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27.2.4二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质


y=a(x-h)2+k 的图象和性质

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。 y=ax2
k>0 上移 k<0 下移 y=ax2+k

左加 y=ax2
右减

y=a(x-h)2

1 2 y ? ? ( x ? 1 ) ? 1 的图像.指出它的开口方向、 例3.

画出函数 2

顶点与对称轴、

解:
x

先列表
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 … …

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5

-3 -1.5

-1 -1.5

-3 -5.5

再描点
后连线.

解: 先列表
x
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2



-1 -5.5 -3 -1.5 -1.5 …
1 ( x ? 1) 2 ? 1 2

-4

-3

-2

-1

0

… -3 -5.5 … 1 2

再描点、连线

直线x=-1
y 1 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 o 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y ? ? 2 ( x ? 1) 2 ? 1

(1)抛物线

y??

的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 y ? ? ( x ? 1 ) ?1 抛物线 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

(2)抛物线
y??

y??

平移方法1: 1 向下平移 y ? ? 1 x ? 1 y?? x 2 2 1个单位 向左平移 y ? ? 1 ( x ? 1) ? 1 2 1个单位 平移方法2: x=-1 向左平移y ? ? 1 ( x ? 1) 1 y?? x 2 向下平移 2 1 1个单位 y ? ? ( x ? 1) 2 1个单位
2 2 2 2 2

1 2 x 2

1 ( x ? 1) 2 ? 1 2

有什么关系?

y 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 o 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

x

2

?1

一般地,抛物线y ? a( x ? h) ? k与y ? ax 形状相同 _____ ,
2 2

不同 位置 ____ 。把抛物线y ? ax 2向上(下)向左(右)
平移,可以得到抛物线y ? a( x ? h) 2 ? k。 平移的方向、距离要根据_____ h、k 的值来决定。

抛物线y ? a ( x ? h) 2 ? k有如下特点: 向上 向下 ( 1 )当a ? 0时,开口 ____;当a ? 0,开口 ___; (2)对称轴是直线 ____; x=h (3 )顶点坐标是 ______ ( h,k) 。

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
向左 ( 右 ) 平移 向上 ( 下 ) 平 2+k 2 y=a(x - h) 2 y=a(x-h) y=ax |h|个单位 移|k|个单位 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 2+k 2 y=a(x - h) y=ax 移|k|个单位 移|h|个单位

2 抛物线y=a(x-h) +k有如下

特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).

1.完成下列表格:
二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 对称轴 顶点坐标

向上 向下 向上

直线x=-3 (-3, 5 ) 直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 )

y=-3(x-1)2-2 y = 4(x-3)2+7

( 3 , 7)

y=-5(2-x)2-6 向下 直线x=2 ( 2 , -6 ) 2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?

画出下列函数图象,并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点,最大值或 最小值各是什么及增减性如何?。

y= 2(x-3)2+3 y= ?2(x+3)2-2 y= ?2(x-2)2-1 y= 3(x+1)2+1

各种形式的二次函数的关系 y = a( x - h )2 + k
左 位 个 移右 平 单

|h|

|k|



移上 下 个 平 单

y = ax2 + k
上下平移
|k|个单位

y = a(x - h )2
y= ax2
左右平移
|h|个单位

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。

1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C ) 2 2 y ? ? 2 x ? 2 y ? 2 x ?2 A. B. 2 1 2 y ? ? 5( x ? 2) ?6 y ? ? ( x ? 2) ? 2 D. C. 2
2 y ? 2( x ? m ) ? n 的顶点坐标是( C 2.抛物线 ,-n) A. ( m,n) B. ( m

)

,-n) ,n) C. ( ? m D. (?m 2 y ? ? 5( x ? m ? n ) ? n ? m 的对称 3. 抛物线


直线x=n-m .

09:57

灵活变通

1 2 y ? ( x ? 2) ? 3 (-2,3) ,则平移后的函数解析式为 . 2

1 2 若二次函数 y ? x 经过平移变换后顶点坐标为 2

在平面直角坐标系中,如果抛物线 y ? 2 x2 不动,

而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在
2 y ? 2( x ? 2) ? 新坐标系下抛物线的解析式是 .2

13

09:57

(1)与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点 是(-2,3) 的抛物线是________ (2)顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物 线是______ (3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称 后的抛物线是______ (4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称 后的抛物线是______
14 09:57

3、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=a(x-h)2经过点(-3,2) (-1,0)求该抛物线线的解析式。 (2)形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同,但开口方向不同,顶点坐标是(1, 0)的抛物线解析式。
(3)已知二次函数图像的顶点在x轴上, 且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)。求 此函数解析式。

补充题 2 将抛物线 y ? 2 x 左右平移,使得 它与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8,求平移后的抛物 线的解析式。

09:57

作业

1. 已知抛物线y=a(x-h)2过点(-3,0)和 (0,-3)求抛物线解析式。
2. 已知抛物线的顶点在X轴上,且经过 点(1,0)和(-2,4),求它的解析式。

3. 已知抛物线的顶点(-2,0),过点(1,4)求 它的解析式。 4. 已知抛物线的顶点坐标为(2,-4),它与 X轴一个交点横坐标为1,求它的解析式。

作业

5.已知二次函数y=-2x2怎样平移这个函数的图像 ,才能使它经过(0,1)和(1,6)两点?求出 平移后的新函数解析式。 6.设抛物线的顶点为(1,-2),且经过点 (2,3),求它的解析式。 7.已知二次函数图像顶点坐标为C(1,0),直 线y=x+m与该二次函数交于A(3,4)和B点, B在Y轴上,求m的值和这个二次函数。

二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实 数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上

对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常 数,点( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)在抛物线上,试 比较y1,y2,的大小
19 09:57

1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证. 3
?

?1?. y ? 2?x ? 3?

2

? 5;

?2?. y ? ?0.5?x ? 1?2 ;

2 ?4?. y ? 2?x ? 2?2 ? 5; ?5?. y ? 0.5?x ? 4?

4 3 2 ? 2; ?6 ?. y ? ? ? x ? 3? . 4

?3?. y ? ?

x 2 ? 1;

?

2.填写下表:
y=a(x-h)? +k

开口方向

对称轴

顶点坐标

a>0 a<0

1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______

如何平移:
3 y ? ( x ? 1) 2 4

3 y ? ( x ? 1) 2 ? 2 4

3 y ? ( x ? 3) 2 ? 3 4

3 y ? ( x ? 5) 2 ? 2 4

例.要修建一个圆形喷水池,在池中心 竖直安装一根水管.在水管的顶端安 装一个喷水头,使喷出的抛物线形水 柱在与池中心的水平距离为1m处达 到最高,高度为3m,水柱落地处离池 y 中心3m,水管应多长? 3
A 2
1

B(1,3)

O
23

1
09:57

2

C(3,0) x 3

解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) 是图中这段抛物线的顶点.

y
3

B(1,3)

y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) 2 ∵这段抛物线经过点(3,0) 1 3 ∴ 0=a(3-1)2+3 解得: a=- 4 O 因此抛物线的解析式为:
3 y= - 4 (x-1)2+3 (0≤x≤3)

C(3,0) 1 2 3

x

当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.

练一练 某商店将每件进价为80元的某种商品按每 件100元出售,一天可售出约100件,该店想通 过降低售价、增加销售量的办法来提高利润, 经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元, 其销售量可增加约10件。 1、请表示出商品降价x元与利润y元之间的关 系? 2、将这种商品的售价降低多少时,能使销售 利润最大?最大利润是多少?

练一练

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