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第50届IMO试题


中国队获第 50 届 IMO 团体总分第一名
第 50 届国际数学奥林匹克竞赛 ( I O ) 于 2009 年 7 月 10 日至 22 日在德国的不莱梅市 M ( B rem en )举行 ,来自 104 个国家及地区的 565 名学生参加了这次比赛 . 中国队以 221 分获得团 体总分第一名 . 本届金牌分数线是 32 分 ,银牌分数线是 24 分 ,铜牌分数线

是 14 分 . 中国队的成员如下 : 领    队 朱华伟    广州大学 副领队   冷岗松    上海大学 观察员        熊 斌 华东师范大学    付云皓    广州大学 队    员 韦东奕    山东省山东师大附中 (高二 )   42 分 (满分 )   金牌 赵彦霖    吉林省东北师大附中        38 分     金牌 黄骄阳    四川省成都七中          36 分     金牌 郑      凡 上海市上海中学          35 分     金牌 郑志伟    浙江省乐成公立寄宿学校      35 分     金牌 林      博 北京市人大附中          35 分     金牌 获得团体总分前 6 名的队及其总分如下 : 1. 中     221 分   2. 日     212 分   3. 俄罗斯   203 分 国 本 4. 韩     188 分   5. 朝     183 分   6. 美     182 分 国 鲜 国

第 5 0 届 I MO 试 题
第一天
1. 设 n是一个正整数 , a1 , a2 , …, ak ( k ≥2)

的内角平分线分别与边 B C、 交于点 D、 CA E. 设 K是
ADC 的内心 . 若 B EK = 45 ° ,求 (比利时   提供 ) CAB所有可能的值 .

是集合 { 1, 2, …, n}中互不相同的整数 , 使得对 于 i = 1, 2, …, k - 1, 都有 n | ai ( ai + 1 - 1) . 证明 : (澳大利亚   n 8 ak ( a1 - 1) . 提供 ) 2. 设 O 是 AB C 的外心 . 点 P、 分别 Q 是边 CA、 上的点 . 设 K、 、 分别是线段 AB L M B P、 、 的中点 , Γ 是过点 K、 、 的圆 . CQ PQ L M 若直线 PQ 与圆 Γ 相切 , 证明 : O P = OQ. (俄罗斯   提供 ) 3. 设 s1 , s2 , … 是一个严格递增的正整数 数列 , 使得它的两个子数列 ss1 , ss2 , … ss1 + 1 , ss2 + 1 , … 和 都是等差数列 . 证明 : 数列 s1 , s2 , … 本身也是 (美国   一个等差数列 . 提供 )

5. 求所有的函数 f: N + → N + , 满足对所

有的 正整 数 a、 都 存在 一个 以 a、 f ( b ) 、 b,
f ( b + f ( a ) - 1 ) 为三边长的非退化三角形 (称

一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶 点不共线 ) .
(法国   提供 )

6. 设 a1 , a2 , …, an 是互不相同的正整

数 . M 是有 n - 1 个元素的正整数集 , 且不含 数 s = a1 + a2 + … + an. 一只蚱蜢沿着实数轴 从原点 0 开始向右跳跃 n 步 , 它的跳跃距离 是 a1 , a2 , …, an 的某个排列 . 证明 : 可以选择 一种排列 , 使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的 数都不在集合 M 中 .
(俄罗斯   提供 ) (朱华伟   提供 )
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第二天

4. 在

AB C 中 , AB = AC,

CAB 、 AB C

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