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20130626高二数学下学期期末复习题5


高二数学下学期期末复习题(五)

08 年 07 月

一、填空题。 1. 若 ? 2 ?{3,5, x, x 2 ? 3x},则实数 x ? 。 ? 1 x ?( ) ? 1( x ? 0) 2. 设函数 f ( x) ? ? 2 ,已知 f (a) ? 1 ,则 a 的取值范围为_________. ? 1 2 ? x ( x ? 0)

1 3. 函数 y ? ln x ? x 2 ? 在点 M(1,0)处的切线方程是 . 2? x 4. 函数 y=log0.5(-2x2+5x-2)单调递增区间是 . y π 5. 函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|<2) 2 11? 在一个周期内的图像如图所示.则函数解析 1 12 式为:_________________. O x 6. 设函数 f (x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1 在区间(0,4) 上是减函数,则 k 的取值范围是______________. ?2 7. 8. 如果复数 z 满足 z+i + z-i =2,那么 z+i+1 的最小值为_________.

2 设命题 p:|4x-3|≤1; q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0.若﹁ p 是﹁ q 的必 要而不充分的条件,则实数 a 的取值范围是 . ? ? 3 3 9. 已知 0<α< ,- <β<0,cos(α-β)= ,且 tanα= ,则 sinβ=_____. 5 4 2 2 10. 已知 f (x) = x3 + ax2 + (a + 6)x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ___________________.

11. 若偶函数 f ?x ? 在区间[?1,0]上是减函数,? , ? 是锐角三角形的两个内角,且

? ≠ ? ,则 f ?sin ? ?、f ? cos ? ? 的大小关系为:_______________。
12. 若 2sin2 ? +sin2 ? =3sin ? ,则 sin2 ? +sin2 ? 的取值范围是_____________
x x x 13. 已知 f (x)=x+lg( x 2 ? 1 ? x ),若 f m3 ? f ?9 ? 3 ? 2 ? 0 恒成立, 则 m 的取

?

?

?

?

值范围是

.

1 14. 已知 f (x)是偶函数,且 f (x)在(0,+∞)上单调递增,若当 x∈[2,1]时, f (ax+1)≤f (x-2)恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

二、解答题
2 15. 已知 A ? { x x ? 3 ? a} , B ? {x x ? 7 x ? 8 ? 0} ,分别就下面条件求 a 的取值范

围: (Ⅰ) A ? B ? ? ; (Ⅱ) A ? B ? B .

16. 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . 2 (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

17. 已知函数 f (x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值是 g(a),a∈R. (1)求 g(a)的表达式; 1 (2)若 g(a)=2,求实数 a 的值及此时 f (x)的最大值.

18. 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,|AB|=3 米,|AD|=2 米, (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米, P N 则 AN 的长应在什么范围内? C (II) 若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AM、AN 的长度 D 是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.
A
B M

b 19. 设函数 f ( x ) ? ax ? 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的 三角形面积为定值,并求此定值.

20. 设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性;

(Ⅲ)设 g ( x) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

高二期末复习题(五)答案
21. 若 ? 2 ?{3,5, x, x 2 ? 3x},则实数 x ? 。-1

08 年 07 月

? 1 x ?( 2 ) ? 1( x ? 0) 22. 设函数 f ( x) ? ? ,已知 f (a) ? 1 ,则 a 的取值范围为_________. ? 1 2 ? x ( x ? 0)
23. 函数 y ? ln x ? x 2 ?
1 在点 M(1,0)处的切线方程是 2? x



24. 函数 y=log0.5(-2x2+5x-2)单调递增区间是 . π 25. 函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|<2)在一个周期内的图像如图所示.则 y 函数解析式为:_________________. 2 π y=2sin(2x+6) 11? 1 3 2 2 12 k 的取值范围 26. 设函数 f (x)=kx +3(k-1)x -k +1 在区间(0,4)上是减函数,则 O x 1 是___________________.0≤k<3 ?2 27. 如果复数 z 满足 z+i + z-i =2,那么 z+i+1 的最小值为_________. 28. 设命题 p:|4x-3|≤1; q: x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0.若﹁ p 是﹁ q 的必要

而不充分的条件,则实数 a 的取值范围是 . 1 [0, ] 2 7 ? ? 3 3 29. 已知 0<α< ,- <β<0,cos(α-β)= ,且 tanα= , 则 sinβ=_________.-25 5 4 2 2 3 2 30. 已知 f (x) = x + ax + (a + 6)x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ___________________.a<-3 或 a>6

31. 若偶函数 f ?x ? 在区间[?1,0]上是减函数,? , ? 是锐角三角形的两个内角,且

? ≠ ? ,则 f ?sin ? ?、f ? cos ? ? 的大小关系为:_______________。
32. 若 2sin2? + sin2? = 3sin? , 则 sin2? + sin2? 的 取 值 范 围 是

5 ______________[0,4]?{2}
x x x 33. 已知 f (x)=x+lg( x 2 ? 1 ? x ),若 f m3 ? f ?9 ? 3 ? 2 ? 0 恒成立, 则 m 的取

?

?

?

?

值范围是

.

1 34. 已知 f (x)是偶函数, 且 f (x)在(0,+∞)上单调递增, 若当 x?[2,1]时, f (ax+1)≤f (x -2)恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 1 [-2,0]【提示】对 x?[2,1],|ax+1|≤|x-2|∴|ax+1|≤2-x∴x-2≤ax+1≤2 1 3 1 1 -x∴x-3≤ax≤1-x, x?[2,1] 恒成立∴1-x≤a≤ x-1 对 x?[2,1]恒成立. 下略.
2 35. 已知 A ? { x x ? 3 ? a} , B ? {x x ? 7 x ? 8 ? 0} ,分别就下面条件求 a 的取值范

围: (Ⅰ) A ? B ? ? ; (Ⅱ) A ? B ? B . 解: (Ⅰ)(1) 当a<0时,A=?,有A ? B=?,
(2)当a ? 0时,有A= ?x -a+3 ? x ? a+3} , B= ?x x<-8或x>1}.

(2)当a ? 0时,有A= ?x -a+3 ? x ? a+3} , B= ?x x<-8或x>1}

??a ? 3 ? ?8 ?a ? 11 由 A ? B=?,有 ? 得? ?1 ? a ? 3 ?a ? ?2 范围是 (??, 0) ; (Ⅱ) (1)当a<0时,A=?,有A ? B=B ,

与 a ? 0 ,矛盾!故当 A ? B=? 时, a 的取值

由 A ? B=B,必有 A ? B ,∴ a ? 3 ? ?8 或 ? a ? 3 ? 1 ∴ a ? ?11 (舍去)或 a ? 2 得 0 ? a ? 2 故当 A ? B=B 时, a 的取值范围是 (??, 2) . 36. 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . 2 (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.
1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 解: (Ⅰ) ? ?? ?? ? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 4 4? 4? ? ? f ? x? ? 2 ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2 ?? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ? ? ? ? k? ?? ?k ? Z ? 时,sin ? 当 4 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以 4 2 16 2 4? ? ? k? ? ? 函数 f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z ?. 16 2 ? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 37. 已知函数 f (x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值是 g(a),a?R. (1)求 g(a)的表达式; 1 (2)若 g(a)=2,求实数 a 的值及此时 f (x)的最大值. 解:f (x)=2cos2x-2acosx-2a-1,令 t=cosx,y=2t2-2at-2a-1,t?[-1,1] a a (1)①当2≤-1,即 a≤-2 时,g(a)=f (-1)=1;②当2≥1,即 a≥2 时,g(a) =f (1)=1-4a; a2+4a+2 a a ③当-1≤2≤1,即-2≤a≤2 时,g(a)=f (2)=- ; 2 1 (2)g(a)=2?a=1;ymax=f (1)=1-4a=5. 38. 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,|AB|=3 米,|AD|=2 米, (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米, P N 则 AN 的长应在什么范围内? C (II) 若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AM、AN 的长度 D 是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. 解:设 AN 的长为 x 米(x >2) ∵ ∴SAMPN=|AN|?|AM|=
| DN | | DC | 3x 2 ? ,∴|AM|= A | AN | | AM | x?2
B M

3x 2 x?2 3x 2 (I)由 SAMPN > 32 得 > 32 ,∵x >2,∴ 3x 2 ? 32 x ? 64 ? 0 , x?2 8 即(3x-8) (x-8)> 0 ∴ 2 ? x ? 或 x ? 8 3 8 即 AN 长的取值范围是 (2,) ? (8,+?) 3 6 x ( x ? 2) ? 3x 2 3( x x ? 4) 3x 2 ? (II) 令 y= ,则 y′= 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2 x?2

∴当 x > 4,y′> 0,即函数 y= ∴函数 y=

3x 2 在(4,+∞)上单调递增, x?2

3x 2 在[6,+∞]上也单调递增。 x?2 3x 2 ∴当 x=6 时 y= 取得最小值即 SAMPN 取得最小值 27(平方米) 此时|AN| x?2

=6 米,|AM|=4.5 米 b 39. 设函数 f ( x ) ? ax ? 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的 三角形面积为定值,并求此定值. 解: (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?
1 7 x ? 3 .当 x ? 2 时, y ? . 2 4

b 1 ? 2 a ? ? , ? ?a ? 1, b 3 ? 2 2 又 f ?( x ) ? a ? 2 ,于是 ? 解得 ? 故 f ( x) ? x ? . x x ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4 3 (Ⅱ)设 P( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y ? ? 1 ? 2 知曲线在点 P( x0,y0 ) 处的切 x ? ? 3? 3? ? 3? 线方程为 y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) ,即 y ? ? x0 ? ? ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) . x0 ? ? x0 ? ? x0 ? ? ? 6 6? 令 x ? 0 得 y ? ? ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ? ?. x0 x0 ? ? 令 y ? x 得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 (2x0, 2x0 ) .

所以,围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 . 2 x

40. 设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性;
2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 , ??6a ? 2b ? 0, 1 因此 ? 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0, 1 (Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 3 , ?2) ?(0, 1) 时, 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .因为当 x ? ( ?? f ?( x ) ? 0; 0) ? (1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 .所以 f ( x) 在 (?2, 0) 和 (1, ? ?) 上是单调递增 当 x ? (?2, ? 2) 和 (0, 1) 上是单调递减的. 的;在 (??, 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x 2e x ?1 ? x3 ? x 2 , 3 2 x ?1 3 2 x ?1 故 f ( x) ? g ( x) ? x e ? x ? x (e ? x) , 令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x?1 ? 1 .令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 因为 x ? ? ??, 1? 时, h?( x) ≤ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 1? 上单调递减.

(Ⅲ)设 g ( x) ?

故 x ? ? ??, 1? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ;

因为 x ??1 , ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x ??1 , ? ?? 上单调递增. 故 x ??1 , ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . 所以对任意 x ? (??, ? ?) ,恒有 h( x) ≥0 ,又 x 2 ≥ 0 , 因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 , 故对任意 x ? (??, ? ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .


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