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2017届山东省菏泽第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题


2017 届山东省菏泽第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.设集合 M ? {?1,0,1,2} , N ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,则 M ? N ? ( A. {0,1} B. {?1,0} C. {1,

2} ) C. ?x ? 0, x ? 1
2



D. {?1,2}

2.设命题 p : ?x ? 0, x 2 ? 1 ,则 ?p 为( A. ?x ? 0, x ? 1
2

B. ?x ? 0, x ? 1
2

D. ?x ? 0, x ? 1
2

3.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
4

) 的图象(



? ?
8 4

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

? ?
8 8

个单位 个单位

4.函数 f ( x) ? A. [0,??)

1 ? e x ? 1 的定义域为( ln(5 ? 2 x)
B. (??,2] C. [0,2]



D. [0,2)

?y ? x ? 5.若变量 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? ?1 ?
A. ? 3 B. ? 2 C. ? 1 D.1



6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一 半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为: “有一个人走了 378 里路,第一天 健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”问此人第 4 天和第 5 天共走了( A.60 里 7.函数 y ? ) B.48 里 C.36 里 ) D.24 里

2 x 2 ? 3x 的图象大致是( ex

第页

1

8. 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ? 3) ? ? f ( x) , 若 当 x ? ( , ) 时 ,

3 5 2 2

1 ) f ( x) ? ( ) x ,则 f (2017) ? ( 2 1 1 A. ? B. C. ? 4 4 4

D. 4

9.如图,在平行四边形 ABCD 中, M , N 分别为 AB, AD 上的点,且 AM ?

3 2 AB, AN ? AD ,连接 4 3

AC , MN 交于 P 点,若 AP ? ? AC ,则 ? 的值为(



A.

3 5

B.

3 7

C.

6 13

D.

6 17

10.函数 f ( x) ? (kx ? 4) ln x ? x( x ? 1) , 若 f ( x) ? 0 的解集为 ( s, t ) , 且 ( s, t ) 中只有一个整数, 则实数 k 的 取值范围为( A. ( ) B. (

1 1 4 ? 2, ? ) ln 2 ln 3 3 1 4 1 C. ( ? , ? 1] ln 3 3 2 ln 2

1 1 4 ? 2, ? ] ln 2 ln 3 3 1 4 1 D. ( ? , ? 1) ln 3 3 2 ln 2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
11.定积分

? (3x
0

1

2

? e x ? 1)dx 的值为

. .

12.不等式 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |? 0 的解集为 13.已知 cos(? ?

?
4

)?

4 ? , ? ? (0, ) ,则 5 4

cos 2? sin(? ?

?
4

? )

.

14.一艘海警船从港口 A 出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 ? 方向直线航行,30 分钟到达 B 处,这 时候接到从 C 处发出的一求救信号,已知 C 在 B 的北偏东 65? ,港口 A 的东偏南 20 ? 处,那么 B, C 两点的 距离是 海里.

15.设函数 f ( x) ? ?

x ?1 ?1, 2 ,若函数 g ( x) ? [ f ( x)] ? bf ( x) ? c 有三个零点 x1 , x 2 , x3 , ?log a | x ? 1 | ?1 x ? 1
.

则 x1 x 2 ? x 2 x3 ? x1 x3 ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

第页

2

16. 设函数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x ? 3 cos 2 ?x ?

3 (? ? 0) 的图象上相邻最高点与最低点距离为 2

?2 ?4.
(1)求 ? 的值; (2)若函数 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? 间. 17.已知在 ?ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (a ? b, sin A ? sin C ) 与向量

?
2

) 是奇函数,求函数 g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 在区间 [0,2? ] 上的单调减区

n ? (a ? c, sin( A ? C )) 共线.
(1)求角 C 的值; (2)若 AC ? CB ? ?27 ,求 | AB | 的最小值. 18.已知 m ? R ,设 p : x 2 ? 2 x ? 4m 2 ? 8m ? 2 ? 0 成立; q : ?x ? [1,2] , log 1 ( x ? mx ? 1) ? ?1 成立.
2 2

如果“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求 m 的取值范围. 19.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 , 且点 P (a n , S n )(其中 n ? 1 且 n ? N ? ) 在直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 上,数列 {

1 } 是首项为 ? 1 ,公差为 ? 2 的等差数列. bn

(1)求数列 {a n },{bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

1 ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . a n bn

20.在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下 潜的平均速度为 v (米/单位时间) ,每单位时间的用氧量为 (

v 3 ,在水底作业 10 个单位时间, ) ? 1 (升) 10

每单位时间用氧量为 0.9(升) , 返回水面的平均速度为 (米/单位时间) , 每单位时间用氧量为 1.5(升) , 记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式; (2)若 c ? v ? 15 ( c ? 0 ) ,求当下潜速度 v 取什么值时,总用氧量最少. 21.已知函数 f ( x) ?

v 2

ln x . x ?1

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

第页

3

(2)若 x ? 0 且 x ? 1 , f ( x) ? (i)求实数 t 的最大值; (ii)证明不等式: ln n ?

t ln x . ? x x ?1

? ( i ) ? 2 ? 2n ( n ? N
i ?1

n

1

1

1

?

且 n ? 2 ).

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 11. e ? 1 ; 1 A 2 B 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 A
[

9 D

10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12. (?1,1) ; 13.

6 ; 5

14. 10 2 ;

14.2

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.

第页

4

16.解: (1) f ( x) ? sin ?x ? cos ?x ? 3 cos 2 ?x ?

3 1 3 (1 ? cos 2?x) 3 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

1 3 ? ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin( 2?x ? ) ,设 T 为 f ( x) 的最小值周期,由 f ( x) 图象上相邻最高点与最 2 2 3 T T 2 低点的距离为 ? ? 4 ,得 ( ) 2 ? [2 f ( x) max ]2 ? ? 2 ? 4 ,因为 f ( x) max ? 1 ,所以 ( ) 2 ? 4 ? ? 2 ? 4 , 2 2
整理

2? , (k ? Z ) , ∴ 单 调 递 减 区 间 是 3 6 3 ? 2? ? 2? [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) ,又因为 x ? [0,2? ] ,∴当 k ? 0 时,递减区间为 [ , ] ;当 k ? 1 时,递减 6 3 6 3 7? 5? ? 2? 7? 5? 区间为 [ , ] ,∴函数 g ( x) 在 [0,2? ] 上的单调递减区间是 [ , ] , [ , ] . 6 3 6 3 6 3 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ) , 则 k? ? ? x ? k? ?
17.解: (1)向量 m ? (a ? b, sin A ? sin C ) 与向量 n ? (a ? c, sin( A ? C )) 共线. ∴ (a ? b) ? sin( A ? C ) ? (a ? c)(sin A ? sin C ) ,由正弦定理可得 (a ? b) ? b ? (a ? c)(a ? c) ,

?

?

a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? . ∴ c ? a ? b ? ab ,∴ cos C ? 2ab 2 3
2 2 2

(2)∵ AC ? CB ? ?27 ,∴ CA ? CB ? 27 ,∴ CA ? CB ?| CA || CB | cos C ? 27 ,∴ | CA || CB |? 54 ,∵

| AB | 2 ?| CB ? CA | 2 ?| CB | 2 ? | CA | 2 ?2CB ? CA ,∴ | AB | 2 ? 2 | CB | ? | CA | ?2 ? 27 ? 2 ? 54 ? 54 ? 54 ,
∴ | AB |? 3 6 , (当且仅当 | CB |?| CA |? 3 6 时,取“ ? ” ) ,∴ | AB | 的最小值为 3 6 . 18 .解:若 p 为真:对 ?x ? [?1,1] , 4m 2 ? 8m ? x 2 ? 2 x ? 2 恒成立,设 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,配方得
2

1 3 ? m ? ,∴ p 为 2 2 2 x ?1 1 3 真 时 , ? m ? ; 若 q 为 真 : ?x ? [1,2] , x 2 ? mx ? 1 ? 2 成 立 , ∴ m ? 成立,设 x 2 2 x2 ?1 1 3 3 g ( x) ? ? x ? ,易知 g ( x) 在 [1,2] 上是增函数,∴ g ( x) 的最大值为 g (2) ? ,∴ m ? ,∴ x x 2 2 3 ?1 ?m? ? 3 ?2 2 “ p ? q ” 为真, “ p ? q ”为假,∴ p 与 q 一真一假,当 p 真 q 假时, ? ,∴ m ? ,当 p 假 2 ?m ? 3 ? 2 ?

f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3 ,∴ f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值为 ? 3 ,∴ 4m 2 ? 8m ? ?3 ,解得

第页

5

1 3 或m ? 1 1 3 2 2 ,∴ m ? ,综上所述, m 的取值范围为 m ? 或 m ? . 3 2 2 2 2 19. (1)解:由点 P (a n , S n ) 在直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 上, ∴ 4a n ? 3S n ? 1 ? 0 即 3S n ? 4a n ? 1 , 又 3S n ?1 ? 4a n ?1 ? 1(n ? 2) , 两 式 相 减 得 a n ? 4a n ?1 , ∴ an 1 1 ? 4(n ? 2) ,∴ {a n } 是以 4 为公比的等比数列,又 a1 ? 1 ,∴ a n ? 4 n ?1 ,∵ { } 是以 ? ?1 为首 a n ?1 bn b1 1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?2) ? 1 ? 2n ,∴ bn ? 项,以 ? 2 为公差的等差数列,∴ . 1 ? 2n bn 1 1 ? 2n ?1 ? 3 ? 5 3 ? 2n 1 ? 2n ? n ? 1 ,∴ Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , (2)由(1)知, c n ? a n bn 4 4 4 4 4 4 1 ?1 ? 3 3 ? 2n 1 ? 2n ∴ Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ,以上两式相减得, ? 4 4 4 4 n ?1 4n 3 2 2 2 1 ? 2n Tn ? ?1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 4 4 4 4 4n 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 ? 2n 4 ? ?1 ? 2 ? 1 4n 1? 4 5 6n ? 5 ?? ? 3 3 ? 4n
∴ Tn ? ?

? m? ? ? q 真时, ? ?m ? ? ?

20 6n ? 5 . ? 9 9 ? 4 n ?1

v 60 3v 2 60 60 (单位时间) ,用氧量为 [( ) 3 ? 1] ? (升) ,水底作 ? ? v 10 v 50 v 120 180 60 120 业时的用氧量为 10 ? 0.9 ? 9(升) , 返回水面用时 (单位时间) , 用氧量为 (升) , ? 1.5 ? ? v v v v 2 2 3v 240 ∴总用氧量 y ? ? ? 9 ( v ? 0 ). 50 v 6v 240 3(v 3 ? 2000) (2) y ' ? ,令 y ' ? 0 得 v ? 103 2 ,在 0 ? v ? 103 2 时, y ' ? 0 ,函数单调递减, ? 2 ? 2 50 v 25v 3 在 v ? 10 2 时, y ' ? 0 ,函数单调递增,∴当 c ? 103 2 时,函数在 (0,103 2 ) 上递减,在 (103 2 ,15) 上递
20.解: (1)由题意,下潜用时 增,∴此时 v ? 103 2 时用氧量最少.当 c ? 103 2 时, [c,15] 上递增,此时 v ? c 时,总用氧量最少.

1
21.解: (1)由题意 x ? (0,??) 且 f ' ( x) ? 又 f (1) ?

x

( x ? 1) ? ln x ( x ? 1)
2

?

x ? 1 ? x ln x x( x ? 1)
2

,∴ f ' (1) ?

2?0 1 ? , 4 2

1 0 ? 0 ,∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2 2

(2)(i)由题意知
第页

ln x ln x t ( x ? 1) ? ( x ? 1) t ln x ln x t ? ? ,则 g ' ( x) ? ln x ? ? ? ? 0 ,设 g ( x) ? 2 x ?1 x ?1 x x ?1 x ?1 x x x ?1
6

1 t ( x 2 ? 1) t ( x 2 ? 1) 2 1 tx 2 ? 2 x ? t ,则 h' ( x) ? ? t (1 ? 2 ) ? , ? [2 ln x ? ] ,设 h( x) ? 2 ln x ? x x x 1? x2 x x2
(1)当 t ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ h' ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0,??) 上单调递增,又 h(1) ? 0 ,∴ x ? (0,1) 时,

h( x) ? 0 ,又

1 ? 0 ,∴ g ( x) ? 0 不符合题意. 1? x2

(2)当 t ? 0 时,设 ? ( x) ? tx 2 ? 2 x ? t ,①若 ? ? 4 ? 4t 2 ? 0 即 t ? 1 时, ? ( x) ? 0 恒成立,即 h' ( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,∴ h( x) 在 (0,??) 上单调递减,又 h(1) ? 0 ,∴ x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,

1 ? 0, 1? x2

1 ? 0 , g ( x) ? 0 ,符合题意. 1? x2 1 1 ②若 ? ? 4 ? 4t 2 ? 0 即 ? 1 ? t ? 0 时, ? ( x) 的对称轴 x ? ? ? 1 ,∴ ? ( x) 在 (1,? ) 上单调递增,∴ t t 1 1 ∴ h' ( x ) ? 0 , ∴ h( x) 在 (1,? ) 上单调递增, ∴ h( x) ? h(1) ? 0 , x ? (1,? ) 时,? ( x) ? ? (1) ? 2 ? 2t ? 0 , t t 1 而 ? 0 ,∴ g ( x) ? 0 ,不符合题意.综上所述 t ? ?1 ,∴ t 的最大值为 ? 1 . 1? x2
g ( x) ? 0 , x ? (1,??) 时, h( x) ? 0 ,
(ii)由(i)知 t ? ?1 时, 则 2 ln

x2 ?1 1 ln x ln x 1 k , ? x ? ,令 x ? ? ? ? 0 ,当 x ? 1 时整理得 2 ln x ? x x x ?1 x ?1 x k ?1

k k k ?1 1 1 , ? ? ? ? k ?1 k ?1 k k k ?1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 2[ln ? ln ? ? ? ln ] ? 1? ? ? ??? ? ? ? , 1 2 n ?1 2 2 3 n ? 2 n ?1 n ?1 n 1 1 1 1 ∴ 2 ln n ? 1 ? 2[ ? ? ? ? ]? , 2 3 n ?1 n
∴ ln n ? 1 ?
n 1 1 1 1 1 1 1 1 ,即 ln n ? ? ? ? . ? ??? ? ? 2 3 n 2 2n 2 2n i ?1 i

第页

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