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惠州一中、深圳高级中学2012届高一下学期期末联考(文数)


惠州一中、深圳高级中学 2012 届高一下学期期末联考 文科数学
满分 150 分.时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上.

一、

选择题:

(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1. 若 ( )

sin ? ? 0



tan ? ? 0







?



A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

2. 如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的直角边长均为 1,那么几何体的体 积为( )

正视图(或主视图) A.1 B.

侧视图(或左视图) C.

俯视图

1 2

1 3

D.

1 6

? ? ? ? 0 3. 已 知 单 位 向 量 i, j 的 夹 角 为 60 , 则 2 j ? i 与
( ) B.垂直 C.平行 D.共线

? i 的 关 系 是

A.相等

4. 将函数 y ? 3 sin? 2 x ? 程是( ) A. x ?

? ?

??

? ? 的图象向左平移 个单位后,所得到的图象一条对称轴的方 4 4?

?
2

B. x ?

?
4

C. x ? ?

?
8

D. x ? ?

3? 8

?y ?1 ? 5. 已 知 实 数 x, y 满 足 ? y ? 2 x ? 1 , 则 目 标 函 数 z ? x ? y 的 最 小 值 为 ?x ? y ? 5 ?

(

) A.-2 B.-1 C.0 D.3

6. 设 m 、 n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m? ? , n / /? ,则 m ? n ; ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n ; 其 ( ) A.①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 中 正 确 命 ②若 ? / / ? , ? / /? , m? ? ,则 m?? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? . 题 的 序 号 是

7. 直 线 : x ? 2 y ? 1 ? 0 关 于 直 线 : x ? 1 的 对 称 直 线 的 方 程 是 ( )

x A. ? 2 y ? 1 ? 0

2 B. x ? y ? 1 ? 0

2 C. x ? y ? 3 ? 0

x D. ? 2 y ? 3 ? 0
ax ? b ? 0 的解集为 x?2

8. 关于 x 的不等式 a x ? b ? 0 的解集为 ?1, ? ? ? ,则关于 x 的不等式 ( ) B .

A. ? ?1, 2?

? ??,

?1? ? ? 2, ? ??

C



?1, 2?

D. ? ??, ? 2? ? ?1, ? ??
? ? ?? 2 9. 已知 ? , ? ? ? - , ? ,且 tana, tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,则 ? ? ? 等于 ? 2 2?





A. ?

2? 3

B.

? 3

C.

? 3

或?

2? 3

D. ?

?
3



2? 3
( )

10. 已知等差数列 ?an ? 中,a3 ? a9 , 公差 d ? 0 , n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 S A. S10 ? 0 B. S5 ? S6 C. S5 ? S6 D. S5 ? S6

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知等比数列 ?an ? 的公比是 2 , a3 ? 3 ,则 a5 = .

???? ?? ? ? ???? ?? ? ? 12. 在 ?ABC 中,BC ? 3BD, AB ? e1 , AC ? e2 ,

则 AD =

????

?? ?? ? ? (用 e1 、e2 表示).

13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是



14. 若直线 2a x ? by ? 2 ? 0( a ? 0 , b ? 0 )被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则

1 1 ? 的最小值为 a b



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 15. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的周期和最大值; (Ⅱ)已知 f

? ?

??

?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 4 6? 6? ?

?? ? ? 5 ,求 tan ? 的值.

16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知向量

?? A A m ? ( 2 cos , sin ) , 2 2
(1) 求 cos A 的值;

? ? A A ? ?? ? n ? ? cos , ? 2sin ? , m ? n ? ?1 . 2 2? ?

(2) 若 a ? 2 3 , b ? 2 , 求 c 的值.

17. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 .

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x)≥3x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x)≤0 的解集为 ?x | x≤?1} ,求 a 的值.

18. (本小题满分 14 分) 如图, 四面体 ABCD 中, E 分别是 BD、 的中点, O、 BC CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= 2 . (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求几何体 E ? ACD 的体积.
D O B E C A

19. (本小题满分 14 分) (1) 已知圆 C : 2 ? y 2 ? 4 . 直线 l 过点 P ?1,2? , 且与圆 C 交于 A 、 两点, | AB |? 2 3 , 若 x B 求直线 l 的方程; (2) 已知圆 M :x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 圆心在第二象限,
2 2

半径为 2 ,求圆 M 的方程.

20. (本小题满分 14 分)已知数列 an ? 是首项 a1 ?

?

1 的等比数列, 其前 n 项和 Sn 中, 3 、 4 、 S S 4

S2 成等差数列.

(1)求数列 an ? 的通项公式; (2) bn ? lg 设 o
1 2
* 记数列 ?bn ? bn?1? 的前 n 项和为 Tn , Tn ≤ ?bn ?1 对一切 n ? N 恒 若 an ,

?

成立,求实数 ? 的最小值.

参考答案
一.选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B A D B A D 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.12 三、解答题

12.

? 2 ?? 1 ?? e1 ? e2 3 3
?
6

13.

3?

14.

4

15.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2sin 2 x cos

? cos 2 x ? 4

= 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 ? 2sin ? 2 x ? ∴周期为 分 (Ⅱ)由 f

? ?

??

??4. 6?

……………4 分

2? ? ? , 最大值为 6 . 2

…………………………………… 6

?? ? ? 5 ,得∴

3sin 2? ? cos 2? ? 1 ,

……………………… 8 分

即 3sin 2? ? 1 ? cos 2? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ? . ∴ tan ? ? 0或 tan ? ? 3 . 16. (1) 解: ∵ m ? ? 2cos ∴ 2 cos 分 ∴ cos A ? ?
2

…………………………………………… 12 分

??

? ?

A A? ? ? A A ? ?? ? ,sin ? , n ? ? cos , ?2sin ? , m ? n ? ?1 , 2 2? 2 2? ?
……………………………2

A A ? 2sin 2 ? ?1 . 2 2 1 . 2 1 ,且 0 ? A ? ? , 2

……………………………………4 分 ∴ A?

(2)解: 由(1)知 cos A ? ? ∵a ? 2 3 ,b ? 2 ,

2? . 3

………………6 分

由正弦定理得

a b 1 2 3 2 ? ? ,即 , ∴ sin B ? . 2? sin B sin A sin B 2 sin 3

………………8



∵ 0 ? B ? ?, B ? A , 分 ∴C ? ? ? A? B ?

∴B ?

?
6



………………………………11

?
6

.∴ c ? b ? 2 .

……………13 分

17 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .
…………………………6 分

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} .

( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得: x ? a ? 3x ? 0 ,此不等式化为不等式组:

?x ? a ?x ? a , 或? ? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? 即 ? a ?x ? 4 ? ?x ? a ? ,或 ? a ?a ? ? 2 ?
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式的解集为 ? x | x ≤ ? } . 由题设可得 ? 分 18 解: (1)证明:连结 OC

a = ?1 , a ? 2 . 故 2

………………………………13

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.


………………………………………

2

? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,
…………… 5 分

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
又 AO ? BD,BD ? OC ? O,

? AO ? 平面 BCD

…………………………… 7 分

(2)解: ?VE ? ACD ? VA?CDE , 在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 3 2 3 而 AO ? 1, S?CDE ? ? ?2 ? , ……12 分 2 4 2

?VE ? ACD ? VA? ECD ?

1 3 AO.S?CDE ?? . 3 6

………………………………



4分 19 解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 ,l 与圆的两个交点坐标为

?1, 3 ?
意;



?1, ? 3 ?











2 3









…………………………………… 2 分 ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 . ∴1 ? 分 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 7分 ……………………

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,解得: k ?

3 .故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 …………… 6 4

? D E? ,? ?. 2? ? 2 ? D E? ∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,∴点 ? ? , ? ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 2? ? 2
(2)由 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 ? ?
2 2 且 D ? E ? 12 ? 2 ② 4 又∵圆心 C 在第二象限,∴ D ? 0, E ? 0 ,由①②解得 D=2,E=-4,

即 D+E=―2, ①

… ………… 10 分

∴所求圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 分 20.解: (1)若 q ? 1 ,则 S3 ? ∴ q ? 1. 故由 S3 , S4 , S2 成等差数列得: 2 ? 3分 ∴ 2q ? q ? q
4 3 2

……………………………… 14

3 1 ,S 4 ? 1, S 2 ? , S3 , S4 , S2 不构成等差数列, 显然 4 2

a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 2 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

…………

? 2q2 ? q ?1 ? 0 ? (2q ? 1)(q ? 1) ? 0 ,
1 . 2
……………………… 5分 ……………………………………

∵ q ? 1 ,∴ q ? ? ∴ an ? 7分

1 1 1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 4 2 2

(2) bn ? log 1 an ? log 1 (? ) ∵
2 2

1 2

n ?1

? n ?1

……………………………………

9分 ∴

1 1 1 1 ? ? ? , bnbn?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = ( ? ) ? ( ? ) ? ?????? ? ( ? ?? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1 1 1 n . ……………………………… 12分 ? ? ? 2 n ? 2 2(n ? 2) n 由 Tn ≤ ?bn ?1 , 得 ≤ ? (n ? 2) . 2(n ? 2) ? ? n n 即? ≥ 对一切恒成立.所以 ? ≥ ? . 2 2 ? 2(n ? 2) ? 2(n ? 2) ?max
∴ Tn = 又

1 1 n 1 ≤ ,且当 n=2时取等号,所以 ? ? 2 4 2(4 ? 4) 16 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) n

? ? n 1 ? . ? 2 ? ? 2(n ? 2) ?max 16
所以 ? ≥

1 1 ,故 ? 的最小值为 . 16 16

…………………… 14 分


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