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全国高中数学联赛模拟试题(一)


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全国高中数学联赛模拟试题(一)
第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、已知集合
A? B ??
? ? y?3 A ? ??x, y ? ? a ? 1? x?2 ? ?

/>
B ?

?? x , y ? ?a
1

2

? 1 x ? ? a ? 1 ? y ? 15

?

? .若

,则 a 的所有取值是 (B)-1, 2
5

(A)-1,1

(C)±1,2 (D)±1,-4, 2 2、如图 1, 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, M、 点 D N 分别在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, B ①AA1⊥MN; A N ②A1C1∥MN; M ③MN∥平面 A1B1C1D1; D1 ④MN 与 A1C1 异面. 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 A1 B1 (A)1 (B)2 (C)3 图1 (D)4
an Sn

C

C1

3、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0 ,1 ? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则
lim
n? ?

的值为
3 5 7 9

(A) 4 (B) 4 (C) 4 (D) 4 4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个
2 5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c (a<b)的值均为非负

b?a

实数.则 a
1

?b?c

的最大值是
1

(A) 3
x
2 2

(B) 2
? y
2 2

(C)3

(D)2

b 6、双曲线 a 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上情况均有可能

?1

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
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1、已知复数 z 1 ? 2 ? i ,

2z2 ?

z1 ? i

?2 i ? 1? ?

z1

.若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、
2

2 ,则 u ? z 2 的取值范围 ∠C 依次成等差数列,且 是 . 2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、 2 B 两点.那么,PA +PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 .

u ? cos A ? 2 icos

C

5、 ? x ? 2 ? 的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 在 x . 6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 .
2 n ?1

三、 (20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四、 (20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md.

五、 (20 分)
求最大的正数?,使得对任意实数 a、b,均有
?a b
2 2

? a ? b ? 2 ≤ ?a 2

? ab ? b

2

?

3



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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 1 答案 D
? 2 5 ? ? , ? 2 2 ? ? 1、 ?
? ab a

2 B

3 D
1

4 D
3

5 A
2 n ?1

6 B
?1

2、

? ? 3? ? ? , ? ;3、 ? 2 2 ?

4、 18 ;

5、
? ab a

2

6、7n.

? 2 5 ? ? , ? 2 2 ? ? 二、填空题:1、 ?
? ? 3? ? ? , ? 3、 ? 2 2 ? ;


1

2、 4、 18 ; 6、7n.



3

2 n ?1

?1

5、

2



? 2 5 ? ? , ? 2 ? ? 2 ? 1、



?

ab a

2、
1



? ? 3? ? ? , ? 3、 ? 2 2 ? ;

4、 18 ; 6、7n.

3

2 n ?1

?1

5、

2



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第二试
一、 (50 分)
如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC.
A C

二、 (50 分)
N

D B

M

求出能表示为 正整数 n.

n ?

?a ? b ? c ? 2
abc

(a、b、c∈Z+)的所有

O

三、 (50 分)
在一个 ?2 ? 1 ? ? ?2 ? 1 ? (n≥2)的方格表的每个方格 内填入 1 或-1,如果任意一格内的数都等于与它有公共 边的那些方格内所填数的乘积,则称这种填法是“成功”的.求“成功”填 法的总数.
n n

图2

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 1 答案 D 二、填空题:
? 2 5 ? ? , ? 2 ? ? 2 ? 1、
? ab a
1

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B



2、



? ? 3? ? ? , ? 3、 ? 2 2 ? ;

4、 18 ; 6、7n.

3

2 n ?1

?1

5、

2



三、证略. 四、证略.
? max ?
27 4

五、



第二试
一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1) .

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