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人教版必修2

第四章

圆与方程

本章内容

1 2 3

圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系

4
5

空间直角坐标系

1、圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径为r的圆的标准方程是

2 2 2 (x-a) +(y-b) =r
练习 求圆的标准方程

2+y2=9 x (1)圆心在原点,半径为3; 2 2 (2)圆心在点(-2,1),半径为 2 (x+2) +(y-1) =4
(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).

(x-8)2+(y+3)2=25

2、圆的一般方程

对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
(1)当

D2+E2-4F=0

时,方程表示一个点,该

点的坐标为

D E (- , - ) 2 2
时,方程不表示任何图

(2)当 形;

D2+E2-4F<0

2、圆的一般方程 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
(3)当

D2+E2-4F >0 时,方程表示的曲线为圆,

D E (- , - ) 它的圆心坐标为 2 2 ,

半径为

1 2 2 D + E - 4F 2

2、圆的一般方程
题型二 求圆的一般方程 例题 求过点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A?B?C三点坐标代入整理得

答案

∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.

规律技巧: 求圆的方程常用“待定系数法”,大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

3、直线与圆的位置关系
1、直线与圆有三种位置关系:

相交 (1)直线与圆________, 有两个公共点. 相切 (2)直线与圆________, 有一个公共点. 相离 (3)直线与圆________, 没有公共点.

3、直线与圆的位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法

(1)几何方法——利用圆心到直线的距离d与半径r的
大小判断:

d<r?相交,
d=r?相切,

d>r?相离.
(2)代数方法——-联立直线与圆的方程,消去x或y,

转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断:

3、直线与圆的位置关系
题型一 判断直线与圆的位置关系

例1:判断直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0
的位置关系

解:该圆的圆心为(2,-1),半径为

2
= 2.

∴圆心到直线的距离

答案

d=

| 2 - 1- 3 | 1 +1
2 2

故直线与圆相切.

3、直线与圆的位置关系
题型2 求圆的切线方程

先判断点是在圆上还是圆外
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.

利用圆的切线的性质,求出切线的斜率

1 k切线 = ? kCP

代入点斜式方程可得.

3、直线与圆的位置关系
(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这

时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到
切线的距离d等于半径求k.

若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上

3、直线与圆的位置关系
3、直线与圆相交所得的弦长问题

弦长


=2 r - d

2

2

直线l的方程为3x-4y+15=0,求直线与圆

C:x2+y2=25相交的弦长

3、直线与圆的位置关系
变式训练3: 求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦 长.

| AB |= 10.

4、圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为r1,r2,圆心距离为d,则
两圆位 置关系

图形情况

d与r1、r2的关系

外离

d > r 1+ r 2 _________

4、圆与圆的位置关系

外切

d=r1+r2 __________

相交

|r ________________ 2-r1|<d<r1+r2

4、圆与圆的位置关系

内切

d =|r2-r1| ____________

内含

d <|r1-r2| ____________

4、圆与圆的位置关系
题型一 圆与圆的位置关系

例1 已知圆 C1 : x + y + 2x +8 y - 8 = 0,
C2 : x + y - 4x - 4 y - 2 = 0,
2 2

2

2

试判断圆 C1 与圆 C2 的关系.
相交

4、圆与圆的位置关系
题型二 两圆相交弦(公共弦) 两圆相交时,将两圆的方程相减所得方程就是两圆的 相交弦所在的直线方程;若求相交弦长则转化为直线 与圆相交求弦长问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,

圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直 线方程及公共弦长.

5、空间直角坐标系
以单位正方体 OABC ? D?A?B?C ? 的 顶点O为原点,分别以射线OA, OC, OD? 的方向为正方向,以
z
D'

C'

A'

B'

线段OA,OC, OD?的长为单位
长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
x

O
A B

C

y

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 O - xyz 。 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴, 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分 别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

5、空间直角坐标系

空间直角坐标系的坐标:
设点M为空间的一个点,过点M构造一个长方体, 依次交x轴,y轴,z轴于点P,Q,和R,设点P,Q,R在x 轴,y轴,z轴上的坐标分别是x,y,z,那么点M 的坐标就是(x,y,z) z X叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标

R

?

M

o

x P

Q

y

5、空间直角坐标系

A Bⅱ C 例1:在长方体 OABC - Dⅱ
顺序:OABC-D’A’C’B’
z
2 D ' (0,0, 2)

? OA = 3, OC = 4, OD = 2, 写出所有点的 中,
坐标

C ' 0,4,2
B ' (3, 4, 2)
4

(

)

A'

( 3,0,2)
O 0,0,0

(

)

y

3

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

(1)空间的对称
空间点P ( x , y, z )关于:

(? x, y, ? z) ; (2) y轴对称的点P2的坐标为 ________ ____ (? x, ? y, z ) ; (3) z轴对称的点P3的坐标为 ____________

( x, ? y, ? z ) ; (1) x轴对称的点P1的坐标为 ____________

(? x, ? y, ? z ) . (4)原点对称的点P2的坐标为 ______________

关于谁对称谁不变

(2)两点间的距离
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则

| PP 1 2 |=

(x 2 -x1 ) + (y2 -y1 ) + (z 2 -z1 )

2

2

2

特别地, P(x,y,z)到原点的距离.

| OP |= x + y + z

2

2

2

练习 设P1(1,2,3),P2(4,5,6),则P1P2的长是

3 3

(3)中点坐标

A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ), 则AB的中点坐标为

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 ( , , ) 2 2 2

? OA = 4, OC = 5, OD = 3, M是D’B’的中点,求 中,
其坐标

练习:在长方体 OABC -

Dⅱ A Bⅱ C

z
3 D'

C'

A'
O
4

M
B'
5

D '( 0,0,3) , B '(4,5,3)
y

C
B

x A

骣 5 ? M琪 2, ,3 琪 桫 2


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