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2.备课资料(3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)


备课资料 一、和角与差角公式应用的规律 两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换,常见的规律如下: ①配角的方法:通过对角的“合成”与“分解”,寻找欲求角与已知角的内在联系,灵活应用公 式,如 α=(α+β)-β,α=

1 1 (α+β)+ (α-β)等.②公式的逆用与变形公式的活用:既要会从左到右 2 2

展开,又要

会从右到左合并,还要掌握公式的变形.③“1”的妙用:在三角函数式中,有许多关 于“1”的“变形”,如 1=sin2α+cos2α,也有 1=sin90° =tan45° 等. 二、备用习题 1.在△ ABC 中,sinAsinB<cosAcosB,则△ ABC 是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 2. 3 cos A.0

? ? -sin 的值是( 12 12
B.- 2

) C.2 D.2 )

3.在△ ABC 中,有关系式 tanA= A.等腰三角形 C.等腰三角形或 A=60° 的三角形 4.若 cos(α-β)= A.α∈(0,

cos B ? cos C 成立,则△ ABC 为( sin C ? sin B

B.A=60° 的三角形 D.不能确定 )

? ) 2

1 3 ? ? ,cosβ= ,α-β∈(0, ),β∈(0, ),则有( 3 4 2 2
B.α∈(

? ,π) 2

C.α∈(-

? ,0) 2

D.α=

? 2

5.求值:

2 cos5 ? ? sin 25? =_________ cos 25?
1 1 ,cos(α-β)= ,则 tanα·tanβ=___________ 3 5

6.若 sinα·sinβ=1,则 cosα·cosβ=____________ 7.已知 cos(α+β)=

8.求函数 y=2sin(x+10° )+ 2 cos(x+55° )的最大值和最小值. 9.求 tan70° +tan50° - 3 tan50° tan70° 的值. 10.已知 sinβ=m· sin(2α+β). 求证:tan(α+β)= 11.化简

sin( 2 A ? B ) -2cos(A+B). sin A

1? m tanα. 1? m

12.已知 5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα. 13.(2007 年高考湖南卷,16) 已知函数 f(x)=1-2sin2(x+ (1)函数 f(x)的最小正周期; (2)函数 f(x)的单调增区间.

? ? ? )+2sin(x+ )cos(x+ ).求: 8 8 8

参考答案: 1.B 2.C 3.C 4.B 5. 3 6.0 7. ?

1 4

8.∵y=2sin(x+10° )+ 2 cos[(x+10° )+45° ] =2sin(x+10° )+cos(x+10° )-sin(x+10° ) =sin(x+10° )+cos(x+10° ) = 2 cos[(x+10° )+45° ] = 2 cos(x+55° ), 又∵-1≤sin(x+55°)≤1, ∴当 x+55° =k· 360° -90° ,即 x=k· 360° -145° (k∈Z)时,ymin=- 2 ; 当 x+55° =k· 360° +90° ,即 x=k· 360° +35° (k∈Z)时,ymax= 2 . 9.原式=tan(70° +50° ) (1-tan70° tan50° )- 3 tan50° tan70° =- 3 (1-tan70° tan50° )- 3 tan50° tan70° =- 3 +3tan70° tan50° - 3 tan50° tan70° =- 3 .∴原式的值为- 3 . 10.证明:由 sinβ=msin(2α+β) sin[ (α+β)-α]=msin[ (α+β)+α] sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =m[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα] (1-m)· sin(α+β)cosα =(1+m)· cos(α+β)sinα tan(α+β)=

1? m tanα. 1? m

点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的 2α+β 可化为结论式中的 α+β 与 α 的和,不妨将 α+β 作为一个整体来处理.此方法是综合 法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.

sin[( A ? B) ? A] ? 2 cos( A ? B) sin A sin( A ? B) cos A ? cos( A ? B) sin A ? sin A sin A sin[( A ? B) ? A] sin B ? . = sin A sin A
11.原式= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变换的问题只涉及角.一般来说,三角函数式 的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点. 12.∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 即 5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα. 点评:注意到条件式的角是 β 和 2α+β,求证式中的角是 α+β 和 α,显然“不要”的角 β 和 2α+β 应由要保留下来的角 α+β 与 α 来替代.三角条件等式的证明, 一般是将条件中的角 (不 要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角 为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化 了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变 角方式有:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α 当然变换形式不唯一,应因题而异,要具 体问题具体分析.

? ? )+sin(2x+ ) 4 4 ? ? = 2 sin(2x+ + ) 4 4 ? = 2 sin(2x+ ) 2
13.f(x)=cos(2x+ = 2 cos2x. (1)函数 f(x)的最小正周期是 T= (2)当 2kπ-π≤2x≤2kπ,即 kπ递增区间是[kπ-

? ,kπ](k∈Z). 2

? ≤x≤kπ(k∈Z)时,函数 f(x)= 2 cos2x 是增函数,故函数 f(x)的单调 2

2? =π; 2

(设计者:仇玉法)


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