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数学奥林匹克高中训练题(17)及答案


数学奥林匹克高中训练题(17)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 22)集合 {n | ?

1 1 ? log 1 2 ? ? , n ? N } 的真子集的个数是(A). 2 3 n

(A) 7 (B)8 (C)31 (D)32 2. (训练题 22)从 1 到 9 这九个自然

数中任取两个, 分别作为对数的真数和底数, 共得不同的对数值(B). (A) 52 个 (B) 53 个 (C) 57 个 (D) 72 个 3.(训练题 22)空间有四张不同的平面,则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C). (A) {1, 2,3, 4,5,6} (B) {0,1, 2,3, 4,5,6} (C) {0,1,3, 4,5,6} (D) {0,1, 2,3,5,6}

4. (训练题 22) 函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 的定义域及值域都是 R , 且都存在反函数, y ? f ?1 ( g ?1 ( f ( x))) 则 的反函数是(B). (A) y ? f ( g ( f ?1 ( x))) (B) y ? f ?1 ( g ( f ( x))) (C) y ? f ?1 ( g ?1 ( f ( x))) (D) y ? f ( g ?1 ( f ?1 ( x))) 5.(训练题 22) 若 ? ? cos 40 ? sin 40 ,则 ? ? 2? ? 3? ? ? ? 9?
o o

2

3

9 ?1

等于(D). (D)

(A)

1 cos 20o 18

(B)

1 sin 40 o 9

(C)

1 cos 40 o 9

2 sin 20 o 9

6.(训练题 22) 当 0 ? x ? 1 时,

sin x sin x 2 sin x 2 ,( ) , 2 的大小关系是(B). x x x
sin x 2 sin x sin x 2 ) ? ? 2 (B) ( x x x
(D)

sin x sin x 2 sin x 2 ?( ) ? 2 (A) x x x
(C)

sin x 2 sin x sin x 2 ? ?( ) x2 x x
1 2

sin x 2 sin x 2 sin x ?( ) ? 2 x x x

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
2 ?1 ?1 ?1 1. (训练题 22) 已知 f ( x) ? x , g ( x) ? ? x ? 5, g ( x) 表示 g (x) 的反函数, F ( x) ? f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) . 设 则

F ( x) 的最小值是

70 3



2.(训练题 22) 在 1000 和 9999 之间由四个不同数字组成,且个位数字与千位数字之差的绝对值是 2 的整数共有 840 个.

3.(训练题 22) 四面体 P ? ABC 中, PC ? 面ABC, AB ? 8, BC ? 6, PC ? 9, ?ABC ? 120o ,则二面 角 B ? AP ? C 的余弦值是

11 111 148



4.(训练题 22) 设 P ? {不少于3的自然数} ,在 P 上定义函数 f 如下:若 n ? P, f (n) 表示不是 n 的 约数的最小自然数,则 f (360360) ? 16 .

5.(训练题 22) n 为不超过 1996 的正整数,如果有一个 ? ,使 (sin? ? i cos? )n ? sin n? ? i cos n? 成 立,则满足上述条件的 n 值共有 498 个. 6.(训练题 22)在自然数列中由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染 1;再染两个偶数 2,4; 再染 4 后最邻近的三个连续奇数 5,7,9;再染 9 后最邻近的四个连续偶数 10,12,14,16;再染此 后最邻近的五个连续奇数 17,19,21,23,25,按此规则一直染下去,得一红色子列 1,2,4,5,7, 9,10,12,14,16,17,?,则红色子列中由 1 开始数起的第 1996 个数是 3929 .

第二试
一、(训练题 22)(本题满分 25 分) 点 M 是正三角形内一点,证明:由线段 MA, MB 和 MC 为边组成 的三角形面积不超过原正三角形面积的

1 . 3 9 5

二、(训练题 22)(本题满分 25 分) 若 2 x ? y ? 1 ,试求函数 u ? y 2 ? 2 y ? x 2 ? 4x 的最小值. ?

三、(训练题 22)(本题满分 35 分) 证明:从任意四个正整数中一定可以选出两个数 x 和 y ,使得如下 不等式成立 0 ?

x? y ? 2? 3 . 1 ? x ? y ? 2 xy

四、(训练题 22)(本题满分 35 分)连结圆周上九个不同点的 36 条弦要么染成红色,要么染成蓝色,我 们称它们为“红边”或“蓝边” ,假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边” ,证明: 这九个点中存在四个点,两两连结的六条边都是红边.


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