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九类常见递推数列求通项公式方法


递推数列通项求解方法举隅
类型一: an?1 ? pan ? q ( p ? 1 )
思路 1(递推法) an ? pan ?1 ? q ? p ( pan ? 2 ? q ) ? q ? p ? p ? pan ?3 ? q ? ? q ? ? q ? : ? ? …… ? pn?1a1 ? q(1 ? p ? p2 ? … ? p n?2 ) ? ? a1

?

? ?

q ? n?1 q 。 ?? p ? p ?1 ? 1? p
q ,数列 p ?1

思路 2(构造法) :设 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,即 ? ? p ?1? ? q 得 ? ?

?an ? ?? 是以 a1 ? ? 为首项、 p 为公比的等比数列,则 an ?
? q ? n?1 q 。 an ? ? a1 ? ?p ? p ?1 ? 1? p ?
例1

? q q ? n?1 ? ? a1 ? ? p ,即 p ?1 ? p ?1 ?

已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? 3 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

解:方法 1(递推法) :

an ? 2an ?1 ? 3 ? 2(2an ? 2 ? 3) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2an ?3 ? 3? ? 3? ? 3 ? …… ? ?

3 ? n?1 3 ? ? 2n?1 ? 3 。 ? 2n?1 ? 3(1 ? 2 ? 22 ? … ?2n?2 ) ? ?1 ? ??2 ? 2 ?1 ? 1? 2 ?
方法 2 (构造法) an?1 ? ? ? 2 ? an ? ? ? , ? ? 3 , 数列 ?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 :设 即 ? 为首项、 2 为公比的等比数列,则 an ? 3 ? 4 ? 2
n?1

? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? 3 。

类型二: an?1 ? an ? f (n)
思路 1(递推法) :

an ? an?1 ? f (n ?1) ? an?2 ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ? an?3 ? f (n ? 3) ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ?
… ? a1 ?

? f (n) 。
i ?1

n ?1

思路 2(叠加法) an ? an?1 ? f (n ?1) ,依次类推有: an?1 ? an?2 ? f (n ? 2) 、 :
1

an?2 ? an?3 ? f (n ? 3) 、…、 a2 ? a1 ? f (1) ,将各式叠加并整理得 an ? a1 ? ? f (n) ,即
i ?1

n ?1

an ? a1 ? ? f (n) 。
i ?1

n ?1

例 2 已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ,求 an 。 解: 方法 1 (递推法) an ? an?1 ? n ? an?2 ? (n ?1) ? n ? an?3 ? (n ? 2) ? (n ?1) ? n ? : …… ? a1 ? [2 ? 3 ? … ?(n ? 2) ? (n ? 1) ? n] ?

?n ?
i ?1

n

n(n ? 1) 。 2

方法 2 (叠加法) an ? an?1 ? n , : 依次类推有:an?1 ? an?2 ? n ?1 、an?2 ? an?3 ? n ? 2 、 …、

a2 ? a1 ? 2 ,将各式叠加并整理得 an ? a1 ? ? n , an ? a1 ? ? n ? ? n ?
i ?2 i ?2 i ?1

n

n

n

n(n ? 1) 。 2

类型三: an?1 ? f (n) ? an
思路 1(递推法) :

an ? f (n ?1) ? an?1 ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? an?2 ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? f (n ? 3) ? an?3 ? …
? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ? a1 。
思路 2(叠乘法) :

an a ? f (n ? 1) ,依次类推有: n ?1 ? f (n ? 2) 、 an?1 an?2

an?2 a a ? f (n ? 3) 、…、 2 ? f (1) ,将各式叠乘并整理得 n ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … a1 an?3 a1
? f (n ? 2) ? f (n ?1) ,即 an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ? a1 。
n ?1 an ?1 ,求 an 。 n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 an ?1 ? ? an ? 2 ? ? ? an ?3 ? … 解: 方法 1 (递推法) an ? : n ?1 n ?1 n n ? 1 n n ?1
例 3 已知 a1 ? 1 , an ?

?

2 。 n(n ? 1)
2

方法 2 叠乘法) ( :

an a a n ?1 2 n ? 2 an ? 2 n ? 3 , 依次类推有: n ?1 ? 、 、 …、 3 ? 、 ? ? an?1 n ? 1 a2 4 an ? 2 n an ?3 n ? 1

2 1 a a2 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? ,将各式叠乘并整理得 n ? ? ? ? … ? ? ,即 4 3 a1 3 a1 n ? 1 n n ? 1 an ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?…? ? ? 。 n ?1 n n ?1 4 3 n(n ? 1)

类型四: an?1 ? pan ? qan?1
思路(特征根法) :为了方便,我们先假定 a1 ? m 、 a2 ? n 。递推式对应的特征方程 为 x ? px ? q ,当特征方程有两个相等实根时, an ? ? cn ? d ? ? ?
2

? p? ? ?2?

n ?1

( c 、 d 为待定系

数,可利用 a1 ? m 、 a2 ? n 求得);当特征方程有两个不等实根时 x1 、 x2 时,

an ? ex1n?1 ? fx2n?1 ( e 、 f 为待定系数,可利用 a1 ? m 、 a2 ? n 求得);当特征方程的根
为虚根时数列 ?an ? 的通项与上同理,此处暂不作讨论。 例 4 已知 a1 ? 2 、 a2 ? 3 , an?1 ? 6an?1 ? an ,求 an 。 解:递推式对应的特征方程为 x ? ? x ? 6 即 x ? x ? 6 ? 0 ,解得 x1 ? 2 、 x2 ? ?3 。
2 2

设 an ? ex1

n?1

? fx2n?1 ,而 a1 ? 2 、 a2 ? 3 ,即

? 9 ?e ? 5 ?e ? f ? 2 9 n ?1 1 ? n ?1 ,解得 ? ,即 an ? ? 2 ? ? (?3) 。 ? 5 5 ?2e ? 3 f ? 3 ?f ?1 ? 5 ?

类型五: an?1 ? pan ? rqn ( p ? q ? 0 )
思路(构造法) an ? pan?1 ? rq :
n?1

,设

?a ? an ? ? ? ? ? n?1 ? ? ? ,则 n n ?1 q ?q ?

3

p ? ?? ? q ?? q ? p ?a a1 r r ? ? ? , 从而解得 ? 。 那么 ? n ? 为首项, ? ? 是以 ? n n ?1 n q p?q r p ?q? ? ? ? ? ? 1? q ? rq ?q ? ?? ? ? p?q ?
p 为公比的等比数列。 q
例 5 已知 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 2n?1 ,求 an 。

1 ? ?? ? ? 2 ?2? ? ?1 a ? ? ?a ? ?a 1? 解: 设 n ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? , ? 则 , 解得 ? , ? n ? ? ? n n n ?1 n n ?1 2 ?2 ? ? 2 3? ? ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ?? ? ? 1 ? 3 ?
1 1 1 1 a 1 1 ?1? 是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列,即 n ? ? ? ? ? 2 3 6 2 2n 3 6 ? 2 ?
n ?1

,? an ?

2n ? 1 。 3

类型六: an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 0 且 p ? 1 )
思路(转化法) an ? pan?1 ? f (n ? ,递推式两边同时除以 p 得 : ) 1
n

an an ?1 f (n ? 1) a ? n ?1 ? ,我们令 n ? bn ,那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 n n p p p pn
例 6 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 。

a a a ?1? 解: an ? 4an?1 ? 2 ,式子两边同时除以 4 得 n ? n?1 ? ? ? ,令 n ? bn ,则 n n ?1 4n 4 4 ?2?
n
n

n

?1? ?1? bn ? bn?1 ? ? ? ,依此类推有 bn?1 ? bn?2 ? ? ? ?2? ?2?
2 n

n

n ?1

?1? 、 bn?2 ? bn?3 ? ? ? ?2?

n?2

、…、

n ?1? ?1? b2 ? b1 ? ? ? ,各式叠加得 bn ? b1 ? ? ? ? ,即 ?2? i ?2 ? 2 ? n ?1? 1 n ?1? ?1? ?1? bn ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 i ?2 ? 2 ? ?2? i ?2 ? 2 ? i ?1 ? 2 ? n n n n n

4

? ? 1 ?n ? ? an ? 4n ? bn ? 4n ? ?1 ? ? ? ? ? 4n ? 2n 。 ? ?2? ? ? ?

类型七: an?1 ? pan r ( an ? 0 )
思路(转化法) :对递推式两边取对数得 logm an?1 ? r logm an ? logm p ,我们令

bn ? logm an ,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。
例 7 已知 a1 ? 10 , an?1 ? an 2 ,求 an 。 解:对递推式 an?1 ? an 2 左右两边分别取对数得 lg an?1 ? 2lg an ,令 lg an ? bn ,则

bn?1 ? 2bn ,即数列 ?bn ? 是以 b1 ? lg10 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,
因而得 an ? 10bn ? 102 。
n?1

类型八: an?1 ?

c ? an (c ? 0) pan ? d pa ? d 1 d 1 p 1 ,那么 ? n ? ? ? , an?1 c an c an?1 c ? an

思路(转化法) :对递推式两边取倒数得

令 bn ?

1 ,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。 an 2 ? an ,求 an 。 2an ? 1 2a ? 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ? 1 ,令 ? bn 则 即 an ?1 2an an?1 2 an an

例 8 已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

解:对递推式左右两边取倒数得

1 1 1 7 bn ?1 ? bn ? 1 。设 bn ?1 ? ? ? ? bn ? ? ? ,即 ? ? ?2 ,? 数列 ?bn ? 2? 是以 ? 2 ? ? 为 2 2 4 4
首项、

1 7 2n ? 2 ? 7 2n ?1 为公比的等比数列,则 bn ? 2 ? ? n ?1 ,即 bn ? ,? an ? n ? 2 。 2 2 2n ?1 2 ?7

类型九: an?1 ?

a ? an ? b ( c ? 0 、 ad ? bc ? 0 ) c ? an ? d
5

ax ? b 即 cx2 ? (d ? a) x ? b ? 0 。当 cx ? d ? ? ? ? 1 ? ? 1 特征方程有两个相等实根 x1 ? x2 ? ? 时,数列 ? ? 为等差数列,我 ? 即? ? an ? ? ? ? an ? a ? d ? 2c ? ? 1 1 们可设 ;当特征方程 ? ? ? ( ? 为待定系数,可利用 a1 、 a2 求得) a?d a?d an?1 ? an ? 2c 2c
思路(特征根法) :递推式对应的特征方程为 x ? 有两个不等实根 x1 、 x2 时,数列 ?

? an ? x1 ? a1 ? x1 为首项的等比数列,我们可设 ? 是以 a1 ? x2 ? an ? x2 ?

an ? x1 ? a1 ? x1 ? n ?1 ;当特征方程 ?? ? ? ? ( ? 为待定系数,可利用已知其值的项间接求得) an ? x2 ? a1 ? x2 ?
的根为虚根时数列 ?an ? 通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论。 例 9 已知 a1 ?

1 4a ? 3 , an ? n ?1 (n ? 2) ,求 an 。 2 an ?1 ? 2 4x ? 3 2 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x?2

解:当 n ? 2 时,递推式对应的特征方程为 x ?

? a ?1? a1 ? x1 2 ? ? ?1 为首项的等比数列,设 x1 ? ?1 、 x2 ? 3 。数列 ? n ? 是以 a1 ? x2 ?2 ? an ? 3 ?
1 an ? 1 a ?1 ? ? ?1? ? ? n?1 ,由 a1 ? 得 a2 ? 2 则 ?3 ? ? ? ,? ? ? 3 ,即 n ? ? ?1? ? 3n ?1 , 2 an ? 3 an ? 3

?1 ,n ?1 ?2 3 ?1 ? 从而 an ? n ?1 ,? an ? ? n 。 3 ?1 3 ?1 ? ,n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ?
n

6

常见递推数列通项公式的求法
重、难点: 1. 重点: 递推关系的几种形式。 2. 难点: 灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】
[例 1] an?1 ? kan ? b 型。 (1) k ? 1 时, an?1 ? an ? b ? {an } 是等差数列, an ? b ? n ? (a1 ? b) (2) k ? 1 时,设 an?1 ? m ? k (an ? m) ∴ an?1 ? kan ? km ? m

比较系数: km ? m ? b



m?

b k ?1



{a n ?

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1 a n ? (a1 ? b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1



an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1



[例 2] an?1 ? kan ? f (n) 型。 (1) k ? 1 时, an?1 ? an ? f (n) ,若 f (n) 可求和,则可用累加消项的方法。

例:已知 {an } 满足 a1 ? 1 , 解:

a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1) 求 {an } 的通项公式。



a n ?1 ? a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 ? n ?1 n a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 1 ? n ? 2 n ?1



a n ? a n ?1 ?

7

a n ? 2 ? a n ?3 ? a3 ? a 2 ?

1 1 ? n ? 3 n ? 2 …… a 2 ? a1 ? 1 ? 1 2 1 n


1 1 ? 2 3

对这( n ? 1 )个式子求和得:

a n ? a1 ? 1 ?

an ? 2 ?

1 n

(2) k ? 1 时,当 f (n) ? an ? b 则可设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B) ∴ an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A

?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?(k ? 1) B ? A ? b

解得:

A?

b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,

∴ {an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列 ∴ an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k ∴ an ? (a1 ? A ? B) ? k
n?1 n?1

? An ? B

将 A、B 代入即可

n (3) f (n) ? q ( q ? 0,1)

等式两边同时除以 q

n?1

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 q q q 得q
k 1 Cn ? q q
∴ {C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型



Cn ?

an qn



C n ?1 ?

[例 3] an?1 ? f (n) ? an 型。 (1)若 f (n) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。

例:已知:

a1 ?

1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。

8

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1 解: an?1 an?2 an ?3
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1



an ? k ?
[例 4]

m ? an?1 m ? an?1 型。
1 1 k ?k? ? a n ?1 m ∴ an

1 1 1 ? k( ? ) a n ?1 m 考虑函数倒数关系有 a n Cn ? 1 an



则 {C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型。

练习: 1. 已知 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1求通项公式。 解: 设 an?1 ? m ? 2(an ? m)

an?1 ? 2an ? m

∴ m ?1

∴ {a n ?1 ? 1}是以 4 为首项,2 为公比为等比数列 ∴ an ? 1 ? 4 ? 2
n?1

∴ an ? 2

n ?1

?1

* 2. 已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N )求通项公式。

解:

an ? an?1 ? 2(n ? 1) an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a2 ? 2 ? 2

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
9

∴ an ? n ? n ? 1
2

3. 已知 {an } 中, 解:

a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

an an?1 an?2 a3 a2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 an?2 an?3 a2 a1 n ? 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n ? 1) an 2 ? n(n ? 1) ∴ a1
a n ?1 ?
an ? 4 n(n ? 1)



4. 数列 {an } 中, 解:

2 n ?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。

2 n?1 ? an 1 ? n?1 an?1 2 an
bn ? 1 an

1
∴ a n ?1

?

1 1 ? n ?1 an 2
bn ? bn ?1 ? 1 2n





bn ?1 ? bn ?

1 2
n ?1





bn ? bn ?1 ?

1 2n 1

bn ?1 ? bn ? 2 ? bn ? 2 ? bn ? 3 ? b3 ? b2 ? 1 23

2 n ?1 1 2
n?2

……

? b2 ? b1 ?

1 22

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 2 ? 2 ? ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2
10

1 1 1 2n ?1 bn ? ? n ? ? 2 2 2 2n ∴
5. 已知: a1 ? 1 , n ? 2 时, 解:

2n an ? n 2 ?1 ∴
1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

an ?

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设 an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ?? 2 A ? 2 ? ? ?? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ? B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 {an ? 4n ? 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列 ∴ 1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6



【模拟试题】
1. 已知 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2 ,求 an 。
n

2. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。

11

3. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。
n

4. 已知 {an } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )求 an 。

2 2S n an ? 2S n ? 1 ( n ? 2 ) 5. 已知 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满足

1 } (1)求证: S n 为等差数列 (2)求 {an } 的通项公式 {

6. 已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足

Sn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

(1)求证: {an } 是等差数列

(2)若 bn

?

1 a n ? 30 2 求 {bn } 的前 n 项和的最小值

12

1. 解: 由 an?1 ? an ? 2 ,得 an ? an?1 ? 2
n n?1

∴ an ? an?1 ? 2

n?1

an?1 ? an?2 ? 2 n?2 ……

? a2 ? a1 ? 2
a n ? a1 ? 2(1 ? 2 n ?1 ) ? 2n ? 2 1? 2
∴ an ? 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 1
n n



2. 解: 由 an ? 3an?1 ? 2 得: an ? 1 ? 3(an?1 ? 1)

an ? 1 ?3 ∴ a n ?1 ? 1

即 {an ? 1} 是等比数列 ∴ an ? (a1 ? 1) ? 3
n?1

an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1
3. 解:

? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 1

a n a n ?1 a an 1 ? n ?1 ? 1 ? ? (n ? 1) { n} n n n 2 2 由 an ? 2an?1 ? 2 得 2 ∴ 2 成等差数列, 2
n



an ? n ? 2n ? 2n?1
4. 解:

an?1 ? 2 ? 2 ?
1
∴ a n ?1 ? 2

4 2(an ? 2) ? an an

1
∴ a n ?1 ? 2

?

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )

?

1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2
1 (n ? 1) 2



bn ?1 ? bn ?

∴ {bn } 是等差数列

1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2
13

an ?

2 ?2 n

5. 解:

(1)

S n ? S n?1 ?

2 2S n 2S n ? 1 ∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1

1 1 ? ?2 S n S n ?1 1 ? 2n ? 1 Sn ∴

{


1 } S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

(2)

Sn ?

1 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 ? an ? (n ? 2) 2 1 4n ? 8n ? 3 2? ?1 2n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an ? ? ?2 ? 4n 2 ? 8n ? 3 ? ∴ n ?1 (n ? 2)

又 ∵ a1 ? 1 6. 解:

1 a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 8 (1)

∴ a1 ? 2

1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 n ? 2 时, 8 8
整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ {an } 是正整数数列 ∴ an ? an?1 ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4 ∴ an ? 4n ? 2

∴ {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

(2)

bn ?

1 (4n ? 2) ? 30 ? 2n ? 31 2
∴ S n ? n ? 30n
2

∴ {bn } 为等差数列

2 ∴ 当 n ? 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 ? 15 ? ?225

14


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