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1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)


高中数学 必修5

一、知识回顾:
a b c (1)正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 2 ? (2)余弦定理: ? 2 a ? c2 ? b ? 2 2 , ?b2 ? a2 ?

c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? 2 ? a ? b2 ? c ? cos C ? . ? 2ab ?

(3)推论:正余弦定理的边角互换功能. ①边 角 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

②角



sin A ?

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? , 2ab

(4)三角形中的基本关系式:

sin( B ? C ) ? sin A,
cos( B ? C ) ? ? cos A,
? 4?

sin

B?C A ? cos , 2 2

B?C A cos ? sin 2 2 .

二、数学运用
例1. 如图1-3-4,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一 点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形. 问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?

图1-3-4

例2. 如图,有两条相交成 60? 角的直线 XX ? 、YY ? ,交点是 O ,甲、 乙分别在 OX 、OY 上,起初甲离 O 点3千米,乙离 O 点1千米.后来两 人同时用每小时4千米的速度,甲沿 XX ? 方向,乙沿 Y ?Y 方向步行. (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含

t 的式子表示 t 小时后两人的距离;
Y

(3)什么时候两人的距离最短?

B X?
O

A

X

Y?

三、课堂练习
PQ 如图,已知 ?A为定角, P, Q 分别在 ?A的两边上, 为定
? 长.当 P, Q 位于什么位置时, APQ 的面积最大?

P

A

Q


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