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高一数学必修一第三章导学案


高一数学必修一第三章导学案 课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
编写: 审核: 时间: 一、教学目的: 1、 理解函数(结合二次函数)零点的概念; 2、 领会函数零点与相应方程要的关系; 掌握零点存在的判定条件. 教学重点: 零点的概念及存在性的判定. 教学难点: 零点的确定. 二、问题导学 1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:

/>1 ○方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

2 ○方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

3 ○方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

三、问题探究 1、 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)( x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的 零点. 2、函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法:求函数 y ? f (x) 的零点:
1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法) 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,

并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴 有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数 无零点. 5、零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

1 ○ 在区间 [?2,1] 上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

. f (?2) · f (1) _____0(<或>)
2 ○ 在区间 [ 2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>) .

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象

1 ○ 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点; f (a) · f (b) _____0(<或>) .

2 ○在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) .

3 ○ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f (d ) _____0(<或>) .

6、应用: 例 1.求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 例 2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 ,并画出它的大致图象.
3 2

四、课堂练习 1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ;

(3) x 2 ? 4 x ? 4 ; (4) 5x 2 ? 2 x ? 3x 2 ? 5 . 2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 ;
3

(2) f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 ; (3) f ( x) ? e
x ?1

? 4x ? 4 ;

(4) f ( x) ? 3( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? x . 1.已知 f ( x) ? 2 x ? 7 x ? 17 x ? 58 x ? 24 ,请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方程
4 3 2

有根,指出每个根所在的区间(区间长度不超过 1) . 2.设函数 f ( x) ? 2 ? ax ? 1 .
x

(1)利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数 f (x) 的零点个数; (2)当 a ? R 时,函数 f (x) 的零点是怎样分布的? 五、自主小结 课堂检查 1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? x ? 5 x ? 4 ;
2

(2) y ? ? x ? x ? 20 ;
2

(3) y ? ( x ? 1)( x ? 3x ? 1) ;
2

(4) f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 3x ? 2) .
2 2

3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出各自的简图,并指出函数值在哪些区间 上大于零,哪些区间上小于零: (1) y ?

1 2 x ? 2 x ? 1; 3
2

(2) y ? ?2 x ? 4 x ? 1. 4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x ? 4mx ? 2m ? 1 :
2

(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点;

(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ?

x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ; ? x 2 ? 4 x ? 12

课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解
编写: 审核: 时间: 一、教学目的: 1、 理解二分法的概念及其适用条件; 了解二分法是求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中 的应用. 教学重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成 用函数观点处理问题的意识. 教学难点: 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 二、问题探究 1、 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第 15 题)某 数列有 1000 个各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该数列进行二分法检索 (binary-search),在最坏的情况下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 2、材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 y ? f (x) 的零点(即 f ( x) ? 0 的根) , 对于 f (x) 为一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时,称为求根公式) . 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却 一直没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究, 人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根 号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程,其公式解的表 示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它 的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重 要的课题.

三、问题探究 1、二分法及步骤: 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断,且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过不断 地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; 2.求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) :
1 ○ 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; 2 ○ 若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 3 ○ 若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ;

4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4 例题解析: 例 1.求函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) .
3

分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,确定函数零点大致所 在的区间,然后利用二分法逐步计算解答. 解: (略) . 注意:
1 ○ 第一步确定零点所在的大致区间 ( a , b) ,可利用函数性质,也可借助计算机或计

算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区间; 2 ○ 建议列表样式如下: 零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25

f (1.5) >0

f (1.25) <0 f (1.375) <0

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步.

例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程 . 2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) 解: (略) . 思考: 本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外, 你是否还可以 想到有什么方法确定方程的根的个数?

结论:图象在闭区间 [ a , b ] 上连续的单调函数 f (x) ,在 ( a , b) 上至多有一个零点. 1) 函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f (a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 四、课堂练习 1、 教材 P106 练习 1、2 题; 2、 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 3、 求方程 log 3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间; 4、 求方程 0.9 x ?

2 x ? 0 的实数解的个数; 21
x

5、 探究函数 y ? 0.3 与函数 y ? log0.3 x 的图象有无交点,如有交点,求出交点,或 给出一个与交点距离不超过 0.1 的点. 五、自主小结

课题:§3.2.1 几类不同增长的函数模型
编写: 审核: 时间: 一、教学目的: 1、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义; 2、理解它们的增长差异性,了解函数模型的广泛应用. 3、 体验指数函数、 对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 教学重点: 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函 数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的 含义. 教学难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、问题导学 1、材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透 了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子 的天敌, 兔子数量不断增加, 不到 100 年, 兔子们占领了整个澳大利亚, 数量达到 75 亿只. 可 爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大 大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这 些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利 亚人才算松了一口气. 三、问题探究 例 1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如 下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 探究: 1)在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系?

2)分析解答(略)

3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么 认识? 4)你能借助计算器或计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方案的特点吗?

5)根据以上分析,你认为就作出如何选择? 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y(单位: 万元) 随销售利润 x(单 位:万元)的增加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖 励模型:

y ? 0.25 x

y ? l o g x ?1 7

y ? 1.002 x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 1) 本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么?

2)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗? 3)通过对三个函数模型增长差异的比较,写出例 2 的解答. 四、课堂练习: 1) 教材 P116 练习 1、2; 2) 教材 P119 练习.


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