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圆柱、圆锥、圆台和球课件


1.1.3
【学习要求】

圆柱、圆锥、圆台和球

1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体. 2.认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征. 3.理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系. 【学法指导】 通过直观感受空间物体,从实物中概括出旋转体的结构特 征,提高观察、讨论、归纳、概括的能力;感受空间几何 体存在

于现实生活周围,增强学习的积极性,培养空间想 象能力.

填一填· 知识要点、记下疑难点

直角三角 1. 圆柱、 圆锥和圆台可以分别看作以 矩形的一边 、 形的一直角边、直角梯形中 垂直于底边 的腰所在的直线
为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体. 2.旋转轴叫做所围成的几何体的 轴 ;在轴上的这条边(或它 的长度)叫做这个几何体的 高 ;垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做这个几何体的 底面 ; 不垂直于轴的边旋转而成的 曲面叫做这个几何体的 侧面 ,无论旋转到什么位置,这条 边都叫做 侧面的母线 .

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.球面可以看作 一个半圆 绕着它的直径所在的直线旋转一 周所形成的曲面, 球面 围成的几何体叫做球. 4.用一个平面去截一个球,截面是 一个圆面 ,球面被经过 球心的平面截得的圆叫做 球的大圆 , 被不经过球心的平 面截得的圆叫做 球的小圆 . 球心到截面的距离 d 与球半 2 2 R - d 径 R 及截面圆半径 r 的关系:r= .

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[问题情境] 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造 从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体,我们周围 的很多建筑物和它一样,也都是由一些简单几何体组合而 成的组合体.本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结 构特征.

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探究点一 导引

圆柱、圆锥、圆台的结构特征

观察下面的几何体,你可能会判定它们分别是圆柱、

圆锥、圆台.为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆 台呢?

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问题 1

圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质?哪些性质可

以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质?
答 通过观察可以看出, 圆柱、 圆锥和圆台可以分别看作以 矩形的一边、 直角三角形的一直角边、 直角梯形中垂直于底 边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯 形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如图).

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问题 2

类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高

这些概念,在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何 定义的?
答 旋转轴叫做所围成的几何体的轴:在轴上的这条边 (或 它的长度)叫做这个几何体的高,垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做这个几何体的底面: 不垂直于轴的边旋转而成的曲 面叫做这个几何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都 叫做侧面的母线.

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问题 3 对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是 什么样的图形?
答 分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
问题 4 圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示?

答 圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母表示,如问题 1 中的图中圆柱 OO′、圆锥 SO、圆台 OO′.

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问题 5

圆柱、圆锥、圆台都是旋转体,它们在结构上有哪

些相同点和不同点?三者的关系如何?当底面发生变化 时,它们能否互相转化?
答 它们的相同点是:它们都是由平面图形旋转得到的;
不同点是:圆柱和圆台有两个底面,圆锥只有一个底面,圆 柱的两个底面是半径相等的圆,圆台的两个底面是半径不等 的圆,圆锥只有一个底面; 当底面发生变化时,它们能相互转化,即圆台的上底面扩大, 使上下底面全等,就是圆柱;
圆台的上底面缩为一个点就是圆锥.

画板演示

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例 1

用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台

上下底面半径的比是 1∶4,截去的圆锥的母线长是 3 cm, 求圆台的母线长(如图所示).

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解 设圆台的母线长为 y,截得的圆锥底面与原圆 锥底面半径分别是 x,4x,
3 x 根据相似三角形的性质得 = , 3+y 4x 解此方程得 y=9.
因此,圆台的母线长为 9 cm.
小结 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面,在轴截面

中去寻找各元素的关系.

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跟踪训练 1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截 得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,原来圆锥的母线长 是 16 cm,求圆台的母线长.

解 设圆台的母线为 l, 截得圆台的上、 下底面半径分别为 r,4r.

16-l r 根据相似三角形的性质得, = ,解得 l=12. 16 4r 所以,圆台的母线长为 12 cm.

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探究点二 球的结构特征 问题 1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周,半圆 运动的轨迹是怎样的空间图形?
答 半圆运动的轨迹是一个球面.

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问题 2


球面的定义是怎样的?球心、球半径、球的直径是

如何定义的?
球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的 直线旋转一周所形成的曲面, 球面围成的几何体, 叫做球. 形成球的半圆的圆心叫球心;

连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径; 连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径.
如图中点 O 为球心,OA 为球的半径,AB 为球 O 的直径.

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问题 3 如何用字母表示一个球?
答 一个球用表示它的球心的字母来表示,例如球 O.

问题 4 用集合的观点如何定义球面?
答 球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的 集合.

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问题 5 用一个平面去截一个球,如何说明截面是圆面?
答 如图所示,设 OO′=d,对于平面 α 与球面的交线上 任意一点 P,O′P= R2-d2,是一个定值.

因此,平面 α 截球面所得到的交线是以 O′为圆心,以 r = R2-d2为半径的一个圆,即截面是一个圆面.

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问题 6 阅读教材 14-15 页,你能说出什么是球的大圆?什 么是球的小圆?什么是球面距离吗?什么是旋转体?什么 是组合体? 答 (1)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆;
被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.
在球面上,两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在 这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点的球面距 离. (2)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形 绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何 体叫做旋转体.

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(3)现实世界中物体表示的几何体,除了柱体、锥体、台体、 球体等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组 合而成的,这些几何体叫做简单组合体.

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例 2 设地球半径为 R,在北纬 45° 圈上有 A、B 两地,它们 2 在纬度圈上的弧长等于 πR.求 A、B 两地间的球面距离. 4 解 如图所示, A、 B 是北纬 45° 圈上的两点, AO′
为它的半径,
∴OO ′⊥AO′,OO′⊥BO′.

∵∠OAO′=∠OBO′=45° , 2 ∴AO′=BO′=OA· cos 45° = R. 2 设∠AO′B 的度数为 α,
απ απ 2 2 则 · AO′= · R= πR,∴α=90° . 180 180 2 4

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∴AB= AO′ +BO′ =

2

2

? ? ? ?

? ? 2 ? ?2 ? 2 ?2 R +? R? =R. 2 ? ? ? 2 ?

在△AOB 中,AO=BO=AB=R,则△AOB 为正三角形,
∴∠AOB=60° . 60πR π ∴A、B 两点间的球面距离为 180 =3R.
小结 计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角 απR 的度数 α,然后通过计算 来确定球面距离(R 是球半径). 180

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跟踪训练 2 我国首都靠近北纬 40° 纬线.求北纬 40° 纬线的 长度约等于多少 km(地球半径约为 6 370 km,π≈3.141 6, cos 40° =0.766 0).



如图所示,设 A 是北纬 40° 圈上的一点,AK

是它的半径,所以 OK⊥AK.设 c 是北纬 40° 的纬 线长,因为∠AOB=∠OAK=40° ,所以
c=2π·AK=2π·OA· cos∠OAK=2π·OA· cos 40° ≈2×3.141 6×6 370×0.766 0≈3.066×104(km).
即北纬 40° 的纬线长约为 3.066×104 km.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.圆锥的轴截面是正三角形,它的面积是 3,则圆锥的高 3,2 . 与母线的长分别为________ 3 2 解析 设正三角形的边长为 a,则 4 a = 3,∴a=2. 由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高, 3 所以所求的高为 a= 3,圆锥的母线即为圆锥的轴截面 2
正三角形的边,所以母线长为 2.

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2.圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为 2 cm,10 cm,高

5 为 3 cm,则圆台母线的长为________ cm.
解析 圆台母线的长为 l= 32+?5-1?2=5(cm).

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3. 在半径为 25 cm 的球内有一个截面, 它的面积是 49π cm2, 求球心到这个截面的距离.
解 因截面圆的面积是 49π cm2,所以截面圆的半径为 7 cm,设球心到这个截面的距离为 d,
由 r= R2-d2,得 d= R2-r2= 252-72=24.
即球心到这个截面的距离为 24 cm.

1. 圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、 下底面圆的弦和母 线组成的矩形. 2. 圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底 面圆的弦组成的等腰三角形;圆锥的母线 l、高 h 和底面 圆的半径 R 的关系为 l2=h2+R2. 3.圆台的母线 l、高 h 和上下两底面圆的半径 r、R 组成一 个直角梯形,圆台的有关计算问题,常归结为解这个直角 梯形.“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法. 4.球面与球体是有区别的.球面仅仅指球的表面,而球体不 仅包括球的表面,也包括球面所包围的空间.


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