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2014高考数学百题精练分项解析4


2014 高考数学百题精练之分项解析 4
【说明】本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.设 0<x<1,a、b 为正常数, A.4abB.2(a +b ) 2 2 C.(a+b) D.(a-b) 答案:C 解析:令 x=cos θ ,θ ∈(0,
2 2 2 2 2 2

a2 b2 的最小值是() ? x 1? x

a2 b2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ),则 =a sec θ +b csc θ =a +b +a tan θ +b cot θ ≥ ? x 1? x 2

a +b +2ab=(a+b) . 2 2 2.若 a、b∈R,a +b =10,则 a-b 的取值范围是() A.[-2 5 ,2 5 ]B.[-2 10 ,2 10 ] C.[- 10 , 10 ]D.[0, 10 ] 答案:A 解析:设 a= 10 cosθ ,b= 10 sinθ ,则 a-b= 10 (cosθ -sinθ )=2 5 ·cos(θ + -2 5 ,2 5 ]. 3.已知 a∈R ,则下列各式中成立的是() 2 2 2 2 A.cos θ ·lga+sin θ ·lgb<lg(a+b)B.cos θ ·lga+sin θ ·lgb>lg(a+b) C. a
cos 2 ?
+

?
4

)∈[?

? b sin ? =a+bD. a cos ? ? b sin ? >a+b

2

2

2

答案:A 2 2 2 2 解析:cos θ lga+sin θ lgb<cos θ lg(a+b)+sin θ lg(a+b)=lg(a+b). 4.设函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1),则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1]上恒成立的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:a+2b>0 ? a· ∈[0,1] ? f(

1 1 +b>0 ? f( )>0,不能推出 f(x)>0,x∈[0,1];反之,f(x)>0,x 2 2

1 )>0 ? a+2b>0. 2

5.已知函数 y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数.若 x1<0,x2>0, 且 x1+x2<-2,则 f(-x1)与 f(-x2)的大小关系是() A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)<f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)与 f(-x2)的大小关系不能确定 答案:A 解析:y=f(x+1)是偶函数 f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).

-1-

又 x1+x2<-2,-x1>2+x2>2, 故 f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2). 6.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=-f(x)对所有实数 x 都成立,且在[-2,0]上单 调递增,a=f(

3 7 ),b=f( ),c=f( log 1 8),则下列成立的是() 2 2 2

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b 答案:B 解析:由 f(x+2)=-f(x)有 f(x+4)=f(x), ∴T=4,而 f(x)在 R 上为偶函数又在[-2,0]上单调递增,所以 f(x)在[0,2]上单调递 减. b=f(

1 1 3 7 )=f(- )=f( ),c=f( log 1 8)=f(-3)=f(1),a=f( ). 2 2 2 2 2



3 1 >1> ,∴b>c>a. 2 2
2 2 2 2

7.设 a、b、c、d∈R,m= a ? b + c ? d ,n= (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ,则() A.m<nB.m>nC.m≤nD.m≥n 答案:D 解析:设 A(a,b),B(c,d),O(0,0), ∵|OA|+|OB|≥|AB|, ∴得 m≥n. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.设 x>0,y>0,A= 答案:A<B 解析:A=
2

x? y x y ,B= ,则 A,B 的大小关系是__________________. ? 1? x ? y 1? x 1? y

x y x y =B. ? ? ? 1? x ? y 1? x ? y x ?1 1? y
2

9.已知 x +y =1,对于任意实数 x,y 恒有不等式 x+y-k≥0 成立, 则 k 的最大值是____________. 答案:- 2 解析:设 x=cosθ ,y=sinθ ,k≤x+y=sinθ +cosθ = 2 sin(θ + 为- 2 . 10.设 {an} 是等差数列, 且 a1 +a11 ≤100,记 S=a1+a2+…+a11 则 S 的取值范围是______________. 答案: [-55 2 ,55 2 ]
2 2

?
4

),∴k≤- 2 .∴k 的最大值

解析:由

a1 ? a11 a ? a11 2 a ? a11 ≥( 1 )? 1 ∈[-5 2 ,5 2 ]. 2 2 2

2

2

-2-

∴S=a1+a2+…+a11 =(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =

11 (a1+a11)∈[-55 2 ,55 2 ]. 2

三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.若 x,y 均为正数,且 x+y>2. 求证:

1? y 1? x 与 中至少有一个小于 2. x y

证明:假设

1? x 1? y 1? x 1? y 与 均不小于 2,即 ≥2 且 ≥2,则 1+y≥2x,1+x≥2y.相加得 x x y y

2+x+y≥2(x+y), 推出 x+y≤2,与题设 x+y≥2 矛盾.故假设错误. 12.已知 an= 1 ? 2 ? 2 ? 3 +…+ n(n ? 1) (n∈N ),求证:
*

(n ? 1) 2 n(n ? 1) * <an< 对 n∈ N 恒 2 2

成立. 证明:an> 12 ? 2 2 +…+ n =1+2+3+…+n=
2

n(n ? 1) , 2

而 an<

n 2 ? 2n (n ? 1) 2 1 n [(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))]= +(1+2+3+…+n)= < . 2 2 2 2

13.若 a,b,c 为三角形三边,x,y,z∈R,x+y+z=0, 2 z 2 求证:a yz+b zx+c xy≤0. 证明:∵z=-x-y, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a yz+b zx+c xy=a y(-x-y)+b x(-x-y)+c xy=-b x -(a +b -c )yx-a y , 2 2 2 2 2 2 2 ∴原不等式 ? f(x)=b x +(a +b -c )yx+a y ≥0.(*) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵Δ =(a +b -c ) -4a b = [(a +b +2ab)-c ] [(a +b -2ab)-c ] =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c), a,b,c 为三角三边,∴Δ <0. 2 ∴b >0,∴f(x)>0 对 x∈R 恒成立,即(*)表示, ∴原不等式得证. 14.已知:a∈R ,求证:a+
+

4 ? a

1 a? 4 a



17 . 4

证明:∵a∈R ,设 t=a+4a≥2 a ?
+

4 1 =4,则左式=f(t)=t+ (t≥4) a t

∴f(t)=( t ?

1 2 ) +2 在 t≥4 上递增. t
1 17 = 得证. 4 4

∴f(t)≥f(4)=4+

-3-


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