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数学思想方法


思考
? 数学知识是讲不完的,习题是做不完的?

? 怎样才能使所学知识在他们以后一生的思考中有价值? ? 数学知识内容的精髓或灵魂究竟是什么?

数学思想方法

内涵
? 数学方法:指在解决数学问题和数学地解决问题的过程中所采

用的途径、程序和手段。
? 具体有:特殊法、一般化、归纳法、类比法、分类法、数形 结合法、数学归纳法、演绎法、反证法、导数法、配方法、

待定系数法、建构法、割补法、逼近法、化曲为直……
? 数学思想:指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维 活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质认识,是对数学 规律的理性认识。 ? 具体有:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、 化归与转化思想、 特殊与一般思想、有限与无限的思想、 或然与必然的思想……

关系
? 数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,“方 法”指向“实践”;而数学思想是数学方法的灵魂,它指 导方法的运用。 ? 数学思想是宏观的,它更具有普遍的指导意义;而数学方 法是微观的,它是解决数学问题的直接具体的手段。 ? 数学思想给出了解决问题的方向,数学方法给出了解决问 题的策略。 ? 在具体应用中,一般不必区分是思想还是方法,统一称之 为数学思想方法,如分类思想方法,转化思想方法等。

呼声
? 数学思想方法是数学中最本质的东西,是联系各项知识的 纽带。
? 在数学教学中,如果忽视了数学知识背后隐藏的数学思想 和方法,不重视数学知识发生发展过程中思想方法的渗透 和指导,最终只能让学生的头脑填满一大堆零散的材料,很 难形成一个具有“活动”的数学知识结构。

? 只有知识教学与思想方法教学并重,知识与思想方法互相 促进,才能使学生更深刻地理解数学,从整体上把握数学, 以至灵活地运用数学,这是现代数学教学的方向。

呼声
? 渗透数学思想方法的教学是培养和发展学生数学思维能力 的有效途径。

? 数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性,在学生 未来的工作和生活中有更加广泛的应用。
? 三角形面积公式:公式 VS 方法?

? 学生们所学到的数学知识,在进入社会后不到一两年就忘 掉了,然而,而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想 方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。

改革
? 《义务教育数学课程标准》:通过数学学习,学生能获得 适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基 本技能、基本思想、基本活动经验(即“四基”)。
最基本数学思想有? ? 抽象:人类通过数学抽象,从客观世界中得到数学的概念 和法则,建立了数学学科; ? 推理:通过数学推理,可以发现很多问题,证明很多结论, 使数学科学得以发展; ? 模型:数学发展的过程中会不断的发现不同事物之间的内 在联系,发现共同的本质属性,用数学模式去描述它们, 形成研究一类问题的模型。

改革

? 数学思想方法是教材体系的灵魂,教材中都存在着两条主 线:一条是明线即数学知识,一条是暗线即数学思想方法。

改革
? 《普通高中数学课程标准》:通过学习,学生获得数学基 础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本 质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴 涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。

? 数学高考:高考考察考生对中学数学的基础知识、基本技 能的掌握程度,对数学思想方法和数学本质的理解水平。

1. 设数列{an}前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1, n∈N+, 且a1, a2+5, a3成等差数列. 数 列 {an }的 通 项 公 式 ; (1)求a1的 值; (2)求 分析:(1)2(a2 ? 5) ? a1 ? a3;2a ? a - 22 ? 1; 1 2
2(a1 ? a2 ) ? a3 ? 23 ? 1
(2)由 题 设 , 当n ? 2时 , 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1;

1 1 1 3 (3)证明 : 对一切正整数 n, 有 ? ? ? ? ? ? ? . a1 a2 an 2

? a1 ? 1
2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1

?2an ? an?1 ? an ? 2n

n 即an?1 ? 3an ? 2( n ? 2)

由 (1)知, a2 ? 2a1 ? 3 ? 5 ? 3a1 ? 2

n ? an?1 ? 3an ? 2( n ? N ?)

? an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) ? {an ? 2n }为 以3为 首 项 ,3为 公 比 的 等 比 数 列
n n ? a ? 3 ? 2 ? an ? 2 ? 3 n
n n

1 1 1 3 ( 3)证 明:对 一 切 正 整 数 n, 有 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2
由 (2)知an ? 3n ? 2n ? an ? 3n ? 2n ? 3 ? 3n?1 ? 2n ? 3n?1 ? 2(3n?1 ? 2n?1 ) ? 3n?1
1 1 ? ? n ?1 an 3 1 1 1 ? 1 1 ? 2 2 ? ??? ? n n ? 1? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? 3 3 ?2 3 ?2 3 ?2 3 32 3 n ?1 2

|a?b?c| |a| |b| |c| ? ? ? . 2. a , b, c ? R,求证: 1? | a ? b ? c | 1? | a | 1? | b | 1? | c | x 四个分式形状相似 , 相当于函数 f ( x ) ? 在相应四点 分析: 1? x | a ? b ? c |,| a |,| b |,| c | 的函数值。
x , x ? [0,??), 易 构造函数: f ( x ) ? 证 其 在 [0,??)为 递 增 函 数 1? x

?| a ? b ? c |?| a | ? | b | ? | c |, ? f (| a ? b ? c |) ? f (| a | ? | b | ? | c |)

|a?b?c| |a|?|b|?|c| 即 ? 1? | a ? b ? c | 1 ? (| a | ? | b | ? | c |) |a| |b| |c| ? ? ? 1? | a | ? | b | ? | c | 1? | a | ? | b | ? | c | 1? | a | ? | b | ? | c | |a| |b| |c| ? ? ? . 1? | a | 1? | b | 1? | c |

证明5099 ? 99!

分析: 99 ? 1 ? 50 2 由此猜想: ( n ? 1 ) n ? n! 2 1? 2 ? 3 ? ??? ? n n n ? n! ? ? 1? 2 ? 3 ? ? ? n n n?1 n 99 ?( ) ? n! ? 取n ? 99, 有 50 ? 99 ! 2

50与99的 关系?

问题是数学的心脏
把大量的数学解题实践提炼为数学思想 方法,将有助于: ? 提高学生数学解题能力 ? 发展学生数学思维 ? 形成学生良好数学认知结构


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