 平面 ADMN , ???? 10 分 ? PB ? DM 。

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(3)由 M , N 分别为 PC , PB 的中点,得 MN // BC ,且 MN ? 又 AD // BC ,故 MN // AD ,

1 1 BC ? , 2 2

由(2)得 AD ? 平面 PAB ,又 AN ? 平面 PAB ,故 AD ? AN , ? 四边形 ADMN 是直角梯形, 在 Rt ?PAB 中, PB ?

PA2 ? AB2 ? 2 2 , AN ?

1 PB ? 2 , 2

1 1 1 5 2 。 ?? 14 分 ? 截面 ADMN 的面积 S ? (MN ? AD) ? AN ? ( ? 2) ? 2 ? 2 2 2 4
18、(本题满分 14 分)

?b ? 2 ? 解:(1)设 c ? a 2 ? b 2 ,依题意得 ? c ?e ? ? a ?
即?

a2 ? b2 6 ? a 3
?? 4 分

?b ? 2
2 2 2 ?6a ? 9a ? 9b

x2 y2 ? ? 1。 ∴ a ? 3b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2

?? 5 分

(2) ? MP ? PN , AP ? MN ? 0 ∴ AP ? MN ,且点 P 线段 MN 的中点,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 y2 ? ?1 ? ?12 4
即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0 (*)
2 2

???? 7 分

2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144k ? 0 ,显然方程(*)有两个不相等的实数

根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

??? 8 分

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
??? 10 分

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ∴ y 0 ? kx0 ? 2 ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

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?2 ?2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3k 2 ,?? 11 分 ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 MN ? AP ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 ,?? 13 分 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 ,?? 14 分 3

19、(本题满分 14 分) 解:(1)?

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) ,又 b1 ? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 。 bn

所以数列 { bn } 是首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列。故 bn ? b1qn?1 ? 2n 。?? 4 分 (2) an?1 ? an ? 2n (n ? N * )

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2 n?1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 2 n ? 1 。???? 8 分 1? 2
*

(3) cn ? log2 (an ? 1) ? log2 (2n ? 1 ? 1) ? log2 2n ? n , (n ? N ) ,

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) c2 n?1c2 n?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ??? c1c3 c3c5 c2 n?1c2 n?1

? Sn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
20、(本题满分 14 分)

a a a a a2 a (b ? ) , 解:(1)由已知得 x 0 ? , f ( x0 ) ? ? (? ) ? ( ? b) ? 2 2 2 2 4 2
即 P(

a a2 a , (b ? ) ) , 2 4 2

???? 1 分。

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由 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ? x3 ? (a ? b) x 2 ? abx ,得 f / ( x) ? 3x2 ? 2(a ? b) x ? ab ,

a a a a2 ? 曲线 y ? f (x) 在点 P 处的切线 l 的斜率 k ? f / ( ) ? 3( )2 ? 2(a ? b) ? ? ab ? ? , 2 2 2 4
方程为 y ?

a2 a a2 a (b ? ) ? ? ( x ? ) , 4 2 4 2

???? 4 分

a2 a a2 a a2 a a2 a (b ? ) ? ? (b ? ) ,故 y ? (b ? ) ? (b ? ) ? 0 , 当 x ? b 时, y ? 4 2 4 2 4 2 4 2
所以点 ( b , 0 ) 在切线 l 上,即曲线 y ? f (x) 在点 P 处的切线 l 过点 ( b , 0 ) 。?? 6 分 (2)当 b ? a 时, f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? a2 x , f / ( x) ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,
/ 由 f ( x) ? 0 ,即 3x ? 4ax ? a ? 0 ,解得 x ?
2 2

a ,或 x ? a 。 3
???? 7 分

? a ? 0 ,故
当a ?

a ?a 3

a a / ,即 a ? 0 时,在 x ? ( , ? ?) 上 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 3 3

故 f ( x ) 在 [ 0 , | a | ] 上单调递增,所以当 x ? | a | 时, f ( x ) 取得最大值

f (| a |) ?| a |3 ?2a3 ? a2 | a |? ?a3 ? 2a3 ? a3 ? ?4a3
1 1 ,此时 ? ? a ? 0 ; ???? 9 分 2 2 a a / 当 a ? ,即 a ? 0 时, | a |? a ,在 x ? ( 0 , ) 上 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 3 3 a a / 在 x ? ( , a ) 上 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,所以当 x ? 时, f ( x ) 取得极大值,也是 3 3 a a 3 a 2 a 4 3 2 a , 最大值,最大值为 f ( ) ? ( ) ? 2a ? ( ) ? a ? ? 3 3 3 3 27 4 3 27 27 a ? 2a 2 ,解得 a ? 依题意得 ,此时 0 ? a ? 。 ???? 13 分 27 2 2 1 27 )。 综上所述得实数 a 的取值范围为 ( ? , 0 ) ? (0 , ???? 14 分 2 2
依题意得 ?4a ? 2a ,解得 a ? ?
3 2

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