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北京市京源学校09-10学年高二下学期期末考试(数学理)


2009-2010 学年度第二学期期末考试 高二数学理科试卷
一、选择题 1.如果复数 A.0

1 ? bi 1? i

(b ? R) 的实部和虚部互为相反数,则 b 等于 a
B.1 C.-1 D.2

2.3. 若 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? a7

x7 ,则 a2 的值是(a ) A.84 3 已 知 n B.-84 为 正 偶 数 C.280 , 用 数 D.-280 学 归 纳 法 证 明

1?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2( ? ? ? ? ) 时,如果用假设 n=k(k≥2 为偶数) 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n
) A.n=k+1 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立

时命题为真,则还需要用归纳假设再证(b

4.从 10 种不同的作物种子中选出 6 种,放入分别标有 1 号至 6 号的瓶子中展出,如果甲、 乙两种种子不能放入 1 号瓶内,那么不同的放法共有
2 4 A. C10 A8 种 1 5 B. C9 A9 种 1 5 C. C8 A8 种

( d



1 5 D. C8 A9 种

5.极坐标方程 ( ? ? 1)(? ? ? ) ? 0( ? ? 0) 表示的图形为( c A.两个圆 6.设 f ( x ) ? ? A.
3 4



B 两条直线
? ?x , ?2 ? x, ?
2

C 一个圆和一条射线

D 一条直线和一条射线 )

x ? [0,1] ,函数图像与 x 轴围成封闭区域的面积为(c x ? (1,2]

B.

4 5

C.

5 6

D.

6 7

7. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S ? ? , 3 4, 6?.令事件 A ? ?2,3,5? , 1 2, 5, , 事件 B ? ? , 4, 6?,则 P A B 的值为( c ) 1 2, 5, A.

? ?
2

3 5

B.

1 2
x

C.

2 5


D.

1 5

8.下列关于函数 f ( x) ? (2 x ? x )e 的判断正确的是( d ② f (? 2) 是极小值, f ( 2) 是极大值. ③ f ( x ) 没有最小值,也没有最大值. ④ f ( x ) 有最大值,没有最小值.

① f ( x) ? 0 的解集是 {x 0 ? x ? 2} , f ( x) ? 0 的解集是 {x x ? 0 或 x ? 2} .

(A)①③ 二、填空题

(B)①②③

(C)②④

(D)①②④

9. 如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部 分都是以正方形的顶点为圆心,半径为

a 的圆孤,某人向此板投镖,假 2

a

设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击 中阴影部分的概率是 1 ?

? 。 4

10. 某班甲、乙两名同学进入高中以来 5 次数学考试成绩的茎叶图如图,甲、乙两人 5 次数 学考试成绩的中位数分别为_84,82__________,平均数分别为__84,84_________. 11. 如图, 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A ,PO 交圆 O 于 B, C 两点,PA ? 3, PB ? 1, 则圆 O 的半径为 1 , ?C ?
30?

.

A

12. 直线 l : x ? 3 y ? 0 与曲线 C : ?

? x ? a ? 2 cos? ? (? ? y ? 2 sin ? ?

为参数, a ? 0 )有两个公共点 A, B ,且 AB ? 2 ,则实数

P

B
甲 6 7 4 3 0 7 8 9

O
乙 9 0 1 2 8

C

a 的值为 2 ;在此条件下,以直角坐标系的原点为极点, x 轴正方向为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为
?2 ? 4? cos? ? 2 ? 0
1 3 13. 观察以下不等式: 1 ? 2 ? 2 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? 3 2 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 4 2 3 4
…… 可以归纳出对于大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式 1 ? 则右端 f(n)的表达式应该为 f ( n) ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? f ( n) , 2 2 3 n

2n ? 1 。 n

14.若满足 x ? y ? 2 y ? 0 的实数 x, y ,使不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值
2 2

范围是 三、计算题:

[ 2 ? 1, ??)

15. 已知 A,B,C 为锐角 ?ABC 的三个内角,向量 m

? (2 ? 2sin A,cos A ? sin A) ,

n ? (1 ? sin A,cos A ? sin A) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 y ? 2sin B ? cos(
2

? (2 ? 2sin A)(1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(cos A ? sin A) ? 0
? 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A

解: (Ⅰ)? m ? n ,

??

?

2? ? 2 B) 取最大值时角 B 的大小. 3

1 ? 2cos2 A ? 1 ? 2cos2 A ? cos2 A ? . 4 1 ? ? ?ABC 是锐角三角形,?cos A ? ? A ? . 2 3
(Ⅱ)? ?ABC 是锐角三角形,且 A ?

?

3



?

?
6

?B?

?
2

? y ? 2sin 2 B ? cos( ?

2? 1 3 ? 2B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 3 2 2

3 3 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 1 2 2 3 ? ? 5 ?. 当 y 取最大值时, 2 B ? ? 即 B ? 3 2 12 16. 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 ,O 是
AB 中点.
(Ⅰ)在棱 PA 上求一点 M ,使得 OM ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值.

解 (Ⅰ)当 M 为棱 PA 中点时, OM ∥平面 PBC . 证明如下:

? M , O 分别为 PA, AB 中点,
? OM ∥ PB
又 PB ? 平面 PBC , OM ? 平面 PBC

? OM ∥平面 PBC .
(Ⅱ)连结 OC , OP

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
?OC ⊥ AB , OC ? 1 .
同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ? 2 ,

z
P

A

O
B

C

y

x

? PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 , ??POC ? 90? .
? PO ⊥ OC .
? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,

? PO ⊥平面 ABC . ? PO ? 平面 PAB
? 平面 PAB ⊥平面 ABC .
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) ,

??? ? ??? ? ? BC ? (?1,1,0) , PB ? (1,0, ?1) . ??? ? 由(Ⅱ)知 OP ? (0,0,1) 是平面 ABC
的一个法向量. 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ?n ? BC ? 0 ?? x ? y ? 0 ? ?? 则 ? ??? . ? n ? PB ? 0 ? x ? z ? 0 ? ?
令 z ? 1 ,则 x ? 1, y ? 1 ,

? 平面 PBC 的一个法向量 n ? (1,1,1) . ??? ? ??? ? OP ? n 1 3 ? . ? cos ? OP, n ?? ??? ? ? 3 | OP | ? | n | 1? 3
? 二面角 P ? BC ? A 的平面角为锐角, ? 所求二面角 P ? BC ? A 的余弦值为

3 . 3

17.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正 四面体面朝下的数字分别为 x1 , x2 ,记 ? ? ( x1 ? 3)2 ? ( x2 ? 3)2 . (1)分别求出 ? 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望. 解: (1)掷出点数 x 可能是: 1, 2, 3, 4. 则 x ? 3 分别得: ?2, ? 1, 0,1. 于是 ( x ? 3) 的所有取值分别为: 0, 1, 4.
2

因此 ? 的所有取值为:0,1,2,4,5,8. 当 x1 ? 1 且 x2 ? 1 时, ? ? ? x1 ? 3? ? ? x2 ? 3? 可取得最大值 8 ,
2 2

此时, P ?? ? 8 ? ?

1 1 1 ? ? ; 4 4 16
2 2

当 x1 ? 3 且 x2 ? 3 时, ? ? ? x1 ? 3? ? ? x2 ? 3? 可取得最小值 0 . 此时, P ?? ? 0 ? ?

1 1 1 ? ? . 4 4 16

(2)由(Ⅰ)知 ? 的所有取值为:0,1,2,4,5,8.

P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 8 ? ?

1 ; 16 4 ; 16

当 ? =1 时,? x1 , x 2 ? 的所有取值为(2,3)(4,3)(3,2)(3,4) 、 、 、 .即 P ? ? ? 1? ? 当 ? =2 时, ? x1 , x 2 ? 的所有取值为(2,2)(4,4)(4,2)(2,4) 、 、 、 . 即 P ?? ? 2 ? ?

4 ; 16 2 ; 16 4 . 16

当 ? =4 时, ? x1 , x 2 ? 的所有取值为(1,3)(3,1) 、 .即 P ?? ? 2 ? ?

当 ? =5 时, ? x1 , x 2 ? 的所有取值为(2,1)(1,4)(1,2)(4,1) 、 、 、 .即 P ?? ? 2 ? ? 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 4 5 8

1 1 1 4 4 8 18 已知函数 f ( x) ? a ln ( 2 x ? 1 ) ? bx ? 1 .

1 16

1 4

1 16

(Ⅰ)若函数 y ? f (x) 在 x ? 1 处取得极值,且曲线 y ? f (x) 在点 ( 0 , f (0) ) 处的切线 与直线 2x ? y ? 3 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若 b ?

1 ,试讨论函数 y ? f (x) 的单调性. 2 1 , ??) . 2

解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (?

f ?( x) ?

2bx ? 2a ? b 2x ?1

3 ? ? f ?(1) ? 0 ?a ? ? 由题意 ? ,解得 ? 2 ? f ?(0) ? ?2 ?b ? 1 ?

?a ? ?
(Ⅱ)若 b ?

3 . 2

1 1 , 则 f ( x) ? a ln(2 x ? 1) ? x ? 1 . 2 2 2 x ? 4a ? 1 . 4x ? 2 2 x ?4 a ? 1 ?0 ,由函数定义域可知,4 x ? 2 ? 0 ,所以 2 x ? 4a ? 1 ? 0 4x ? 2 1 , ??) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2 1 , ??) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2

f ?( x) ?

(1)令 f ?( x) ?

①当 a ? 0 时, x ? ( ?

②当 a ? 0 时, x ? ( ?2a ? (2)令 f ?( x) ?

2 x ? 4a ? 1 ? 0 ,即 2 x ? 4a ? 1 ? 0 4x ? 2

①当 a ? 0 时,不等式 f ?( x) ? 0 无解; ②当 a ? 0 时, x ? (? , ?2a ? ) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (?

1 2

1 2

1 , ??) 为增函数; 2 1 , ?? ) 为增函数; 2

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 ( ?2a ? 在区间 ( ? 19.数列{an}满足 a1 ? (1)写出 a 2 , a3 , a 4 (2)猜出 an ,并用数学归纳法证明。 解: (1)由 S 2 ?

1 1 , ?2a ? ) 为减函数. 2 2

1 n( n ? 1) an , ,前 n 项和 S n ? 6 2

2?3 1 a 2 ? a1 ? a 2 得: a 2 ? 2 12 3? 4 1 a3 ? a1 ? a 2 ? a3 得: a 3 ? 由 S3 ? 2 20 4?5 1 a 4 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 得: a 4 ? 由 S4 ? 2 30

(2)猜想: a n ?

1 (n ? 1)(n ? 2)

证明:①当 n=1 时, a1 ?

1 1 1 , a1 ? ? ,等式成立。 6 (1 ? 1)(1 ? 2) 6

②假设当 n=k 时等式成立,则 a k ?

1 ,当 n=k+1 时, (k ? 1)(k ? 2)

a k ?1 ? S k ?1 ? S k ?

(k ? 1)( k ? 2) k (k ? 1) a k ?1 ? ak 2 2

?

(k ? 1)(k ? 2) k (k ? 1) 1 a k ?1 ? ? 2 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) k a k ?1 ? ? 2 2(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) k ]?? 2 2(k ? 2)

a k ?1 ?

a k ?1 [1 ?

a k ?1 ?

1 ,综合①②,等式成立。 (k ? 2)(k ? 3)
1 1 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? cx ? d (a, c, d ? R)满足 f (0) ? 0, 3 4

20.已知函数

f ' (1) ? 0, 且f ' ( x) ? 0在R 上恒成立
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? , 解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0; 4 2 4

(3)是否存在实数 m,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx在区间 m, m ? 2] 上有最小值-5?若 [ 存在,请求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)? f (0) ? 0, ? d ? 0

? f ' ( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f ' (1) ? 0, 有a ? c ? 2 2 1 ? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ? x ? c ? 0 恒成立 2 1 1 2 即 ax ? x ? ? a ? 0 恒成立 2 2 显然 a ? 0 时,上式不能恒成立 1 1 ? a ? 0, 函数 f ?( x) ? ax 2 ? x ? ? a 是二次函数 2 2
由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 于是由二次函数的性质可得

?a ? 0, ?a ? 0, ? 即? 2 1 ? 1 2 1 ?a ? a ? 1 ? 0, ?(? 2 ) ? 4a( 2 ? a) ? 0. ? 2 16 ? ?

?a ? 0, ? 1 2 即? , ?(a ? 4 ) ? 0 ?

解得 : a ?

1 4

a?c?

1 . 4

1 1 1 1 . ? f ?( x) ? x 2 ? x ? . 4 4 2 4 1 1 1 3 b 1 ?由f ?( x) ? h( x) ? 0, 即 x 2 ? x ? ? x 2 ? bx ? ? ? 0 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? (b ? ) x ? ? 0, 即( x ? b)( x ? ) ? 0 2 2 2 1 1 1 1 1 当 b ? 时, 解集为 ( , b), 当b ? 时, 解集为 (b, ) ,当 b ? 时, 解集为 ? . 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 (3)? a ? c ? , ? f ?( x ) ? x ? x ? 4 4 2 4 1 1 1 ? g ( x) ? f ?( x) ? mx ? x 2 ? ( ? m) x ? . 4 2 4 该函数图象开口向上,且对称轴为 x ? 2m ? 1. 1 2 1 1 假设存在实数 m 使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? 区间 [m.m ? 2] 上 4 2 4
(2)? a ? c ? 有 最小值-5. ①当 m ? ?1 ,2m ? 1 ? m,函数g ( x)在区间 m, n ? 2] 上是递增的. 时 [

1 1 1 ? g (m) ? ?5,即 m 2 ? ( ? m)m ? ? ?5. 4 2 4 7 7 7 解得 m ? ?3或m ? . ? ? ?1, ? m ? 舍去 3 3 3
②当 ? 1 ? m ? 1 , m ? 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 m,2m ? 1] 上是递减的, 而在 时 [ 区间 [2m ? 1, m ? 2] 上是递增的,

? g (2m ? 1) ? ?5.


1 1 1 (2m ? 1) 2 ? ( ? m)( 2m ? 1) ? ? ?5 4 2 4 1 1 1 1 21或m ? ? ? 21, 均应舍去 解得 m ? ? ? 2 2 2 2

[ ③当 m ? 1 时, 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 m, m ? 2] 上递减的
? g (m ? 2) ? ?5



1 1 1 (m ? 2) 2 ? ( ? m)( m ? 2) ? ? ?5. 4 2 4

解得 m ? ?1 ? 2 2或m ? 1 ? 2 2.其中m ? 1 ? 2 2 应舍去. 综上可得,当 m ? ?3或m ? ?1 ? 2 2 时, 函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx在区间 m, m ? 2]上有最小值? 5. [


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