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云南省云天化中学2016-2017学年高二下学期阶段测试(一)数学(文科)试卷


云天化中学 2016—2017 学年度下学期阶段测试(一)

高二年级文科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A ? ??2, ?1, 0,1, 2? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,则 A ? B ? ( A. ?0,1? B. ??1, 0? C. ??1, 0,1? D. ?0,1, 2? )

?

?



(2)已知向量 a ? (2 x ? 1,3) , b ? (2 ? x,1) ,若 a / / b ,则实数 x 的值是( A. ?

?

?

?

?

1 6
2 n

B.

1 6


C.-1

D. 1

(3)设命题 p : ?n ? N , n ? 2 ,则 ?p 为( A. ?n ? N , n ? 2
2 n

B. ?n ? N , n ? 2
2

n
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C. ?n ? N , n ? 2
2

n

D. ?n ? N , n ? 2
2

n

(4)设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件 )

(5)已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 B.42 C.63 D.84

(6)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C. 若 m / / n, m ? ? ,则 n ? ? (7)已知函数 f ( x) ? ? B. 若 m / /? , n / / ? ,则 ? / / ? D. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? ,则 f ( f (



?log 2 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

1 )) 的值是( 2
C.



A.

2

B. ? 2

2 2

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D. ?

2 2

(8)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于两点,则弦的长度等于(
2 2



A. 2 5

B. 2 3

C. 3

D.1

?? (10)已知函数 f ? x ? ? sin ? ? ? x ? ? ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,为了得 8? ?
到函数 g ? x ? ? cos ? x 的图象,只 要将 y ? f ? x ? 的图象( A.向左平移 度 C.向左平移 度 (11)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) ,且点 C 与点 D 在函 ) B.向右平移

3? 个单位长度 4 3? 个单位长度 16

3? 个单位长 4 3? 个单位长 16

D.向右平移

? x ? 1, x ? 0, ? 数 f ( x) ? ? 1 的图像上 . 若在矩形 ABCD 内随机取一点 , ? x ? 1, x ? 0, ? ? 2
则此 点取自阴影部分的概率等于 ( A. ) C.

y
D C

x
3 8
D.

1 6
2

B.

1 4

1 2

A

O

B

(12)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F , a 2 b2


点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( A. D. 2 ? 1

2?2

B. 5 ? 1

C. 3 ? 1

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? y ? 0, ? (13)已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 最大值是___________. ? x ? 0, ?
(14)执行如图所示的程序框图,则输出的 i ? ___________. ( 15 )已知双曲线过点 4, 3 , 且渐近线方程为 y ? ? 为___________. (16)若曲线 y ? 1 ? x 和直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 有两个公共点,则实数 k 的取值范围
2

?

?

1 x 则该双曲线的标准方程 2

是___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,且 b2 ? 3, b3 ? 9, a1 ? b1 , a14 ? b4 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

(18)(本小题满分 12 分)

已 知 A、B、C 为 ?ABC 的 三 内 角 , 且 其 对 边 分 别 为 a、b、c , 若

cos B cos C ? sin B sin C ?
(Ⅰ)求 A ;

1 . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

(19)(本小 题满分 12 分)
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如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 5 , BB1 ? BC ? 6 , D , E 分别 是 AA1 和 B1C 的中点.

(1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

(20) (本小题满分 12 分) 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市 18~68 岁的人群抽取 一 个 容 量 为

n 的 样 本 , 并 将 样 本 数 据 分 成 五 组 :
, ,再将其按从左到右的顺序分别编号为第 1

28? 、 38? 、 、 48 、 58 、 68 ?、 ?、 ? ?18、 ? 28、 ? 38 ? 48 ? 58

组,第 2 组,?,第 5 组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后, 结果如下表所示.

(Ⅰ)分别求出 a , x 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各 抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的 人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

(21)(本小题满分 12 分)

WWW.ziyuanku.co m

已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P (?3, 3) . (Ⅰ)求 sin 2? ? tan ? 的值; ( Ⅱ ) 若 函 数

f ( x) ? cos ? x ? ? ? cos ? ? sin ? x ? ? ? sin ?

,







? ? 2? ? y ? 3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x )在区间 ?0, ? 上的值域. 2 ? 3 ?

(22) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2, 0) ,离心率为 ,直线 y ? k ( x ? 1) a b 2
与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ?AMN 的面积为

10 时,求 k 的值. 3

云天化中学 2016— 2017 学年度下学期阶段测试(一)

高二年级文科数学试卷答案
一、选择题:

题号 选项

1 A

2 D

3 C

4 B

5 B

6 C

7 C

8 B

9 A

10 C

11 B

12 D

1. 解析:因为 B ? ??1 ? x ? 2? ,所以 A ? B ? ?0,1? ,故选 A. 2. 解析:因为 a / / b ,所以 2 x ? 1 ? 3 ? 2 ? x ? ? 0 ,所以 x ? 1 ,故选 D. 3. 解析:由特称命题的否定,故选 C. 4. 解析:由 a ? b ? 4 不能推出 a ? 2 且 b ? 2 ,由 a ? 2 且 b ? 2 能推出 a ? b ? 4 ,所以

?

?

a ? b ? 4 是 a ? 2 且 b ? 2 的必要而不充分条件。故选 B.
5. 解析:因为 a1 ? a1q 2 ? a1q 4 ? 21 ,所以 q 2 ? 2 ,所以 a3 ? a5 ? a7 ? 42.故选 B. 6. 解析:由点线面的位置关系中的平行垂直关系,故选 C. 7. 解析:因为 f (

1 1 ) ? ? ,所以 2 2

2 ? 1? ,故选 C. f ?? ? ? 2 ? 2?

8. 解析:因为圆心距 d ? 1 ,所以弦长 ? 2 4 ? 1 ? 2 3 ,故选 B. 9. 解析:因为等边三角形的边长为 4,所以正三棱柱的高为 3,所以三棱住的侧视图的面 积为 6 3 ,故选 A. 10. 解析:由题知 ? ? 2 ,所以 g ? x ? ? cos 2 x ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3? ? ? ? ,所 ? ? sin ? 2 ? x ? ?? 2? 16 ? 8 ? ? ? ?
3? 个单位长度,故选 C. 16
3 2

以为了得到函数 g ? x ? 的图象要将 y ? f ? x ? 的图象向左平移

11. 解析:因为 C ?1, 2 ? , D ? ?2, 2 ? ,所以矩形 ABCD 的面积为 6,阴影部分的面积为 ,所以若 在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ,故选 B.
1 4

x y p 12. 解析:因为 ? c ,所以 A ? c, 2c ? 代入双曲线 2 ? 2 ? 1 ,整理可得 c 4 ? 6a 2 c 2 ? a 4 ? 0 , 2 a b
即 e 4 ? 6e 2 ? 1 ? 0 ,所以 e 2 ? 3 ? 2 2 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,所以 e ? 2 ? 1 ,故选 D. 二、填空题: 13. 2
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2

2

14.

4

15.

x2 ? y2 ? 1 4

16.

? 1? ? 0, ? ? 2?

?1 1? 13.解析:因为可行域为三角形, 0 ? 0, 0 ? , A ? 0,1? , B ? , ? ,所以将点 A 代入 z ? x ? 2 y 最大值 ?2 2?

是 2,故填 2. 14.
i ? 0, a ? 1, a ? 50;




i ? 1, a ? 1? 1 ? 1 ? 2, a ? 50;







i ? 2, a ? 2 ? 2 ? 1 ? 5, a ? 50;

则输出的 i ? 4. i ? 3, a ? 3 ? 5 ? 1 ? 16, a ? 50; i ? 4, a ? 4 ? 16 ? 1 ? 65, a ? 50. 所以执行此程序框图, 故填 4. 15.解析:由题知,设该双曲线的标准方程为 方程为
x2 ? y 2 ? ? ,将点 4

? 4, 3 ? 代入该双曲线的标准

x2 x2 ? y 2 ? ? ,可得 ? ? 1 ,所以该双曲线的标准方程为 ? y 2 ? 1 . 4 4
2

16. 解析: 曲线 y ? 1 ? x 的图象为单位圆的上半圆, 直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 的图象为过定点

?1,1? ,将点 ? ?1, 0 ? 代入直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 得 k ?

1 ,当直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 的斜率 k ? 0 与 2
2

单位圆的上半圆恰有 1 个交点, 故曲线 y ? 1 ? x 和直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 有两个公共点,则 实数 k 的取值 三、解答题: 17. 解:(1)等比数列 ?bn ? 的公比 q ? 设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a1 ? b1 ? 1, a14 ? b4 ? 27 ,所以 1 ? 13d ? 27 ,即 d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 .-------5 分 (2)由(1)知, an ? 2n ? 1, bn ? 3n ?1 ,因此 cn ? an ? bn ? 2n ? 1 ? 3n ?1 从而数列 ?cn ? 的前 n 项和 范围是 ? 0, ? ,故填 ? 0, ? . 2 2

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? ?

1? ?

? ?

1? ?

b b3 ? 3 ,所以 b1 ? 2 ? 1, b4 ? b3q ? 27 , b2 q

S n ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 n(1 ? 2n ? 1) 1 ? 3n ? 2 1? 3 n 3 ?1 ? n2 ? 2 ?
--------------10 分

18. 解: (1)∵ cos B cos C ? sin B sin C ?

1 , 2

1 ? ,又∵ 0 ? B ? C ? ? ,∴ B ? C ? . 2 3 2? ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ A ? .--------6 分 3
∴ cos( B ? C ) ? (2)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , 得 (2 3) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos ∴ S ?ABC ?

2? 1 ,即 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? ( ? ) ,∴ bc ? 4 , 3 2

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 ---------12 分 2 2 2

19. (1)证明:取 BC 的中点 G ,连接 AG , EG , 因为 E 是 B1C 的中点, 所以 EG / / BB1 ,且 EG ?

1 BB1 , 2

由直棱柱知, AA1 / / BB1 ,且 AA1 ? BB1 ,而 D 是 AA1 的中点, 所以 EG / / AD 且 EG ? AD ,-------4 分 所以四边形 EGAD 是平行四边形,所以 DE / / AG , 又 DE ? 平面 ABC , AG ? 平面 ABC , 所以 DE / / 平面 ABC .-------6 分 (2)解:因为 AD / / BB1 ,所以 AD / / 平面 BCE , 所以 VE ? BCD ? VD ? BCE ? VA? BCE ,

S ?BCE ?

1 1 1 S ?B1BC ? ( ? 6 ? 6) ? 9 , 2 2 2

∵ AB ? AC , G 为 BC 的中点,∴ AG ⊥ BC , 又 BB1 ? 平面 ABC , AG ? 平面 ABC ,∴ AG ? BB1 , ∵ BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BCC1 B1 , ∴ AG ? 平面 BCC1 B1 ,---------10 分 由条件知 AC ? 5 , CG ? 3 ,∴ AG ? 4 , ∴ VA? BCE ?

1 1 S ?BCE ? AG ? ? 9 ? 4 ? 12 , 3 3

∴ VE ? BCD ? 12 .--------12 分

20. 解: (1)第 1 组人数 分 第 2 组频率为: 分 第 4 组人数 分 (2)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 取 人, 人,1 人 ---------6 , 所以 ,人数为:

,所以



-------

1

,所以

, ------

2



------------

3

,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽

(3)记“所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖”为事件 A,抽取的 6 人中,第 2 组的设为 , ,第 3 组的设为 , , ,第 4 组的设为 , 则从 6 名幸运者中任取

2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是: , , , , , , , . , . ----, 8分 , , 9 , , , , , , ,

其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种, 他们是: A= , 分 , , ,

--------------



-------------------------------- 11 分

答:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 21.解:(1) 因为角 ? 终边过点 P (?3, 3) , 所以 sin ? ?

-----------------

12 分

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? . -------3 分 2 2 3 3 3 3 .---------6 分 ? ?? 2 3 6

∴ sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? . ? ?

(2)∵ f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ? cos x, x ? R ∴ y ? 3 cos(

? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1. ----9 分 2 6 2? 4? ? ? 7? ∵0 ? x ? , ∴ 0 ? 2x ? , ∴ ? ? 2x ? ? , 3 3 6 6 6 1 ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1. ∴ ?2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1. ----11 分 2 6 6
$来&源: ziyuanku. com

?

?

故函数 y ? 3 f (

?

? 2? ? ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的值域是 ? ?2,1? 。-----12 分 2 ? 3 ?

22.解: (1) a ? 2, e ?

x2 y 2 c 2 ? ? 1 .-----4 分 ? , c ? 2, b ? 2 ,椭圆 C: 4 2 a 2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由 ? x 2 y 2 消 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2
∵直线 y ? k ( x ? 1) 过椭圆内点(1,0) ∴ ? ? 0 恒成立,由根与系数的关系得 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 4 ,-------8 分 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1 1 S? AMN ? ? 1? y1 ? y2 ? kx1 ? kx2 2 2 k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 2 k 16 ? 24k 2 ? ? 2 1 ? 2k 2 10 ? 3

-----------10 分

即 7 k 2 ? 2k 2 ? 5 ? 0 ,解得 k ? ?1 。------12 分


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