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圆锥曲线的基础训练题


圆锥曲线典型例题
一.求标准方程 1.讨论

x2 y2 + = 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k

2.求适合条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (2, 6 ) ; ? (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为 6. 3.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点 P? 3, ? , Q? ? (2) c =

? 15 ? ? 4?

? 16 ? ,? 且焦点在坐标轴上. 5 ? 3 ?

6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上. x2 y2 ? = 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 2 16 4
5 . 2

(3)与双曲线

(

)

(4) 过点 P (3 , ? 2 ) ,离心率 e =

(5) F1 、 F2 是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点,且 ∠F1 PF2 = 60° , S ?PF1F2 = 12 3 ,离 心率为 2 . (6)双曲线的渐近线方程为 3 x ± 2 y = 0 ,两条准线间的距离为

16 13 。 13

4. (1)求与双曲线

x2 y2 ? = 1 共渐近线且过 A 2 3, 3 点的双曲线方程及离心率. ? 16 9

(

)

(2)求以曲线 2 x 2 + y 2 ? 4 x ? 10 = 0 和 y 2 = 2 x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双曲线的标准方程. (3)中心在原点,一个焦点为 F (1,) 的双曲线,其实轴长与虚轴长之比为 m ,求双曲线标准方程. 0 二.求离心率 说明:求离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 a ,求 c ,再求比.二是列含 a 和 c 的齐次 方程,再化含 e 的方程,解方程即可. 1.一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 2. 已知椭圆

x2 y2 1 + = 1 的离心率 e = ,求 k 的值. k +8 9 2

3.已知双曲线的渐近线方程是 3 x + 4 y = 0 , 3 x ? 4 y = 0 ,求双曲线的离心率.

4.设双曲线

x2 y 2 ? = 1 (0 < a < b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到直线 l a2 b2

的距离为

3 c ,求双曲线的离心率. 4

三.求值问题 1.已知双曲线 求 ∠F1 PF2 .

x2 y2 ? = 1 的右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上的左支上且 PF1 PF2 = 32 , 9 16

2.已知 F1 、 2 是双曲线 F 的面积. 3.若椭圆

x2 ? y 2 = 1 的两个焦点, P 在双曲线上且满足 ∠F1 PF2 = 90o , ?F1 PF2 点 求 4

x2 y2 x2 y2 + = 1 (m > n > 0) 和双曲线 ? = 1 ( s, t > 0) 有相同的焦点 F1 和 F2 ,而 P 是 m n s t


这两条曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 的值是

4.过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0 ) 的焦点作倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于 A、B 两点,求 AB 。 5.过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0 ) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,求 四.轨迹问题 1.求下列动圆圆心 M 的轨迹方程并说明它是什么样的曲线: (1)与⊙ C: + 2 ) + y 2 = 2 内切,且过点 A(2,) (x 0
2

1 1 + 的值。 AF BF

(2)与⊙ C1:x 2 + ( y ? 1) = 1 和⊙ C2:x 2 + ( y + 1) = 4 都外切.
2 2

(3)与⊙ C1: + 3) + y 2 = 9 外切,且与⊙ C2: ? 3) + y 2 = 1 内切. (x (x
2 2

2.在 ?ABC 中, BC = 2 ,且 sin C ? sin B = 3.双曲线

1 sin A ,求点 A 的轨迹. 2

x2 ? y 2 = 1 有动点 P , F1 , F2 是两个焦点,求 ?PF1 F2 的重心 M 的轨迹方程。 9

五.第二定义的应用

x2 y2 1.已知椭圆 2 + 2 = 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b > 1) ,求 P 到左准线的距离. 4b b
2.椭圆

x2 y ? 9? + = 1 上不同三点 A( x1,y1 ) , B? 4, ? , C ( x2,y2 ) 与焦点 F (4,) 的距离成等差数 0 25 9 ? 5?

2

列. (1)求证 x1 + x2 = 8 ;2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k . 3.已知 M ( x1,y1 ) 是双曲线

x2 y2 ? = 1 上一点.求点 M 到双曲线两焦点 F1 、 F2 的距离. a2 b2

y2 x2 ? = 1 的一支上有三个点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , 6) 、 C ( x3 , y3 ) 与焦点 F (0 , 5) 的距 4.在双曲线 12 13
离成等差.(1)求 y1 + y3 (2)求证线段 AC 的垂直平分线经过某个定点,并求出定点的坐标. 六.弦长、中点弦、弦斜率问题 说明: (1)直线与曲线的问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. (2)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过 定点的弦中点轨迹. (3) “点差法”解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (4)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” . 1. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x + y ? 1 = 0 交于 A 、B 两点, 为 AB 中点, M OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程. 2.已知椭圆

x2 ?1 1? + y 2 = 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

3.过抛物线 y 2 = 4 x 的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于 M、N 两点,问直线的倾斜角多大 时,以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点? 4. 已知双曲线 S 的两条渐近线过坐标原点,且与以 A( 2 , 0) 为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线

S 的一个顶点 A' 和 A 关于直线 y = x 对称,设直线 l 过点 A ,斜率为 k .
(1)求双曲线 S 的方程;(2)当 k = 1 时,在双曲线 S 的上支求点 B ,使其与直线 l 的距离为 2 ; (3)当 0 ≤ k < 1 时,若双曲线 S 的上支上有且只有一个点 B 到直线 l 的距离为 2 ,求斜率 k 的值及 点 B 的坐标. 七.最值问题

x2 y2 1.设 AB 是过椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 F1 ( ? c, 0) ,则△F1AB 的 a b
面积最大为 2.已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且 a 2 b2

| PF1 | = 4| PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大值是
3.已知 A(3,2 ), B (? 4,0 ) ,P 是椭圆

x2 y2 + = 1 上一点,则|PA|+|PB|的最大值为 25 9

4.椭圆

x2 y2 + = 1 的右焦点为 F ,过点 A 1,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM + 2 MF 为最小值时, 16 12

( )

求点 M 的坐标. 5.求椭圆

x2 + y 2 = 1 上的点到直线 x ? y + 6 = 0 的距离的最小值. 3
2

6.已知点 A(3,) , F (2,) ,在双曲线 x ? 0 0

y2 1 = 1 上求一点 P ,使 PA + PF 的值最小. 3 2

7.给定抛物线 y 2 = 2 x ,设 A(a,0 )(a > 0 ) ,P 是抛物线上的一点,且 PA = d ,试求 的最小值。 8.已知直线 l : y = 2 x ? 4 交抛物线 y 2 = 4 x 于 A、B 两点,试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P, 使 的面积最大,并求这个最大面积。
2

9.已知点 ( x, y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上,则 z = x + 九.综合型问题 1.已知椭圆

1 2 y + 3 的最小值是 2



x2 y + = 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准线 l 的距离 4 3

2

MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如果抛物线 y = ax 2 ? 1 上总有关于直线 x + y = 0 对称的相异两点,试求 的范围。 3.已知梯形 ABCD 中, AB = 2 CD ,点 E 满足 AE = λ EC ,双曲线过 C 、 D 、 E 三点,且以 A 、

B 为焦点,当

2 3 ≤ λ ≤ 时,求双曲线离心率的取值范围. 3 4

4. A 、 B 、C 是我方三个炮兵阵地, A 和 B 正东 6 千米,C 在 B 正北偏西 30°,相距 4 千米, P 为敌炮阵地, 某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号, 由于 B 、C 两地比 A 距 P 地远, 因此 4 s 后,B 、

C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km , A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. s
6.设抛物线 的焦点为 F,经过点 F 的直径交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线 的准线上,且 BC// 轴,证明:直线 AC 经过原点 O。


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