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【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题7 第32练


第 32 练

与抛物线相关的热点问题

[内容精要] 抛物线的方程、几何性质或抛物线相关的综合问题是命题的热点,题型既有小巧 灵活的选择题、填空题,又有综合性较强的解答题.

题型一 抛物线的定义及其应用 例 1 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一动点, (1)求点 P 到 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),抛物线的焦点为 F,求|PB|+|PF|的最小值. 破题切入点 画出图形,结合抛物线的定义,转化为共线问题. 解 (1)由于 A(-1,1),F(1,0),P 是抛物线上的任意一点,则|AP|+|PF|≥|AF|= 22+1= 5,

从而知点 P 到 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和的最小值为 5, 所以点 P 到 A(-1,1) 的距离与 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值也为 5. (2)如图所示,自点 B 作 BQ 垂直于抛物线的准线于点 Q,交抛物线于点 P1, 此时|P1Q|=|P1F|,那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小 值为 4. 题型二 抛物线的标准方程及性质 例 2 (1)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) )

(2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面 宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________ m. 破题切入点 准确求出抛物线方程结合其简单几何性质作答. 答案 (1)C (2)2 6 解析 (1)∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0 +2. 以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
-1-

又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0+2, ∴y0>2.

-2-

(2)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py 得 p=1. ∴x2=-2y. 水位下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入 x2=-2y,得 x2 0=6, ∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m. 题型三 直线和抛物线的位置关系 例 3 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 5

破题切入点 (1)将点代入易求方程. (2)假设存在,根据条件求出,注意验证. 解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t.

? ?y=-2x+t, 由? 得 y2+2y-2t=0. 2 ? ?y =4x,
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 由直线 OA 到 l 的距离 d= |-t| 1 可得 = , 5 5 解得 t=± 1.
-3-

5 , 5

1 1 又因为-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 总结提高 (1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率

为 e=1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决. (2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线 y2=2px 关于 y 轴、直线 x+y=0 与 x-y=0 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线 y2=2px 绕原点旋转± 90° 或 180° 也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系. (3)抛物线的焦点弦: 设过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1), B(x2,y2), 则 p2 ①y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p ②若直线 AB 的倾斜角为 θ,则|AB|= 2 ; sin θ ③若 F 为抛物线焦点,则有 1 1 2 + = . |AF| |BF| p

1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为 4,则 m 的值为( )

A.4 B.-2 C.4 或-4 D.12 或-2 答案 C 解析 设标准方程为 x2=-2py(p>0), p 由定义知 P 到准线的距离为 4,故 +2=4,所以 p=4, 2 则方程为 x2=-8y,代入 P 点坐标得 m=± 4. 2.若抛物线 y2=8x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F,M(3,3)且与 l 相切的圆共有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 答案 B 解析 由题意得 F(2,0),l:x=-2, 3-2 3 5 线段 MF 的垂直平分线方程为 y- =- (x- ), 2 2 3-0
-4-

)

即 x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b), 则圆心在 x+3y-7=0 上,故 a+3b-7=0,a=7-3b, 由题意得|a-(-2)|= ?a-2?2+b2,

即 b2=8a=8(7-3b),即 b2+24b-56=0. 又 b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个. 3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P、Q 是抛物线上的两个点,若△PQF 是边长为 2 的 正三角形,则 p 的值是( A.2± 3 C. 3± 1 答案 A
2 2 2 p y1 y2 y1 解析 依题意得 F( ,0),设 P( ,y1),Q( ,y2)(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得 2 2p 2p 2p

) B.2+ 3 D. 3-1

p y2 p 1 2 2 + = + ,∴y1 =y2 2,∴y1=-y2.又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1,点 P( ,y1).又点 P 位于该 2 2p 2 2p 1 p 抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|= + =2,由此解得 p=2± 3,故选 A. 2p 2 4.(2014· 课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 9 3 B. 8 63 9 C. D. 32 4 )

答案 D 3 解析 由已知得焦点坐标为 F( ,0), 4 因此直线 AB 的方程为 y= 即 4x-4 3y-3=0. 方法一 联立抛物线方程化简得 4y2-12 3y-9=0, 故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 3 3 (x- ), 3 4

1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= × ×6= . 2 2 4 4 21 9 方法二 联立方程得 x2- x+ =0, 2 16 21 故 xA+xB= . 2
-5-

21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + =12, 2 2 同时原点到直线 AB 的距离为 h= 1 9 因此 S△OAB= |AB|· h= . 2 4 5.已知抛物线 y2=8x 的准线为 l,点 Q 在圆 C:x2+y2+2x-8y+13=0 上,记抛物线上任意 一点 P 到直线 l 的距离为 d,则 d+|PQ|的最小值等于( A.3 B.2 C.4 D.5 答案 A 解析 如图所示,由题意,知抛物线 y2=8x 的焦点为 F(2,0),连接 PF,则 d=|PF|. 圆 C 的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为 C(-1,4),半径 r=2. d+|PQ|=|PF|+|PQ|,显然,|PF|+|PQ|≥|FQ|(当且仅当 F,P,Q 三点共线时取等号). 而|FQ|为圆 C 上的动点 Q 到定点 F 的距离, 显然当 F,Q,C 三点共线时取得最小值, 最小值为|CF|-r= ?-1-2?2+?4-0?2-2=5-2=3. ) |-3| 4 +?-4 3?
2 2

3 = , 8

6.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则 △AOB 的面积为( A. 2 2 3 2 B. 2 C. 2 ) D.2 2

答案 C 解析 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|AF|=3, 由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

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? ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? ?y2=4x, ?
1 ? ?x=2, ?x=2, ? 1 ,- 2?, 解之得? 或? 由图知 B? 2 ? ? y = 2 2. ? ? ? ?y=- 2 1 1 ∴S△AOB= |OF|· |yA-yB|= ×1×|2 2+ 2| 2 2 = 3 2.故选 C. 2

25 7.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|,则|AF| 12 =________. 答案 5 6

1 1 2 解析 ∵ + = =2, |AF| |BF| p 25 |AB|=|AF|+|BF|= ,|AF|<|BF|, 12 5 5 ∴|AF|= ,|BF|= . 6 4 8.设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 答案 ± 1 解析 设直线 l 的斜率等于 k,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线 l 为 y=k(x+1)与抛物线 C:y2=4x 联立得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 4 则有 x1x2=1,x1+x2= 2-2, k 2 2 因此可得 Q( 2-1, ), k k 因 F(1,0),由|FQ|=2, 2 2 则有( 2-2)2+( )2=4, k k 解得 k2=1,所以 k=± 1. 9.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点, 其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° .则△OAF 的面积为________.
-7-

答案

3

解析 由题意,得直线 AB 方程为 y= 3(x-1),与抛物线方程 y2=4x 联立,求得交点 A 的坐 1 标为(3,2 3),利用三角形面积公式即可求得 S△OAF= ×1×2 3= 3. 2 x2 y2 10.(2013· 江西)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 其准线与双曲线 - =1 相交于 A、 B 两点, 3 3 若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 答案 6 解析 因为△ABF 为等边三角形, 所以由题意知 B? p

? 3

p ,- ?, 2?

x2 y2 代入方程 - =1 得 p=6. 3 3 11.(2014· 大纲全国)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P, 5 与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 解 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= . p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × , 2 p 4 p 解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直, 故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故设 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1).
-8-

又 l′的斜率为-m, 1 所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x, 4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2 故设 MN 的中点为 E( 2+2m2+3,- ), m m |MN|= 4?m2+1? 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= , m m2

1 由于 MN 垂直平分 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2, 4 4
2 2 2 2 2 2 4?m +1? ?2m +1? 2 即 4(m +1) +( 2+2) +(2m+ ) = , m m m4 2 2

化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 12.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有FA· FB< 0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). ?x-1?2+y2-x=1(x>0).

? ?x=ty+m, 设 l 的方程为 x=ty+m,由? 2 ? ?y =4x
得 y2-4ty-4m=0,
-9-

? ?y1+y2=4t, Δ=16(t2+m)>0,于是? ① ?y1y2=-4m. ?
→ → → → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FA· FB<0? (x1-1)(x2-1)+y1y2 =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
2 2 y2 y2 y2 ?y y ?2 1 1 y2? 1 y2 + +1<0? 1 2 +y1y2- [(y1+y2)2-2y1y2] 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-? ?4 4? 4 4 4 16 4

+1<0.③ 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2.④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0, 所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0, 即 3-2 2 <m<3+2 2. → → 由此可知, 存在正数 m, 对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有FA· FB <0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2).

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