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上海市十三校2012届高三第二次联考数学试题


上海市十三校 2012 届高三第二次联考数学试题
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1.不等式 | x ? 1|? 1的解集是 。

2n 2. lim n = n?? 2 ? 1
3.若 tan ? ? 2, 则 4.已知复数 z ?



cos ? sin ? sin ? cos ?



=



a?i 为纯虚数,则实数 a= 1? i



5.从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名组成课外学习小组,则选出 4 女 2 男组成课外学习小组的概率 是 。 (精确到 0.01) 6.按如下图所示的流程图运算,若输入 x=8,则输出 k= 。

7.若函数 y ? f ( x) 的反函数是 f ?1 ( x) ,且 f (?2) ? 1 ,则满足 f ?1 (a ? 2) ? 2 ? 0 的实数 a=



8.若直线 kx ? y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 1 ? 0 交于 M, 两点, M, 关于直线 y ? ? x 对称, N 且 N 则|MN|= 。

9.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? 比为 。
2

??? ?

? 1 ???? 2 ??? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 ?APC 的面积之 3 3


10.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? x ,则实数 a 的取值范围是 ..

11.长方体 ABCD—A1B1C1D1 的各顶点都在以 O 为球心的球面上,且 AB=AD=1, AA ? 2 ,则 A、B 两 1 点的球面距离为 12. 若函数 f ( x) ? x ?
2



256 ? a ? b 的零点都在 ? ??, ?2? ? ?2, ??? 内, 则直角坐标平面内满足条件的点 x2


P(a,b)组成区域的面积为

13.设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ?| x ? x0 |? a ,那么称 x0 为 集合 A 的一个聚点,则在下列集合中: (1) Z ? Z (2) R ? R (3) ? x | x ? 以 0 为聚点的集合有
? ? ? ?

? ?

1 n ? ? ? , n ? N * ? (4) ? x | x ? , n ? N* ? n n ?1 ? ? ?

(写出所有你认为正确结论的序号)

14.已知等差数列 {an } (公差不为零)和等差数列 {bn } ,如果关于 x 的方程

9x2 ? (a1 ? a2 ? ?a9 ) x ? b1 ? b2 ? ?b9 ? 0 有解,那么以下九个方程 x2 ? a1x ? b1 ? 0 , x2 ? a2 x ? b2 ? 0, x2 ? a3 x ? b3 ? 0??, x2 ? a9 x ? b9 ? 0 中,无解的方程最多有
二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 15.下列函数中,值域为 R 的函数是 A. y ? x2 ?1 C. y ? lg( x ? 1) B. y ? 2x?1 D. y ? ( 个。



x ?1 x ?1
( )

16.若空间三条直线 a、b、c 满足 a ? b, b / /c ,则直线 a与c A.一定平行 C.一定是异面直线 17.若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则下列命题: (1)若数列 {an } 是递增数列,则数列 {Sn } 也是递增数列; (2)数列 {Sn } 是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数; B.一定相交 D.一定垂直

(3)若 {an } 是等差数列(公差 d ? 0 ) ,则 S1 ? S2 ?? Sk ? 0 的充要条件是 a1 ? a2 ??ak ? 0. (4)若 {an } 是等比数列,则 S1 ? S2 ??Sk ? 0(k ? 2, k ? N ) 的充要条件是 an ? an?1 ? 0. 其中,正确命题的个数是 A.0 个 B.1 个
2 2 2

( C.2 个 D.3 个



18.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 是第一象限内双曲线上的点。记

?PAB ? ? , 且 ?PBA ? ? ,则
A. ? ? ? ?





?
2

B. ? ? ? ?

?
2

C. ? ? 2?

D. ? 3?

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 78 分) 19. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c。设向量 m ? ( a, cosB ),n? ( , cosA ), 且 b

??

?

?? ? ?? ? m / / n, m ? n 。求 sin A ? sin B 的取值范围。

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M、N 分别是面对角线 A1B 和 B1D1 的中点。 (1)求证: MN ? AB ; (2)求三棱锥 A1—MND1 的体积。

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 9 分。 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收益。现 准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加 而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%。

x ? 2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因; 150 10 x ? 3a (2)若该公司采用模型函数 y ? 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值。 x?2
(1)请分析函数 y ?

22. (本题满分 16 分)本大题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ? Sn ? 1, n ? N *. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在数列 {an } 的第两项之间都按照如下规则插入一些数后,构成新数列 {bn } ; an和an?1 两项之 间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数构成等差数列,求 b100 的值。 (3)对于(2)中的数列 {bn } ,若 bm ? a100 ,求 m 的值,并求 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bm .

23. (本题满分 18 分)本大题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 现代城市大多是棋盘式布局(如北京道路几乎都是东西和南北走向) 。在这样的城市中,我们说的两 点间的距离往往不是指两点间的直线距离(位移) ,而是实际路程(如图) 。在直角坐标平面内,我 们定义 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点间的“直角距离”为:

D( AB) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | .
(1)已知 A(?3, ?3), B(3, 2) ,求 A、B 两点的距离 D( AB ) 。 (2)求到定点 M(1,2)的“直角距离”为 2 的点的轨迹方程。 并写出所有满足条件的“格点”的坐标(格点是指横、纵坐标均 为整数的点) 。 (3)求到两定点 F1、F2 的“直角距离”和为定值 2a(a ? 0) 的动点轨迹方程,并在直角坐标系内作 出该动点的轨迹。 (在以下三个条件中任选一个做答,多做不计分,基保选择条件①,满分 4 分; 条件②满分 6 分;条件③,满分 8 分) ① F (?1,0), F2 (1,0), a ? 2 ; 1 ② F (?1, ?1), F2 (1,1), a ? 2; 1 ③ F (?1, ?1), F2 (1,1), a ? 4. 1


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