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1云南省昆明一中2014届高三开学考试


昆明第一中学 2014 届高三开学考试 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i 2. 已知 sin(x ? A. ? B. ?i C. 2i

1 = ( z D. ?2i

)

>
?
4

)?

7 25

3 ,则 sin 2 x 的值为 ( ) 5 9 7 B. C. 25 25

D.

16 25

3.公比不为 1 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 ?3a1 , ? a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 , 则 S4 ? ( ) A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40

4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直 角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的表面积为 ( ) A. 1 ? 2 B. 2 ? 2 2
正视图 侧视图

1 C. 3

D. 2 ? 2
俯视图

5.变 量 U 与 V 相 对 应 的 一 组 样 本 数 据 为 (11.4) , , (2, 2.2) ,

(3 ,3) , (4,3.8) ,由上述样本数据得到 U 与 V 的线性回归分析, R 2 表示解释变量对于预
报变量变化的贡献率,则 R = ( A.
2

) C.1 )
y
2 1

3 5

B.

4 5
y
2 1

D.3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图象可能是(
y
2 1

y
? 2

2 1

O
-1

? 2

?

x

O
-1

?

x

O
-2

? 2

?

x

O ?
-2

?

x

2

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 ,a2 ,┅,a 50 是 该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面 的程序用来同时统计全班成绩的平均分: A, 男生平均分: M, 女生平均分:W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩 用正数,女生的成绩用其成绩的相反数.那么在图中空白的 判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )

1

M ?W 50 M ?W C. T ? 0? , A ? 50
A. T ? 0 ? , A ?

M ?W 50 M ?W D. T ? 0 ? , A ? 50
B. T ? 0 ? , A ?
2

8 . 若 曲 线 f ( x) ? a c o s x与 曲 线 g ( x) ? x ? b x? 1在 交 点 (0, m) 处 有 公 切 线 , 则

a ?b ? (
A. ?1

) B. 0 C. 1 D. 2

9.已知函数 f ( x) ? ? ( )

?? x 2 ? 4 x , x ? 0 ,若 f ? a ? 2 ? ? f (a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 2 ? x ? 4 x, x ? 0
B. a ? 1 D. a ? 1

A. a ? ?1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 C. a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3

10. 已知数列 {a n } 满足 an ?1 ? an ? an ?1 ( n ? 2 ),a1 ? 1 , a2 ? 3 , 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则下列结论正确的是 ( )

a100 ? ?1 , S100 ? 5 B. a100 ? ?3 ,S100 ? 5 C. a100 ? ?3 ,S100 ? 2 D. a100 ? ?1 ,S100 ? 2 A.
11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,M 是抛物线 C 上
2

的点,若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9? ,则 p ? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

(

)

x 12. 设函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x), 且当 x ? 0 时,f ( x) ? ( ) , 又函数 g ( x) ? x sin ? x ,

1 4

则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ?

? 1 ? , 2 上的零点个数为 ( ) ? 2 ? ?
D. 6

A. 3 B. 4 C. 5 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
?x ? y ?1 ? 0 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2 x ? y 的最大值为 ? ?x ? 0 ?



x2 y 2 14.已知 F (c, 0) 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线 a b
与圆 E : ( x ? c) ? y ?
2 2

1 2 c 相切,则双曲线 C 的离心率为 2



2

15.已知向量 a, b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1, b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b 方向上的投 影是 .

? ?

?

?

16. 已知 A 、B 、C 、D 四点在半径为

29 的球面上, 且 AC ? BD ? 13, AD ? BC ? 5 , 2


AB ? CD ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是

昆明第一中学 2014 届高三开学考试 数学(理)试题
姓名 一.选择题 题号 答案 二.填空题 13 14 15 16 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 四、17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c , 若 a cos (Ⅰ) 求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ) 若 ?B ? 60? , b ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2

班级 3 4 5 6

学号 7 8

成绩 9 10 11 12

1

2

C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 气象部门提供了某地今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t (单 t ? 22℃ 22℃<t ? 28℃ 28℃<t ? 32℃ 位:℃) 天数 6 12

t ? 32 ℃

Y

Z

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示, 六月份的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t (单位:℃)对西瓜的销售影响 如下表: 日最高气温 t ( 单 t ? 22℃ 22℃<t ? 28℃ 28℃<t ? 32℃ t ? 32 ℃ 位:℃)
3

日销售额 X (千元) 2

5

6

8

(Ⅰ) 求 Y , Z 的值; (Ⅱ) 若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (Ⅲ) 在日最高气温不高于 32℃时,求日销售额不低于 5 千元的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如 图, 在四 棱锥 P ? ABCD 中 , ABCD为 平 行四 边形 ,且 BC ? 平 面 PAB,

PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 .
(Ⅰ) 求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ) 若 AB ? 1 , 求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.

P

M D A

C

B

4

20. (本小题满分 12 分) 已知平面内与两定点 A(2, 0) , B(?2, 0) 连线的斜率之积等于 ?

1 的点 P 的轨迹为曲 4

线 C1 ,椭圆 C2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为

5 . 5

(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、Q 四点,当四边形 MNPQ 面积最大时,求椭圆 C2 的方程及此四边形的最大面积.

21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ). (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0,5) 时, f ( x) ?

9x 成立. x ?1

5

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? ? x ? a cos ? (? 为参数 , a ? 0 )与直线 l 的参数方程是 ? ? y ? 3 sin ?

?x ? 3 ? t ( t 为参数)有一个公共点在 x 轴上.以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? ? y ? ?1 ? t
建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; (Ⅱ)若点 A( ?1 ,? ) 、 B( ? 2 , ? ?

2? 4? )、 C ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,求 3 3

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,求 a 的值.

6

参考答案 一.选择题: 1. A 2. B 7. D 8. C 二、填空题: 13. 3. A 9.D 4. D 10. A 5. C 11. B 16. 8 6.C 12. C

1 2

14. 2

15. ? 3

三、解答题: 17.解:证明: (Ⅰ)证法一:

a cos 2

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

即 a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) ? 3b 由正弦定理得:

sin A ? sin A cos C ? sin C ? cos Asin C ? 3sin B
即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得: 整理得: a ? c ? 2b 故 a、b、c 成等差数列. 证法二: ∵ a cos
2

…… 6 分

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

∴ a ? c ? (a cos C ? c cos A) ? 3b ∴ a ? c ? (a ?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?c? ) ? 3b 2ab 2bc

整理得: a ? c ? 2b 故 a 、 b 、 c 成等差数列. 解: (Ⅱ)由 ?B ? 60? , b ? 4 及余弦定理得: 4 ? a ? c ? 2ac cos 60?
2 2 2

∴ (a ? c) ? 3ac ? 16
2

又由(1)知 a ? c ? 2b ,代入上式得 4b ? 3ac ? 16 ,解得 ac ? 16
2

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ac sin B ? ac sin 60o ? 4 3 . 2 2
o

…… 12 分

18.解:(Ⅰ) 由已知得: P(t ? 32 C ) ? 0.9

? P(t ? 32 oC ) ? 1 ? P(t ? 32 oC ) ? 0.1

7

? Z ? 30 ? 0.1 ? 3
Y ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .
(Ⅱ) P(28 oC ? t ? 32 oC ) ? …… 4 分

9 ? 0.3 30
6 0.3 8 0.1

六月份西瓜销售额 X 的分布列为

X
P

2 0.2

5 0.4

? E( X ) ? 2 ? 0.2 ? 5 ? 0.4 ? 6 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 5
D( X ) ? (2 ? 5)2 ? 0.2 ? (5 ? 5) 2 ? 0.4 ? (6 ? 5) 2 ? 0.3 ? (8 ? 5) 2 ? 0.1 ? 3 .…… 9 分
(Ⅲ) ? P(t ? 32 C ) ? 0.9 , P(22 C ? t ? 32 C ) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.7
o o o

?由条件概率得: P( X ? 5 t ? 32 oC ) ? P(22 oC ? t ? 32 oC t ? 32 oC )
P(22 oC ? t ? 32 oC ) 0.7 7 ? ? . …… 12 分 = P(t ? 32 oC ) 0.9 9
19.解: (Ⅰ)证明: 连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的中点. ∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM ?? PD , …… 2 分

P

M D G O F A

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . …… 4 分

C AD ? 平面 PAB ,故 PA B (Ⅱ) 解法一 : ∵ BC ? 平面 PAB , AD ?? BC , 则 ? AD ,
又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . …… 6 分

取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且 MF ? ∴ MF ? 平面ABCD .

1 PA ? 1 . 2

作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG ,由于 MF ? AC ,且 MF ? FG ? F , ∴ AC ? 平面MGF ,∴ AC ? MG . ∴ ?MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角. …… 9 分

8

1 ?2 GF AF AF ? BC 2 5 由 Rt ?AGF ∽ Rt ?ABC ,得 ,得 , ? GF ? ? ? BC AC AC 5 5
GF 在 Rt ?MGF 中, cos ?MGF ? ? MG
∴ 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

5 5 1? 1 5

?

6 . 6

6 . 6

…… 12 分

(Ⅱ) 解法二: ∵ BC ? 平面 PAB , AD / / BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . …… 6 分

以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间 直角坐标系 A ? xyz .
z P

1 则 A(0,0,0) , C (2,1,0) , P(0,0,2) , B(0,1,0) , M (0, ,1) , 2 ???? ???? ? 1 ∴ AC ? (2,1,0) , AM ? (0, ,1) , 2 x ? 求得平面 AMC 的法向量为 n ? (1, ?2,1) ,
??? ? 又平面 ABC 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) ,
C

M D A

O B y

? ??? ? ? ??? ? n ? AP 2 1 6 ? ???? ?? ? ? ∴ cos ? n, AP ?? ?? . 6 1? 4 ?1 ? 2 6 n ? AP
∴ 二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值为 20.解: (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 k PA ? k PB ? ?

y

6 . …… 12 分 6

M B Q O

N A P x

1 , 4

y y 1 则 ? ?? , x?2 x?2 4
∴ C1 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) .………4 分 4 y 2 x2 ? ? 1(m ? n ? 0) , m2 n2

(Ⅱ)如图,设椭圆 C2 的方程为

设 N ( x1 , y1 ) ,由对称性得四边形 MNPQ 的面积为 S ? 4 x1 y1 ,

?

x12 ? y12 ? 1 , 4
9

x1 2 ? y1 x1 ∴ S ? 4 ? 2 ? ? y1 ? 8 ? 4 ? 4 ………8 分 2 2
? x1 ? x1 ? 2 ? y1 ? ?2 ? 当且仅当 ? 2 ,解得 ? 2 ………10 分 ? x1 ? y 2 ? 1 ? y1 ? 1 ? 2 ? ?4
? 1 ? 2 2 ?m 2 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? ,解得 ? 2 12 , ?则 ? m n ? ?n ? n2 5 5 ? ?e ? 1 ? 2 ? m 5 ?
∴椭圆 C2 的方程为

2

y 2 x2 ? ? 1 ,四边形 MNPQ 的最大面积为 4. 3 12 5

………12 分

21.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) , f ?( x) ?

1 ?a, x ?1

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数;

ax ? a ? 1 a ?1 ,又 ? ? ?1 ; x ?1 a a ?1 a ?1 由 f ?( x) ? 0 得, ?1 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? a a a ?1 a ?1 ∴函数 f ( x) 在 (?1, ? ) 上是增函数;在 (? , ??) 上是减函数.………4 分 a a
当 a ? 0 时, f ?( x) ? (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , 要证 x ? (0,5) 时 f ( x) ?

9x 成立,由于 x ? 1 ? 0 , x ?1
2

∴只需证 ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8 x ? 0 在 x ? (0,5) 时恒成立, 令 g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8x ,则 g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7
2

设 h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7 , h?( x) ?

1 ? 2 ? 0 , x ? (0,5) x ?1

∴ g ?( x) 在 (0,5) 上单调递增,∴ g ?(0) ? g ?( x) ? g ?(5) ,即 ?7 ? g ?( x) ? ln 6 ? 3 ; 即 ?x0 ? (0,5) ,使 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,5) 上单调递增, 而 g (0) ? 0, g (5) ? 6ln 6 ? 15 ? 6ln e ? 15 ? 6 ? 2 ? 15 ? 0 ,
2

10

∴当 x ? (0,5) 时, ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8 x ? 0 恒成立,即原命题得证.………12 分
2

23.解: (Ⅰ) 直线 l 的的普通方程为: x ? y ? 2 ,与 x 轴的交点为 (2, 0) ,

又曲线 C 的普通方程为:

x2 y 2 x2 y2 , 所以, , 故所求曲线 普通方程是: ? ? 1 ? ? 1. C a ? 2 a2 3 4 3
…………4 分

(Ⅱ)因点 A( ?1 ,? ), B( ?2 , ? ?

2? 4? ), C ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,即点 3 3 2? 2? A( ?1 cos ? , ?1 sin ? ) 、 B( ?2 cos(? ? ), ?2 sin(? ? )) 3 3 4? 4? 、 C ( ?3 cos(? ? ), ?3 sin(? ? )) 在曲线上. 3 3 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 2 ? 2 2 2 ?1 ? 2 ?3 OA OB OC
1? 2 2? 4? ? cos ? ? cos 2 (? ? ) ? cos 2 (? ? ) ? ? 4? 3 3 ? 1? 2? 4? ? 2 2 + ?sin 2 ? + sin( ?+ ) + sin( ?+ ) 3? 3 3 ? ? 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 4 2 2 2 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 3 2 2 2 1 3 1 3 7 = ? + ? = .…………10 分 4 2 3 2 8 ?

24.解: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4? .…………4 分

? a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? ( ?3 ? x ? a ) (Ⅱ)因为 f ( x ) ? ? a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ?
当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的解为 ?

? x ? ?3 ?x ? a 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6

? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? a ?9 或? a ? 3 ,又因为解集 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 .…………10 分 x? x? ? ? ? 2 ? 2
\
11


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