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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算预习导航新人教B版选修2-2资料


高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算预习导航 新人教 B 版选修 2-2
课程目标 1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些 公式求基本初等函数的导数; 2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂 函数的导数; 3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的 导数. 学习脉络

1.常数函数与幂函数的导数 对任意幂函数 y=x ,当 α

∈Q 时,都有(x )′=α x 2.基本初等函数的导数公式表
α α α -1

.

y=f(x) y=c y=xn(n∈N+) y=xμ (x>0,μ ≠0 且 μ ∈Q) y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x(x>0) y=sin x y=cos x
思考
x

y′=f′(x) y′=0 y′=nxn-1,n 为正整数 y′=μ xμ -1, μ 为有理数 y′=axln a y′= xln a y′= x y′=cos x y′=-sin x
1 1

下面几个求导结果正确吗?为什么?
x-1

(1)(2 )′=x·2

π 1 ? π? 3 3 ;(2)(x )′=x ln 3;(3)?sin ?′=cos ;(4)(ln 2)′= . 4 4 2 ? ?

提示:这几个求导结果均错误. (1)中函数 y=2 是指数函数, 应为(2 )′=2 ln 2; (2)中函数 y=x 是幂函数, 应为(x )′
x x x
3 3

? π? 2 =3x ;(3)和(4)中两函数实质均为常数函数,应为?sin ?′=0,(ln 2)′=0. 4? ?
3.导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则: 设 f(x),g(x)是可导的,则(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x).即,两个函数的和(或
1

差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差). (2)函数积的求导法则: 设 f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).即,两个函数 的积的导数, 等于第一个函数的导数乘上第二个函数, 加上第一个函数乘上第二个函数的导 数. 由上述法则立即可以得出[Cf(x)]′=Cf′(x).即,常数与函数之积的导数,等于常数 乘以函数的导数. (3)函数的商的求导法则: 设 f(x),g(x)是可导的,g(x)≠0,则? 特别地,当 f(x)=1 时,有? 点拨

?f?x??′=f′?x?g?x?-f?x?g′?x?. ? g2?x? ?g?x??

? 1 ?′=-g′?x?. ? g2?x? ?g?x??

正确理解导数运算法则应注意以下几点:

(1) 两 个 函 数 和 ( 差 ) 的 导 数 运 算 法 则 可 以 推 广 到 若 干 个 函 数 和 ( 差 ) 的 情 形 : 即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′=f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). (2)准确记忆公式形式,应注意:[f(x)g(x)]′≠f′(x)·g′(x)≠f′(x)g(x)-f(x)g′(x);

?f?x??′≠f′?x?≠f′?x?g?x?+f?x?g′?x?. ?g?x?? g′?x? g2?x? ? ?
4.复合函数及其求导法则 对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这 个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 y=f[g(x)].如函数 y=(2x+3) 是由
2

y=u2 和 u=2x+3 复合而成的.
复合函数 y = f[g(x)] 的导数和函数 y = f(u) , u = g(x) 的导数间的关系为 y′x =

y′u·u′x.
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 点拨 复合函数求导的主要步骤是:

(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.

2


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