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高中数学综合训练系列试题(5)文


高中数学综合训练系列试题(5)
(文科)
说明:txjy 1 本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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2 所有题目均做在答题卷上
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一选择题 : (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 每小题只有一项符合题意)
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1 已知集合 M ? ?? 1,0,1? N ? y y ? cos x, x ? M ,则 M ? N 是 ,
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?

?

( )

A. ?? 1,0,1?
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B ?0,1?
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C ?0?
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D ?? 1
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2 条件 p :| x |? 1, 条件q : x ? ?2, 则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要
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)条件 D.既不充分又不必要 ( )

B.必要不充分

C.充要

3 函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象一个对称中心的坐标是 A. (

3? ,0 ) 8

B. (

3? ,1) 8

C. (

?
8

,1)

D. ( ?

?
8

,?1)

1 4 已知数列{an},如果 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,是首项为 1,公比为 的等 3
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比数列,则 an=( ) 3 1 A. (1- n) 2 3
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3 1 B. (1- n-1) 2 3

2 1 C. (1- n) 3 3

2 1 D. (1- n-1) 3 3 D y=4x-5
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5 曲线 y=x3-3x2-1 在点(1,-3)处的切线方程为 ( ) A y=3x-7 B y=-3x C y=-4x
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6 已知 函数 y ? f ( x) 的图象 过( 0,1 ) ,则 y ? f ( x ? 1) 的 反函数的 图象一定 过点
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1 2

A. (1,2) B. (2,1) C. (0,2) D. (2,0) 7 设 i , j 分别是平面直角坐标系内 x 轴 y 轴正方向上的两个单位向量,在同一直线上有
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?
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?

? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? A B C 三个点, OA ? ?2i ? m j, OB ? ni ? j, OC ? 5i ? j ,若 OA ? OB ,则实数 m , n
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的值分别为(



?m ? 3 ?m ? 3 ? A ? 或? 3 ?n ? 6 ? n ? 2 ?
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3 ? ?m ? 6 ?m ? B ? 或? 2 ?n ? 3 ?n ? 3 ?
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C

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?m ? 3 ?m ? 6 ? 或? ? 3 ?n ? 3 ? n ? 2 ?

3 ? ?m ? 3 ?m ? D ? 或? 2 ?n ? 6 ?n ? 3 ?
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8.二次函数 f(x)满足 f(3+x)=f(3-x),又 f(x)是[0,3]上的增函数,且 f(a)≥f(0),那么实数 a 的 取值范围是( ) A a≥0 B a≤0 C 0≤a≤6 D a≤0 或 a≥6
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9 设函数 f(x) =xsinx,若 x1,x2 ? [ ?
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? ? , ],且 f(x1) < f(x2),则下列结论中必成立的是( 2 2
C
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)

A

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x1 < x2

B

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x12 < x22

x1 > x2

D

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x1+x2 <0

? 9 +x)+3 的最小值为( ) A -3 B -6 C D -1 8 4 ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 设 O A B C 为平面上四个点, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,
10 函数 y=sin2x+5sin(
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? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? c ? ? ?1 , 则 | a | ? | b | ? | c |? ? b c a
A 2 2
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B 2 3
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C 3 3
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D 3 2?
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12

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定义运算:

a b a ? ad ? bc , 若 数 列 {an } 满 足 1 c d 2
) A.34 B.36

1 n 2 ?1 ,且 an 1
C.38

n ?1 an?1

?2

(n? N ) ,则 a10 为(
*
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D.40

二 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.等差数列{an}中,a1= 3,前 n 项和为 Sn,且 S3=S12 则 a8=
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14 已知 sin(? ? x) ? cos(? ? x) ? ?
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5 2 ? 3? 1 ? tan(? ? x) , 且x ? ( , ), 求 13 4 4 1 ? tan(2? ? x)

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15.已知函数 f (x) ,满足 f (a ? b ) ? f (a ) ? f (b),(a, b ?R) 且 (1) ? f 1, 则

f (2) f (3) f (4) f (2006) ? ? ? ??? ? ? f (1) f (2) f (3) f (2005)
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16 若函数 f(x)=

1 x3- 1 ax2+(a-1)x+1 在区间(1,2)内为减函数,在区间(5,+∞)上为增 3 2
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函数,则实数 a 的取值范围是

三解答题: (本大题共 6 小题, ,共 74 分)
17 (本题满分 12 分)
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已知 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) , f ( x) ? 2a ? b ? 2m ?1 ( x, m ? R ) , (1)求 f ( x ) 关于 x 的表达式,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 x ? ?0,

?

?

? ?

? ?? ,且 f ( x ) 的最小值为 5,求 m 的值 ? 3? ?

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18. (本题满分 12 分) 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 以 曲 线 f ( x ) 上 的 点 P(1, f (1)为 切 点 的 切 线 方 程 为 )

y ? 3x ? 1 (1)若 y ? f ( x)在x ? ?2时有极值 求f ( x) 的表达式; , (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x)在[?3,1] 上的最大值
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19 (本题满分 12 分)
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已知函数 f(x)=

1 x2 ? 2
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(x<— 2 ) ,f(x)的反函数为 g(x),点 An(an, ?

1 a n?1

)在曲线 y=g(x)

上(n∈N+),且 a1=1 (1)求 y=g(x)的表达式; (2)求数列{an}的通项公式

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20. (本题满分 12 分) 如图,△AOE 和△BOE 都是边长为 1 的等边三角形, 延长 OB 到 C 使|BC|=t(t>0),连 AC 交 BE 于 D 点.

??? ???? ? ⑴用 t 表示向量 OC 和 OD 的坐标;

y

A

??? 3 ??? ? ? ???? ??? ? ⑵当 OC = OB 时,求向量 OD 和 EC 的夹角的大小 2

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O D B C

E

x

21 (本小题满分 12 分)
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设数列 {an } 的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系

3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,4?)
(1)求证:数列 {an } 是等比数列;

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(2)设数列 {an } 的公比是 f(t) ,作数列 {bn } ,使 b1 ? 1, bn ? f ( 1 )(n ? 2,3,4,?) 求 bn; bn?1 (3)求和: B20 ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? b20 b21 .

22 (本小题满分 14 分)
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已知函数: f ( x) ?

x ?1? a (a ? R且x ? a) a?x 1 ,a+1]时,求 f(x)的值域; 2
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(1)求 f(x)+f(2a-x)的值; (2)当 f(x)的定义域为[a+

(2)设函数 g(x)=x2+|(x-a)f(x)| ,求 g(x) 的最小值

?

高中数学综合训练系列试题(5)
(文科)
参考解答
一 选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分 每小题只有一项符合要求)
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题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 A

5 B

6 A

7 C

8 C

9 B

10 D

11 D

12 C

二 填空题(每小题 4 分,共 16 分 把答案填在题中横线上)
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13 0
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14 ? 12
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15 2005
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16

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[3,6]
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5

三 解答题(本大题6个小题,满分74分,解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤)
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17 (本小题满分12分)
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解: (1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 2m ? 1 ? 3sin 2x ? cos 2x ? 2m

? 2sin(2 x ?
(2)? x ? ?0,

?
6

) ? 2m ?

? f ( x) 的最小正周期是 ?
? 2x ?

……(6 分)

? ?? , ? 3? ?

?
6

?

5 ? ? 6 6

?1 ? 2 s i n x 2? ( 6

?

? )

2

? f ( x) 的最小值是 2m ? 1
18 (本小题满分12分)
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?m ? 2

……(12分)

解:(1)由f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c求导数得f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 过y ? f ( x)上点P (1, f (1))的切线方程为 : y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1)即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1) 而过y ? f ( x)上P (1, f (1))的切线方程为 :

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0 ??4a ? b ? ?12??(3) 由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5

?3 ? 2a ? b ? 3 故? ?a ? b ? c ? 2 ? 1

?2a ? b ? 0??(1) 即? ?a ? b ? c ? 3??(2)

f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5?????????(6分)

(2)由(1)知 f ?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) x

[?3,?2)
+ ↗
3

-2 0 极大
2

f ?(x) f (x)

2 (?2, ) 3
- ↘

2 3

2 ( ,1] 3

0 极小

+ ↗

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) ? 2(?2) ? 4(?2) ? 5 ? 13
f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13
19 (本小题满分12分)
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……(12 分)

解: (1)由 y=

1 得 x 2 ? 2 ? 1 ,∴ x 2 ? 2 ? 2 2 y y x ?2
2

1

∵x<— 2 ,

∴x ? ? 4?

1 y2

∴g(x)= ? 2 ? 12 x

(x>0)

………………(4 分)

(2)∵点 An(an, ?

1 a n ?1

)在曲线 y=g(x)上(n∈N+) ∴ ?

1 a n ?1

= g(an)= ? 2 ?

1 an 2

,

并且 an >0

?

1 1 ? 2? 2 an?1 an
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, ?

1 a
2 n?1

?

1 ? 2(n ? 1, n ? N ) an 2
………… (8 分)

∴数列{

1 an
2

}为等差数列 并且首项为

1 =1,公差为 2 2 a1
∴ an ?



1 an
2

=1+2(n—1),∴ an ?
2

1 ∵an >0 , 2n ? 1

1 2n ? 1

……(12分)

20 (本小题满分 12 分)
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??? ? 1 3 ⑴ OC =( (t+1),- (t+1)),………………………2 分 2 2
∵ BC =t AE ,∴ DC =t AD , AD =

??? ?

??? ?

????

????

????

? ??? 1 ? 1 ??? 3 AC ,又 OA =(2, 2 ), 1+t

??? ??? ??? 1 ? ? ? ???? 3 t 3(t+2) AC = OC - OA =(2t,- 2 (t+2));∴ AD =(2(t+1),- 2(t+1) ),…………4 分
???? ??? ???? ? 2t+1 3 ∴ OD ? OA ? AD =( ,- ) 2(t+1) 2(t+1)
……………………6 分

???? 2 ??? 3 ??? ? ? 1 3 1 3 3 ⑵由 OC = OB 得 t= ,∴ OD =( ,- ), EC =(- ,- ) 2 2 3 3 4 4 ???? ??? ? 1 3 7 ∴ OD · EC =- + = 6 4 12
又∵| OD |= ………………………8 分 …………………10 分

????

7 2 7 7 ,| EC |= = 3 4 2 7

? ???? ??? ???? ??? ? 12 1 ∴cos< OD , EC >= = ,∴向量 OD 与 EC 的夹角为60° ………………12分 7 2
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6

21 (本小题满分12分)
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解: (1)证明:由已知得 3tSn?1 ? (2t ? 3)Sn?2 ? 3t (n ? 3) 减去

3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t ,化得 a n ? 2t ? 3
a n ?1 3t

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当 n=2 时,由已知式及 a1=1 得 a 2 ? 数列{an}是以 1 为首项,

a 3t ? 3 2t ? 3 .? 2 ? . 3t a1 3t
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2t ? 3 为公比的等比数列 …………(4 分) 3t

?3 2 bn ?1 2 (2)解: b1 ? 1, bn ? ? ? bn ?1 . ? ?bn ? 是以 1 为首项, 为公差的 3 3 3 bn ?1
等差数列 bn ? 1 ? (n ? 1) (3)? bk bk ?1 ?

2

2 2n ? 1 ? 3 3

…………… (9 分)

(2k ? 1)( 2k ? 3) , 当 k 为奇数时, bk bk ?1 ? bk ?1k k ?2 ? 9

(2k ? 1)(2k ? 3) (2k ? 3)(2k ? 5) 4(2k ? 3) ? ?? , 9 9 9 ? B20 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b19b20 ? b20b21 ) 4 ? ? (5 ? 9 ? ? ? 41) 9 4 10 ? (5 ? 41) 920 ?? ? ?? . 9 2 9

???12分

22 (本小题满分 14 分)
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x ? 1 ? a 2a ? x ? 1 ? a ? a?x a ? 2a ? x x ?1? a a ? x ?1 x ?1? a ? a ? x ?1 ? ? ? ? ?2 …………………4 分 a?x x?a a?x ? (a ? x) ? 1 1 ? ?1 ? (2) f ( x) ? a?x a?x
解: (1) f ( x) ? f (2a ? x) ? 当a ?

1 1 ? x ? a ? 1时 ? a ? 1 ? ? x ? ?a ? 2 2

1 1 ? 1 ? a ? x ? ? ,?2 ? ? ?1 2 a?x
…………8 分

? 3 ? ?1 ?

1 ? ?2 a?x
2

即 f ( x)值域为 ?3,?2] [

(3)解: g ( x) ? x ? | x ? 1 ? a | ( x ? a) ①当 x ? a ? 1且x ? a时, g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ?
2

1 2 3 ) ? ?a 2 4

如果 a ? 1 ? ?

1 2

即a ?

1 时,则函数在 [a ? 1, a)和(a,??) 上单调递增 2
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g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2

1 1 1 1 3 如果 a ? 1 ? ? 即当 a ? 且a ? ? 时, g ( x) min ? g (? ) ? ? a 2 2 2 2 4

当a ? ?

1 时, g (x) 最小值不存在 2
2

…………………………10 分

②当 x ? a ? 1时g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2

5 4

如果 a ? 1 ?

1 3 1 5 即a ? 时g ( x) min ? g ( ) ? a ? 2 2 2 4
g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2

1 3 如果a ? 1 ? 即a ? 时g ( x)在(??, a ? 1)上为减函数 2 2
3 5 3 当a ? 时(a ? 1) 2 ? (a ? ) ? (a ? ) 2 ? 0 2 4 2 1 3 1 2 当a ? 时(a ? 1) 2 ? ( ? a ) ? (a ? ) ? 0????12分 2 4 2

综合得:当 a ?

1 1 3 且a ? ? 时,g(x)最小值是 ? a 2 2 4 1 3 2 当 ? a ? 时,g(x)最小值是 (a ? 1) 2 2 3 5 当 a ? 时 , g(x)最小值为 a ? 2 4 1 当 a ? ? 时, g(x)最小值不存在 ………………14 分 2
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