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第4课时 简单的线性规划及实际应用


简单的线性规划及实际应用
一、 内容归纳 1 知识精讲: (1)二元一次不等式表示的平面区域: 在平面直角坐标系中,设有直线 Ax ? By ? C ? 0 (B 不为 0)及点 P( x0 , y0 ) ,则 ①若 B>0, Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示 直线 Ax ? By ? C ? 0 的上方的区域; ②若 B>0, Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示 直线 Ax ? By ? C ? 0 的下方的区域; (注:若 B 为负,则可先将其变为正) (2)线性规划: ①求线性目标函数在约束条件下的最值问题,统称为线性规划问题; ②可行解:指满足线性约束条件的解(x,y); 可行域:指由所有可行解组成的集合; 2 重点难点: 准确确定二元一次不等式表示的平面区域,正确解答简单的线性规划问题 3 思维方式: 数形结合. 4 特别注意: 解线性规划时应先确定可行域;注意不等式中 ? ( ?) 与 ? (?) 对可行域的影响; 还要注意目标函数 z ? ax ? by 中 b ? 0 和 b ? 0 在求解时的区别. 二、问题讨论 1、 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1、画出下列不等式(或组)表示的平面区域

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?1?? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?1 ? x ? 2 ? 3 ?
(2) .(优化设计 P109 例 1)求不等式 | x ? 1 | ? | y ? 1 |? 2 表示的平面区域的面积。 解: (1)不等式 x-2y+1>0 表示直线 x-2y+1>0 右下方的点的集合 不等式 x+2y+1 ? 0 表示直线 x+2y+1 ? 0 右上方的点的集合 不等式 1 ? x ? 2 ? 3 可化 ? 1 ? x ? 1 或 3 ? x ? 5 , 它表示夹在两平行线 x=-1 和 x=1 之间或 夹在两平行线 x=3 或 x=5 之间的带状区域,但不包括直线 x=1 或 x=3 上的点 所以原不等式表示的区域如图所示

解(2)先画出 x ? y ? 2 的图形,由对称性得 x ? y ? 2 表示的图形,如图 1: , 再把图形向右、向左都平移 1 个单位得 x ? 1 ? y ? 1 ? 2 的图形, 如图 2 y x

| x ? 1 | ? | y ? 1 |? 2 表示图 2 中的正方形内部,故所求的
平面区域的面积为 S=8(单位) 图1

【评述】画图时应注意准确,要注意边界,若不等式中不含“=”号,则边界应画成虚线,
否则应画成实线。 y

x 2、应用线性规划求最值 图2 ? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2、设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 分别求:(1)z=6x+10y,(2)z=2x-y,(3)z=2x-y,(x,y ? x ?1 ? 均为整数)的最大值,最小值。 解: (1)先作出可行域,如图所示中 ?ABC 的区域, 且求得 A(5,2),B(1,1),C(1,

22 ) 5

作出直线 L0:6x+10y=0,再将直线 L0 平移 当 L0 的平行线过 B 点时,可使 z=6x+10y 达到最小值 当 L0 的平行线过 A 点时,可使 z=6x+10y 达到最大值 所以 zmin=16;zmax=50 (2)同上,作出直线 L0:2x-y=0,再将直线 L0 平移, 当 L0 的平行线过 C 点时,可使 z=2x-y 达到最小值 当 L0 的平行线过 A 点时,可使 z=2x-y 达到最大值 所以 zmin= ?

12 16;zmax=8 5

(3)同上,作出直线 L0:2x-y=0,再将直线 L0 平移,

当 L0 的平行线过 C 点时,可使 z=2x-y 达到最小值 ? 当 L0 的平行线过 A 点时,可使 z=2x-y 达到最大值 8

12 5

22 不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数 5 22 所以可行域内的点 C(1, )不是最优解 5
但由于 当 L0 的平行线经过可行域内的整点(1,4)时,可使 z=2x-y 达到最小值 所以 zmin=-2 . 几个结论:(1)、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边 界处取得。(如:上题第一小题中 z=6x+10y 的最大值可以在线段 AC 上任一点取到) (2) 、求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在 y 轴上的截距或其相反数。 3、线性规划的实际应用 例 3、(优化设计 P109 例 2)某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 V 海里╱时(4≤V≤20)从 A 港 出发到距 50 海里的 B 港去,然后乘汽车以匀速 W 千米╱时(30≤W≤100)自 B 港向距 300 千米的 C 市驶去,应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x、y 小时, (1) 作出表示满足上述条件的 x、y 范围; (2) 如果已知所要经费 P=100+3· (5-x)+2· (8-y)(元),那么 V、W 分别是多少时,走得最经济? y 此时需花费多少元? 14 解:由题得 v ?

300 50 ,w ? , x y

12.5
9 2y+3x=38

4 ? v ? 20

30 ? w ? 1 0 0

所以 3 ? x ? 10 ,

5 25 ? y? 2 2

2y+3x=0 2.5

由于乘汽车、摩托车所需的时间和 x? y 应满足:

9 ? x ? y ? 14 ,因此满足上述条件的
点(x,y)的范围是图中的阴影部分 (包括边界) (2)

o

3

9

10

14

x

?

P=100+3· (5-x)+2· (8-y)

? 3x ? 2 y ? 1 3 1 ?p
3 的直线 2

要使 p 最小,则 131? p 最大。在图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为 ?

3x ? 2 y ? k 中,使 k 值最大的直线必通过点(10,4) ,即当 x=10, y=4 时 p 最小。
此时,v=12.5. w=30, p 的最小值为 39 元。 【解题回顾】要能从实际问题中,建构有关线性规划问题的数学模型 例 4(优化设计 P110 页) 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车,有 9 名驾驶员,此车队每天至少要运 360 吨矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆

每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次。甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙 型卡车每辆每天的成本费为 160 元。 问每天派出甲型车与乙型车各多少辆, 车队所花费成本 最底? 解:设每天派出甲型车 x 辆,乙型车 y 辆,车队所花成本费为 z 元,那么

?x ? y ? 9 ?10 ? 6 x ? 6 ? 8 y ? 360 ? ? ?0 ? x ? 4 ? ?0 ? y ? 7

z ? 252x ? 160y

其中 x、y ? N

作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图中绿色区域。

y

作出直线 l 0 : 252x ? 160y ? 0 把直线向右上方平移, 使其经过可行域上的整 点,且使在 y 轴的截距 最小。观察图形,可见 当直线 252x ? 160y ? t 经过点(2,5)时,满足 上面要求。 此时, z ? 252x ? 160y 取得最小值,即 x=2, y=5 时,

o
5x+4y=30

x+y=9

x

z min ? 252? 2 ? 160? 5 ? 1304

l0

1 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低。 【解题回顾】由于派出的车辆数为整数,所以必须寻找最优整数解。这对作图的要求较高,
平行直线系 f ( x, y) ? t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作 出可行域内的各整点,然后以 z 取得最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优 解.。 备用题 例 5、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的 小钢板的块数如下表: 块数 种类
第 一 种 钢 板 第 二 种 钢 板

l

规格

A

B

C

1 1

2 1

1 3

每张钢板的面积为:第一种 1m2,第二种 2 m2,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、15、 27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需的三种规格成品,且使所用钢板面积最小? 解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 z m2,则有:

? x ? y ? 12 ?2 x ? y ? 15 ? , z ? x ? 2 y ,作出 ? ? x ? 3 y ? 27 ? ? x ? 0, y ? 0, x, y ? N 9 15 可行域,得 l1 与 l 3 的交点为 A( , ) , 2 2
当直线 z ? x ? 2 y 过点 A 时 z 最小,但 A 不

y 例5图

16 12

A
8 28 12

O 是整点,而在可行域内,整点(4,8)和(6, 7 ) 都 使

x l3

l2

l1

z









z min ? 4 ? 2 ? 8 ? 6 ? 2 ? 7 ? 20 ,所以应分别截第一、第二种钢板 4 张、8 张,或 6 张、7
张,能满足要求. [思维点拔]在可行域内找整点最优解的常用方法有: (1)打网格,描整点,平移直线,找出 整点最优解; (2)分析法:由于在 A 点 z ? 19 .5 .,而比 19.5 大的最小整数为 20,在约束 条件下考虑 x ? 2 y ? 20 的整数解,可将 y ? 10 ? 偶数,故 x ? 4 或 6 . 三、课堂小结: 解线性规划问题的步骤: (1)设:先设变量,列出约束条件和目标函数;再作出可行域, (2)画:画出线性约束条件所 表示的可行域; (3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; (4)求:通过解方程组求出最优解; (5)答:作出答案。 四、 【布置作业】 优化设计 P110、P111

x 代入约束条件,得 4 ? x ? 6 ,又 x 为 2


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